6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.4　 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用,培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　向量在平面几何证明问题中的应用 题型(二) 利用平面向量求几何中的长度问题 题型(三) 平面向量在物理中的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　向量在平面几何证明问题中的应用 01 [例1]　如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 证明:法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0. 又=+=-a+b,=+=b+a, 所以·=·=-a2-a·b+b2 =-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2, 则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥, 即AF⊥DE. |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用向量共线定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 基底法 选取已知的不共线的两个向量作为基底,用基向量表示相关向量,转化为基底之间的向量运算进行证明 坐标法 先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明 针对训练 1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高, 且交于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H. 求证:HG∥EF. 证明:∵⊥,⊥,∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. 题型(二) 利用平面向量求几何中的长度问题 02 [例2]　如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2, 对角线BD=2,求对角线AC的长. 解:法一:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b|= ===2, ∴5-2a·b=4. ∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=, 即AC=. 法二:由平行四边形对角线长与边长之间的关系,得AC2+BD2=2(AD2+AB2). ∴AC2=2(12+22)-4=6,∴AC=. |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. 针对训练 2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB; 解:证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D, ∴||= ,||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 解:∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴=λ. 即(x,-m)=λ,则 解得λ=,x=,∴F, ∴||= ,即AF= . 题型(三) 平面向量在物理中的应用 03 [例3]　在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向. 解:设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度, vb=无风时飞机的航行速度,vb=va-ω.如图所示. 设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,作AD∥BC, CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°. 设||=150,则||=75(-). ∴||=||=||=75,||=75. 从而||=150,∠CAD=30°.∴|vb|=150,即没有风时飞机的航速为150 km/h,方向为北偏西60°. |思|维|建|模| 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题; (2)建立以向量为主体的数学模型; (3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型; (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 3.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 针对训练 解:如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度, 表示渡船实际垂直过江的速度. ∵+=, ∴四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°, 即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. 4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功.(力的单位:牛顿,位移单位:米) 解:设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s. ∵=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). ∴W1=F1·=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是 ( 　) A.船垂直到达对岸所用时间最少 B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少 C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D.船垂直到达对岸时航行的距离最短 解析:根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在△ABC中,若·+=0,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为(　　) A. B.2 C.5 D.10 解析:∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2025·新课标Ⅰ卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速,视风风速对应的向量,是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和.其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反,表中给出了部分风力等级、风速大小与名称的对应关系,已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同,单位:m/s),则其风速等级是 (　　) 级别 名称 风速 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵视风风速a=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速b=(3,3)-(2,0)=(1,3), ∴真风风速n=a+b=(-3,-1)+(1,3)=(-2,2),真风风速大小|n|=2≈2.828, ∴风速等级是轻风. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 (　　) A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N 解析:如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力. 由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N, ∴|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120°时, 以F1,F2为邻边的平行四边形为菱形, 此时|F|=|F1|=10 N.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:W=(F1+F2)·s=(lg 2+lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1) =2lg 5+2lg 2=2.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项正确的是 (　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断减小 C.船的浮力不断减小 D.船的浮力保持不变 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ, 则|F|cos θ=|f|, ∴|F|=.∵θ增大,cos θ减小, ∴|F|增大.∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为___________. 3 解析:设所用时间长短为t,则=tv,即(3,6)=t(1,2),所以t=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)一条河宽400 m,一船从A出发垂直到达正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为___________min. 1.5 解析:∵合速度|v合|==16(km/h)=(m/min), ∴t=400÷=1.5(min). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=___________. 1 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0), B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2=0,所以a=1(舍负). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的________心. 垂 解析:∵·=·,∴(-)·=0.∴·=0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高所在直线的交点,即垂心. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图,若D是△ABC内的一点, 且AB2-AC2=DB2-DC2, 求证:AD⊥BC. 证明:设=a,=b,=e,=c, =d,则a=e+c,b=e+d, ∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知a2-b2=c2-d2, ∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,即e·(c-d)=0. ∵=+=d-c,∴·=e·(d-c)=0, ∴⊥,即AD⊥BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? 解:如图,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 则此人的实际速度为+=. 由题意,⊥且||=4,||=4, 所以||= =8. 在Rt△OAC中,tan∠AOC==, 所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心, E,F分别在边CD,AB上,且==. 求证:点E,O,F在同一直线上. 证明:设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点, ∴=+=+=-m+(m+n)=m+n, =+=+=(m+n)-m=m+n.∴=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $