6.4.2 向量在物理中的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.2　向量在物理中的应用举例 　 第六章 单元学习四　向量应用 学习目标 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用，培养数学建模的核心 素养. 任务一　向量与力 1 任务二　向量与速度、加速度、位移 2 任务三　向量与功 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　向量与力 返回 (链接教材P41练习T3)设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，｜F1｜＝1 N，｜F2｜＝2 N，F1和F2的夹角为.求： (1)F3的大小； 解：因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以｜F3｜＝｜F1＋F2｜＝ ＝ ＝ ＝(N). 典例 1 (2)〈F3，F2〉的大小. 解：如图所示，以三个力的作用点O为坐标原点，F2所 在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将向量F1，F3正交 分解.设∠MOC＝θ，由受力平衡知 将｜F1｜＝1，｜F2｜＝2，｜F3｜＝ 又因为θ∈，所以θ＝，所以〈F3，F2〉＝π－＝. 规律方法 　　平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理矢量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则、向量的正交分解等方法转化为代数方程来计算. 对点练1.已知质点O受到三个力F1，F2，F3的作用，若它们的大小分别为20 N，30 N，40 N，且三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向. 解：以O为原点，F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图. 由题意得F1＝(20，0)，F2＝(－15，－15)，F3＝(－20，20)， 所以三个力的合力为F1＋F2＋F3＝(－15，5)， 所以三个力的合力大小为＝10 N， 设合力方向与x轴正方向夹角为θ，所以tan θ＝＝－， 因为合力坐标(－15，5)在第二象限， 所以θ＝150°， 即合力方向与F2方向的夹角为90°，同时与F3方向的夹角为30°. 返回 任务二　向量与速度、加速度、位移 返回 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行 到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为 50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流 动.若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的 方向(即船头方向与正北方向的夹角θ)，以及到达B点所需时间. 解：如图所示，设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船实际航行速度为v，则｜v1｜＝50，｜v2｜＝25，v＝v1＋v2，θ＝〈v，v1〉， 典例 2 由船需要准确到达正北方向的B点，得v⊥v2， 则v·v2＝(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋＝50×25cos〈v1，v2〉＋252＝0，解得 cos〈v1，v2〉＝－， 而0≤〈v1，v2〉≤π， 于是〈v1，v2〉＝，θ＝〈v1，v2〉－＝， ｜v｜＝ ＝ ＝25，＝， 所以船头应调整的方向θ＝，到达B点所需时间为小时. 规律方法 　　速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算. 对点练2.(双空题)某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m到达点B，则此人的位移的大小是______m，方向是北偏东______. 60 30° 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则 ｜｜＝＝60(m)，tan ∠BOA＝ ＝，所以∠BOA＝60°.所以的方向为北偏东30°. 返回 任务三　向量与功 返回 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 解：如图所示，设木块的位移为s， 则WF＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 30°＝50×20×＝500(J). 将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为｜F1｜＝｜F｜sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为｜f｜＝｜μ(G－F1)｜＝(8×10－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝｜f｜｜s｜cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J). 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 典例 3 规律方法 　　力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝｜F｜ ｜s｜cos θ(θ为F和s的夹角). 对点练3.一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5).则在这个过程中三个力的合力所做的功为______. －40 因为F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8). 又因为＝(－1，4)，所以F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40. 教材拓展5　三角形“心”的向量表示 已知O，N，P，Q在△ABC所在的平面内， (1)O为外心：①｜｜＝｜｜＝｜｜；②(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. (2)N为重心：＋＋＝0. (3)P为垂心：·＝·＝·. (4)内心Q所在的向量：＝λ(λ∈(0，1)). (多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有 A.若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B.若·(－)＝·(－)＝0，则点O为△ABC的垂心 C.若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D.若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 典例 4 √ √ 对于A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心；对于B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为，则它们的差是向量，则当·＝0，即⊥时，点O在∠BAC的平分线上，同理，由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心； 对于C，(＋)·＝(＋)·(－)＝－＝0，所以 ｜｜＝｜｜，同理有｜｜＝｜｜，于是点O为△ABC的外心；对于D，由·＝··－·＝0，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥.同理可证⊥，⊥，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心.故选AC. 返回 课堂小结 任务再现 (1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解.(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题 方法提炼 转化法 易错警示 不能将物理问题转化为向量问题 随堂评价 返回 1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为 A.v1－v2 B.v1＋v2 C.｜v1｜－｜v2｜ D. √ 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.人的速度和风速方向相反，｜v1＋v2｜＝＝＝｜v1｜－｜v2｜.故选C. 2.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为 A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N √ 两个力的合力的大小为｜F1＋F2｜＝＝5(N).故选D. 3.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 A.7 B.10 C.14 D.70 √ F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70.故选D. 4.已知平面内两个粒子A，B从同一发射源C(1，2)射出，在某一时刻，它们的位置分别为A(3，3)，B(2，4)，相应的位移分别为sA，sB，则sA在sB上 的投影向量为_______. (，) sA＝(2，1)，sB＝(1，2)，则sA在sB上的投影向量为sB＝(，). 返回 课时分层评价 返回 1.已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝ A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(1，2) √ 为使物体保持平衡，需使f1＋f2＋f3＋f4＝0，所以f4＝(0－(－2)－(－3)－4，0－(－1)－2－(－3))＝(1，2).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在重100 N的物体上有两根绳子，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°.物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 A.50 N，50 N B.50 N，100 N C.50 N，50 N D.100 N，50 N √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设两根绳子的拉力分别为，.作▱OACB如图所示， 使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在▱OACB中，｜｜ ＝100 N，∠ACO＝∠BOC＝60°，所以∠OAC＝90°， 所以｜｜＝｜｜cos 30°＝50 N，｜｜＝ ｜｜sin 30°＝50 N，所以｜｜＝｜｜＝50 N，故两根绳子拉力的大小分别为50 N，50 N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.有一条东西向的小河，一艘小船从河的南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，则小船实际航行速度的大小与方向分别为 A. km/h，正北 B. km/h，与水流方向夹角为60° C. km/h，与水流方向夹角为45° D. km/h，与水流方向夹角为30° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，为河水速度，为小船航行速度.在 Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，由AC＝ ｜｜＝15，得CE＝AC＝7.5＝｜｜，所以＝ ＋，即为小船实际航行速度，｜｜＝｜｜ cos 30°＝(km/h)，所以小船实际航行速度的大小为 km/h，方向为正北方向.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为｜v｜个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为 A.(－2，4) B.(－30，25) C.(10，－5) D.(5，－10) √ 设A(－10，10)，5秒后点P的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10).由题意有＝5v，即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以即A1(10，－5).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 A.10 m/s B. 2 m/s C.4 m/s D.12 m/s √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意图如图.所以｜v｜＝＝＝2(m/s).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和垂直于水平面的向量的夹角均为30°.已知某礼物的质量为10 kg，每根绳子的拉力大小相同，则该降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为(重力加速度g取9.8 m/s2，≈1.7，精确到0.1 N) A.14.4 N B.15.6 N C.16.9 N D.17.4 N √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设n为垂直于水平面的单位向量，其中一根绳 子的拉力为F，则〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影 向量为｜F｜n，所以8根绳子拉力的合力F合＝8× ｜F｜n＝4｜F｜n.因为该降落伞匀速下落，所以 ｜F合｜＝｜G｜＝10×9.8，即4｜F｜·｜n｜＝98，解得｜F｜≈14.4 N.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.飞机以大小为300 km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和竖直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h. 150 如图所示，｜v1｜＝｜v｜cos 30°＝300×＝150(km/h). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力 F所做的功W＝250 J，则F与s的夹角等于_____. 设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250＝10×50cos θ，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)如图所示，在倾斜角为37°(取sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面滑下，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为____J，重力对物体m所做的功为_____J(g＝9.8 m/s2). 0 98 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 物体m的位移大小为｜s｜＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使其由点A(20，15)移动到点B(7，0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功； 解：＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99. W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3. 所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功. 解：W＝F·＝(F1＋F2)· ＝F1·＋F2·＝W1＋W2 ＝－99－3＝－102. 所以合力F对质点所做的功为－102. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.加强体育锻炼是青少年生活学习中的重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732) A.81 B.87 C.89 D.91 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设两只胳膊的拉力分别为F1，F2，＝＝500， 〈F1，F2〉＝60°，所以｜F1＋F2｜＝ ＝＝ ＝500≈866，所以10m＝866，解得m＝86.6≈87(kg).所以学生的体重约为87 kg.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在水流速度大小为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h大小的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是 A.这艘船在静水中航行速度的大小为12 km/h B.这艘船在静水中航行速度的大小为8 km/h C.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150° D.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设船的实际航行速度为v1，水流速度为 v2，船在静水中航行速度为v3，根据向量的平行四 边形法则可知｜v3｜＝＝8 (km/h).设船航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan (180°－θ)＝＝＝，所以tan θ＝－，θ＝120°，船在静水中的速度为8 km/h，航行速度方向与水流方向的夹角为120°.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个旅行包.当两人提着重力为G的旅行包时，两人拉力方向的夹角为θ，两人拉力的大小都为｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ＝______. 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设两人拉力分别为F1，F2，则｜F1｜＝｜F2｜＝｜F｜，｜F1＋F2｜＝｜G｜，所以＋＋2F1·F2＝G2.又｜F｜＝｜G｜，所以2｜F｜2＋2｜F｜2cos θ＝3｜F｜2，解得cos θ＝，所以θ＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解：如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静 水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度. 因为＋＝， 所以四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，｜｜＝｜｜＝12.5，｜｜＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确 的是 A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ(0＜θ＜)，则｜F｜cos θ＝｜f｜，所以｜F｜＝.因为θ增大，cos θ减小，所以｜F｜增大.因为｜F｜sin θ增大，所以船的浮力减小.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风中心，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cos θ＝，θ∈(0，))方向，距点O 300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos (θ －45°)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设t h后，台风中心移动到Q处， 此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°. 因为＝＋， 所以＝(＋)2＝＋＋2·＝＋－2｜｜｜｜cos (θ－45°) ＝3002＋(20t)2－2×300×20t× ＝100(4t2－96t＋900). 依题意得≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24. 从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $