6.3.1 平面向量基本定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 　 第六章 单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 单元整体设计 本单元是继平面向量的概念、运算之后的又一重要内容，它是共线向量定理的推广，是平面向量正交分解的基础，是将向量的运算转化为代数(坐标)运算的基础，具有承前启后的作用.平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是利用向量解决问题的基本手段、有着广泛的应用.由平面向量基本定理可以进一步实现向量的坐标表示，即实现向量的代数表示，从而实现向量运算完全代数化，进而体现向量的工具作用.学习计划6课时. 本单元内容重点是平面向量基本定理，平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示.难点是平面向量基本定理唯一性的证明.在研究的过程中，体会数形结合思想、转化与化归思想的应用，同时也提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义， 培养数学抽象的核心素养. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养逻 辑推理的核心素养. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题， 培养数学运算的核心素养. 任务一　平面向量基本定理 1 任务二　用基底表示向量 2 任务三　平面向量基本定理的应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　平面向量基本定理 返回 (阅读教材P25—26，完成问题1、2) 问题1.如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量. 问题导思 提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题2.上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示：分解方法唯一.如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝ －e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的. 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底 若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底. 新知构建 不共线 任一 有且只有一对 不共线 (1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后，任一向量的表示方法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的.特别地：当λ1e1＋λ2e2＝0时，λ1＝λ2＝0. 微提醒 (1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则下列选项中可作为基底的是 A. B. C. D. √ 典例 1 由题图可知，，，共线，不能作为基底，不共线，可作为基底.故选B. (2)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列选项中能作为平面内的一个基底的是 A. B. C. D. √ 对于A，2e1＋2e2＝2(e1＋e2)，即向量e1＋e2与2e1＋2e2共线，故不能作为基底；对于B，e1－2e2＝－2，即向量e1－2e2与－e1＋e2共线，故不能作为基底；对于D，2e1＋3e2＝，即向量2e1＋3e2与e1＋e2共线，故不能作为基底；对于C，因为＝1≠，所以向量－e1＋e2与－e1－e2不共线，则能作为平面内的一个基底.故选C. 规律方法 对基底的理解 1.判断两个向量能否构成一个基底，主要看两个向量是否不 共线. 2.同一平面内向量的基底不唯一，但基底一旦确定，平面内的任一向量都可以用这一个基底唯一表示. 对点练1.(1)已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝___. 3 因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线.由平面向量基本定理得所以x－y＝3. (2)已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，若{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为____________________. (－∞，4)∪(4，＋∞) 若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线.因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). 返回 任务二　用基底表示向量 返回 (1)已知四边形ABCD是平行四边形，且＝，＝3，则 A.＝＋ B.＝＋ C.＝－ D.＝－ √ 典例 2 ＝＋＝＋＝＋.故选B. (2)(双空题)如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为_______，以{a，c}为基底时，可表示为_______. a＋b 2a＋c 以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b.以{a，c}为基底时，＝＋＝＋＋＝2a＋c. 规律方法 用基底表示向量的两种基本方法 1.运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止. 2.通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则根据来构建方程(组)，使得问题获解. 对点练2.(1)如图，在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则＝ A.＋ B.－ C.－ D.－ √ 因为AB∥DC，且＝2，所以＝2，即＝＝－)＝－.故选D. (2)如图，已知平行四边形ABCD中，点E，F分别是边DC，AB的中点，AE，CF与对角线BD分别交于点G，H，设＝a，＝b.试用{a，b}为基底表示向量，. 由题意可知，G，H为BD的三等分点， 所以＝＝(－＋)＝(－＋)＝(－＋2)＝a－b. ＝＋＝－＋＝－a＋b＋a＝a＋b. 返回 任务三　平面向量基本定理的应用 返回 如图，在△ABO中，＝，＝， AD与BC相交于点M.设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示向量； 解：因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以可设＝s，＝t，则＝s＋(1－s)＝s＋，＝t＋(1－t)＝＋(1－t)，所以 所以＝a＋b. 典例 3 (2)分别在线段AC，BD上取点E，F，使EF过点M，若＝λ，＝μ，求＋的值. 解：由(1)知＝a＋b＝＋，因为E，M，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝7. 规律方法 1.根据向量关系求参数的值的一般方法 先利用已知条件把相关向量用同一个基底表示，再利用向量相等建立方程(组)求解. 2.常用结论 若，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1. 对点练3.(1)如图，在直角梯形ABCD中，P是BC的中点，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，若＝m＋n，则＝ A. B. C. D.2 √ 因为P是BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝＋＋)＝＋＋×＝＋.又，不共线，所以m＝，n＝，所以＝.故选C. (2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 返回 课堂小结 任务再现 (1)平面向量基本定理.(2)用基底表示向量.(3)平面向量基本定理的应用 方法提炼 数形结合 易错警示 忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量 随堂评价 返回 1.已知{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是 A.e1＋e2和e1－2e2 B.2e1－e2和2e2－4e1 C.e1－2e2和e1 D.e1＋e2和2e2＋e1 √ 因为2e1－e2＝－(2e2－4e1)，所以2e1－e2和2e2－4e1共线，所以2e1－e2和2e2－4e1不能作为基底.故选B. 2.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M，N.设＝m，＝n，则m＋n＝ A.1 B.2 C. D.3 √ 由题意得＝＋)＝(m＋n)＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋n＝2.故选B. 3.如图，在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝___. 因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋，所以＝. 4.已知a，b不共线，设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用 m，n表示p，则p＝__________. －m＋n 设p＝xm＋yn(x，y∈R)，则p＝3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得所以p＝－m＋n. 返回 课时分层评价 返回 1.设{e1，e2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是 A.e1－e2与e2－e1 B.2 e1＋3 e2与－4 e1－6 e2 C.e1＋2 e2与2e1－e2 D.－e1＋e2与e1－e2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，设e1－e2＝λ(e2－e1)，可得λ＝－1，所以向量e1－e2与e2－e1共线，故A不符合题意；对于B，设2e1＋3e2＝μ(－4e1－6e2)，可得μ＝－，所以向量2e1＋3e2与－4e1－6e2共线，故B不符合题意；对于C，设e1＋2e2＝x(2e1－e2)，可得此时方程组无解，所以向量e1＋2e2与2e1－e2不共线，可以作为一个基底，故C符合题意；对于D，设－e1＋e2＝y(e1－e2)，可得y＝－，所以向量－e1＋e2与e1－e2共线，故D不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，＝c，＝b，点D满足＝2，若将{b，c}作为一个基底，则＝ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c √ 因为＝2，所以－＝2(－)，所以－c＝2(b－)，所以＝b＋c.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝ A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2 C.e2－3e1 D.－e2＋3e1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则＝ A. B. C.3 D. √ 由题意可得，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，据此可知λ＝，μ＝，所以＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有 A.＝－a－b B.＝a－b C.＝a＋b D.＝－a √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝ －b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且＝4，若＝m＋n，其中m，n∈R，则 A.m＋n＝ B.m－n＝ C.2m＝3n D.3m＝2n √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在平行四边形中＝，＝，＝＋，因为E是AC的中点，所以＝＝，所以＝＋＝＋，因为＝4，所以＝＝，所以＝＋＝＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝m＋n，所以＝(m＋n)＋(m＋n)，所以所以m＋n＝，m－n＝，2m＝3n.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a， ＝b，则＝________(用a，b表示). a＋b ＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，G为AC与DE的交点，若 ＝a，＝b，则用a，b表示＝________. b－a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在平行四边形ABCD中，易证△AGD∽△CGE.又E是BC的中点，所以＝＝，所以＝，所以＝－＝－＝＋)－＝－＝b－a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝___. 9 考虑以{，}为基底来计算.因为＝3，＝2，所以＝＋，＝－＝－＋，所以·＝(＋)·(－＋)＝－＝×36－×16＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； 解：证明：假设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线，得方程组无解，所以λ不存在.故a与b不共线，可以作为一个基底. (2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.所以所以c＝2a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.M是△ABC内的一点，若＝＋λ，＝＋μ，则λ＋μ＝ A. B.1 C. D. √ 由－＝，则＝＋μ－－λ，所以＝μ－λ，即＝6(μ－λ)＝6(μ＋λ)，又＝＋，故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，其中m＞0，n＞0，则下列结论正确的是 A.＝＋ B.＝＋ C.2m＋n＝3 D.m＋2n＝3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，＝＋＝＋＝＋－)＝＋，故A正确，B错误；因为＝m，＝n，所以＝＋＝＋.又因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，故2m＋n＝3，故C正确，D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝____. ＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ(－＋)＝－＋λ，所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； 解：因为AN＝AB， 所以＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC， 所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AM交DN于点O，求AO∶OM的值. 解：因为A，O，M三点共线， 所以∥， 设＝λ， 则＝－＝λ－ ＝λ(a＋b)－b＝λa＋(λ－1)b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋(λ－1)b＝μ(a－b). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于向量a，b不共线，则 解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图，在平行四边形ABCD 中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且＝m＋，则实数m的值为___. 由题意得，＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又E，F，G三点共线，故可设＝λ＋(1－λ)，λ∈R，所以＝λ＋(1－λ)×＝＋，又＝m＋，所以解得λ＝，m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是线段AD上靠近点A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设＝λ，＝μ，其中λ，μ≥0. (1)试用与表示，； 解：因为点D是边BC的中点，所以＝＋＝ ＋＝－，＝＋＝＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证λ＋μ为定值，并求出此定值. 解：证明：因为＝λ，＝μ，所以＝(λ＋1)，＝(μ＋1). 因为＝＋)，所以＝＝＋) ＝＋. 因为P，E，Q三点共线，所以＋＝1，可得λ＋μ＝4，即λ＋μ为定值4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $