6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 　 第六章　单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积 的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有 关的问题，培养数学运算的核心素养. 任务一　平面向量数量积的坐标表示 1 任务二　平面向量的模 2 任务三　平面向量的夹角、垂直问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　平面向量数量积的坐标表示 返回 (阅读教材P34，完成问题1) 问题1.在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 问题导思 向量数量积的坐标表示 1.语言表示：两个向量的数量积等于它们____________________. 2.坐标表示：已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_________. 新知构建 对应坐标的乘积的和 x1x2＋y1y2 已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2). (1)求a·(a－b)； 解：法一：因为a＝(－1，2)，b＝(3，2)，所以a－b＝(－4，0). 所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4. 法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4. (2)求(a＋b)·(2a－b). 解：因为a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，所以(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2. 典例 1 规律方法 数量积坐标运算的方法 进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算. [注意]　如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积. 对点练1.(1)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝ A.6 B.5 C.4 D.3 √ 由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，求·的值. 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)， E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为 ＝2，所以F.所以＝(2，1)， ＝－(2，0)＝. 所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 返回 任务二　平面向量的模 返回 (阅读教材P34，完成问题2) 问题2.若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出的模吗？ 提示：根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)， 则＝. 问题导思 1.向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则｜a｜2＝________，或｜a｜＝. 2.两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 ｜｜＝. 新知构建 x2＋y2 (1)平面向量a＝(1，1)，b＝(2，3)，则｜a＋b｜＝ A.3 B.5 C.7 D.11 √ 典例 2 a＋b＝(1，1)＋(2，3)＝(3，4)，所以｜a＋b｜＝＝5.故选B. (2)已知a＝(1，2)，a－b＝(－2，－2)，则｜2b｜＝____. 10 b＝a－(a－b)＝(3，4)，所以2b＝(6，8)， 所以｜2b｜＝＝10. 规律方法 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 1.求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝｜a｜2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. 2.a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 对点练2.(1)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－6b，则｜c｜＝ A.4 B.2 C.8 D.8 √ c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以｜c｜＝＝8.故选D. (2)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，则x ＝______. － 由题意知，a＋b＝(x＋1，x＋3).又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，所以(x＋1)2＋(x＋3)2＝x2＋(x＋1)2＋12＋22，解得x＝－. 返回 任务三　平面向量的夹角、垂直问题 返回 (阅读教材P34，完成问题3) 问题3.你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 提示：若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝. 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 问题导思 1.两向量夹角的余弦公式 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ ＝＝. 2.向量垂直的充要条件 设a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔______________. 新知构建 x1x2＋y1y2＝0 (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角. 微提醒 (1)(链接教材P35例11)已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，则向量a与b的夹角为 A. B. C. D. √ 典例 3 设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝，即向量a与b的夹角为.故选C. (2)(链接教材P34例10)已知A，B，C是平面直角坐标系中的三个点，其坐标分别为(1，2)，(4，1)，(0，－1)，试判断△ABC的形状，并说明理由. 由已知得＝(4－1，1－2)＝(3，－1)，＝(0－1，－1－2)＝(－1，－3). 法一：·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以⊥，即∠A＝90°，所以tan C＝＝＝＝1，所以∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 法二：｜｜＝＝，｜｜＝＝， 所以｜｜＝｜｜，因为·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以⊥，所以△ABC是等腰直角三角形. 规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 1.求解方法：由cos θ＝＝，直接求出cos θ. 2.注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 对点练3.(1)已知向量a＝(3，1)，b＝(3，2)，c＝(1，4)，则cos 〈a，b－ c〉＝_____. b－c＝(2，－2)，则cos 〈a，b－c〉＝＝＝. (2)已知三个点A(2，1)，B(4，3)，D(－1，4). ①求证：AB⊥AD； 解：证明：由题意得，＝(2，2)，＝(－3，3)，所以·＝2×(－3)＋2×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD. ②若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值. 解：因为四边形ABCD为矩形，所以＝，设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，又＝(2，2)， 所以故点C的坐标为(1，6)，所以＝(－1，5)，｜｜＝， 又＝(－5，1)，所以｜｜＝，·＝5＋5＝10. 设的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为. 返回 课堂小结 任务再现 (1)平面向量数量积的坐标表示.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). (3)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角) 方法提炼 化归与转化 易错警示 两向量夹角的余弦公式易记错 随堂评价 返回 1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，则a·(2a＋b)＝ A.0 B.1 C.－1 D.2 √ 由题意，向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，可得a2＝2，a·b＝1×(－1)＋(－1)×3＝－4，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×2－4＝0.故选A. 2.已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为 A. B. C. D. √ ｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.故选A. 3.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)，若⊥(2a＋b)，则实数λ＝______. 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 4.(双空题)已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝____，｜｜＝_____. 7 ＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，所以｜｜＝＝. 返回 课时分层评价 返回 1.已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝ A.5 B.14 C.－6 D.2 √ 法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故选B. 法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝a2－a·b，所以a·b＝a2－11＝32＋42－11＝14.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知＝(2，3)，＝(3，t)，｜｜＝1，则·＝ A.8 B.5 C.2 D.7 √ 因为＝(2，3)，＝(3，t)，所以＝－＝(1，t－3).因为 ｜｜＝1，所以12＋(t－3)2＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18).若a，b的夹角为θ，则cos θ＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为a＝(4，3)，所以2a＝(8，6).又2a＋b＝(3，18)，所以b＝(－5，12)，所以a·b＝－20＋36＝16.又｜a｜＝5，｜b｜＝13，所以cos θ＝＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. B. C. D. √ 因为四边形OABC是平行四边形，所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，所以a＝6，所以＝(4，2)，＝(2，6).设向量的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.又θ∈(0，π)，所以.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知向量a＝(－1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b的夹角为钝角，则实数λ的值可以是 A.－1 B.4 C.2 D.5 √ √ 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0，即(－1，－2)·(2，λ)＝－2－2λ＜0，所以λ＞－1.又当a与b反向时，夹角为180°，即a·b＝－｜a｜·｜b｜，则2λ＋2＝·，解得λ＝4.故a，b的夹角为钝角时，λ＞－1且λ≠4，结合选项，λ的值可以是2，5.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，1)，则 A.a与a－b夹角的余弦值为 B.(a＋b)∥a C.向量a在向量b上的投影向量的模为 D.若c＝(，－)，则a⊥c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由题意得，a－b＝(5，0)，所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；对于B，由题意得，a＋b＝(－1，2)，所以(a＋b)·a＝－1×2＋1×2＝0，所以(a＋b)⊥a，故B不正确；对于C，易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；对于D，因为a＝(2，1)，c＝(，－)，所以a·c＝2×＋1×(－)＝0，所以a⊥c，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(开放题)已知向量a，b不共线，a＝(2，1)，a⊥(b－a)，写出一个符合条件的向量b的坐标为___________________. (1，3)(答案不唯一) 由题意得｜a｜2＝5，a·(b－a)＝a·b－a2＝0，则a·b＝5.设b＝(x，y)，得2x＋y＝5，且x≠2y，故满足条件的向量b的坐标可以为(1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝____. 5 因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又｜a＋b｜＝5，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以｜b｜＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝ __________. (，) 设b＝(x，y).因为｜b｜＝＝1，所以x2＋y2＝1.所以a·b＝x＋y＝，所以x2＋＝1，所以4x2－6x＋2＝0，所以x1＝1，x2＝，所以y1＝0，y2＝.因为(1，0)是与x轴平行的向量，舍去.所以b＝(，). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1). (1)若｜c｜＝3，且c∥a，求向量c的坐标； 解：设c＝(x，y)，由｜c｜＝3，c∥a可得 故c＝(－3，3)或c＝(3，－3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ. 解：因为｜a｜＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1， 故cos θ＝＝， 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·＝7，则n·＝ A.－2 B.2 C.－2或2 D.0 √ 因为＋＝，所以n·(＋)＝n·，即n·＋n·＝n·，所以n·＝n·－n·＝7－5＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为 A.－ B. C. D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝(2，3)，＝(1，k)，所以＝－＝(－1，k－3).若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，所以k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，所以k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，所以k＝.故所求k的值为－.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近 点B)，点F为BC的中点，则·＝_____. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的平面直角坐标系，则F(0，0)， B(－1，0)，C(1，0)，D.设E(x，y)，则 ＝(x＋1，y)＝.由题可知＝，则 即E，所以＝，＝，所以·＝×＋×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)在平面直角坐标系Oxy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 解：设以线段AB，AC为邻边的平行四边形为ABDC，所以＝(3，5)，＝(－1，1)，对角线＝＋＝(2，6)，因此｜｜＝2； 另一条对角线＝－＝(－4，－4)，因此｜｜＝4.所以，所求平行四边形两条对角线的长为2，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值. 解：由题意得＝(3，5)，＝(－2，－1). 由(－t)·＝0，得[(3，5)－t(－2，－1)]·(－2，－1)＝0，解得t＝ －. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 √ 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0.又因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin A＞sin (－B)＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B＞0.设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0.又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，在△ABC中，·＝0，｜｜＝8， ｜｜＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D， E为l上异于D的任意一点. (1)求·的值； 解：以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，直线l为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意易知｜｜＝10，则D(0，0)，B(－5，0)，C(5，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x，y)，则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25＝0，｜｜2＝(－5－x)2＋(－y)2＝x2＋10x＋25＋y2＝64，解得x＝，y＝，所以A. 此时＝，＝(－10，0). 所以·＝－×(－10)＋×0＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由. 解：是一个常数，理由如下： 设点E的坐标为(0，y)(y≠0)，此时＝， 所以·＝－×(－10)＋×0＝14，为常数. 故·的值是一个常数. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $