6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 第2课时　向量数量积的运算律及应用 　 第六章 单元学习二　向量运算 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，培养数 学运算的核心素养. 任务一　向量数量积的运算律 1 任务二　向量模的相关问题 2 任务三　向量的夹角与垂直问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　向量数量积的运算律 返回 (阅读教材P20—21，完成问题1、2) 问题1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是 向量. 问题2.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律. 问题导思 1.向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝____(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______(数乘结合律)； (3)(a＋b)·c＝__________(分配律). 新知构建 b·a a·(λb) a·c＋b·c 2.多项式乘法与向量数量积的相同点 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝____________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝____________ (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝________________________ a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a (1)a·b＝b·c推不出a＝c.(2)a，c不共线时，(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 微提醒 (1)(链接教材P21例12)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为，则(a＋2b)·(2a－b)＝ A.－36 B.－28 C.3 D.12 √ 典例 1 依题意，a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝2×5×＝2，所以(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×22－2×52＋3×2＝－36.故选A. (2)在边长为2的正方形ABCD中，E是AD的中点，则(＋)·＝___. 0 如图所示，(＋)·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝－，因为｜｜＝｜｜，所以(＋)·＝0. 规律方法 求向量的数量积的一般思路 求向量的数量积时，需明确两个关键量：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 对点练1.(1)(多选)如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有 A.＋＋＝0 B.(－)·(－)＝0 C.(·＝(· D.｜＋｜＝｜＋－｜ √ √ 对于A，＋＋＝2，故A错误；对于B，因为 －＝－＝，－＝－＝，由 正六边形的性质知OF⊥EA，所以(－)·(－) ＝0，故B正确；对于C，设正六边形的边长为1，则· ＝1×1×cos 120°＝－，·＝1×1×cos 60 °＝，所以(·＝(·⇔－＝，式子显然成立，故C正确；对于D，设正六边形的边长为1，｜＋｜＝｜｜＝1，｜＋－｜＝｜＋－｜＝｜－｜＝｜｜＝，故D错误.故选BC. (2)已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值. 因为｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°， 所以a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4·cos 120°＝－10， 所以(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos 120°－2｜b｜2 ＝25－(－10)－2×42＝3. 返回 任务二　向量模的相关问题 返回 (1)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·(a＋b)＝－1，则｜a＋2b｜＝ A. B.2 C.5 D.20 √ 典例 2 因为a·(a＋b)＝－1，所以a2＋a·b＝4＋a·b＝－1，所以a·b＝－5，所以｜a＋2b｜＝＝ ＝＝2.故选B. (2)已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝____. 由｜a＋b｜＝｜2a－b｜，得a2＝2a·b；由｜a－b｜＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即b2＝3，｜b｜＝. 规律方法 求向量的模的基本思路 a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思路是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 对点练2.已知平面向量a，b满足｜a－2b｜＝1，a·b＝1，则｜a＋2b｜＝ A. B.2 C.3 D.2 √ 因为｜a－2b｜＝1，a·b＝1，所以｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝a2－4a·b＋4b2＋8a·b＝｜a－2b｜2＋8a·b＝9，即｜a＋2b｜＝3.故选C. 返回 任务三　向量的夹角与垂直问题 返回 角度1　夹角问题 已知非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且｜a－2b｜＝｜a＋4b｜，则a，b的夹角为 A. B. C. D. √ 典例 3 由已知｜a－2b｜＝｜a＋4b｜可得，a2－4a·b＋4b2＝a2＋8a·b＋16b2，即a·b＋b2＝0.又因为｜a｜＝2｜b｜，所以cos 〈a，b〉＝＝－，所以a，b的夹角为.故选C. 规律方法 求两向量夹角的方法 求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及｜a｜，｜b｜的值，然后代入求解，也可以寻找｜a｜，｜b｜，a·b三者之间的关系再求解. 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 已知不共线的两个平面向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝4. (1)若a与b的夹角θ＝，求｜a＋b｜的值； 解：由题意，｜a｜＝3，｜b｜＝4，所以｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cos ＋｜b｜2＝32＋2×3×4×＋42＝37. 所以｜a＋b｜＝. (2)若(a＋kb)⊥(a－kb)，求实数k的值. 解：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0. 因为｜a｜＝3，｜b｜＝4，所以9－16k2＝0，解得k＝±. 典例 4 规律方法 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，与向量的模、夹角相关的知识结合解题. 对点练3.(1)已知a，b是非零平面向量，a⊥(a＋b)，且a，b的夹角为，｜b｜＝4，则｜a｜＝ A.1 B. C.2 D.2 √ 因为a⊥(a＋b)，〈a，b〉＝，｜b｜＝4，所以a·(a＋b)＝｜a｜2－2 ｜a｜＝0，解得｜a｜＝2 . (2)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹 角为___. ｜a－b｜＝＝＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 教材拓展3　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 1.公式推导 ⇒a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] 2.极化恒等式的应用 极化恒等式在解决向量数量积问题中起着重要的作用. 平行四边形模型：如图，在平行四边形ABCD中，·＝－)，即“从平行四边形一个顶点出发的两条边对应向量的数量积是‘和对角线长’与‘差对角线长’平方差的”. 三角形模型：如图，在△ABC中，若设D为BC的中点，则·＝－＝－，即“从三角形一个顶点出发的两条边对应向量的数量积是第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差”. (一题多解)在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为上的 动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是______. 典例 5 － 法一：如图，取OB的中点D，连接PD，则·＝ ｜｜2－｜｜2＝｜｜2－，所以要求· 的最小值，只需求PD的最小值.由图可知，当PD⊥ AB时，PD取最小值，为，则·的最小值为－. 法二：设弦AB的中点为M，则·＝(＋)·＝·.若，同向，则·＞0；若，反向，则·＜0，故·，反向时取得，此时｜｜＋｜｜＝ ｜｜＝，·＝－｜｜·｜｜≥－＝－，当且仅当｜｜＝｜｜＝时取等号， 即·的最小值是－. 返回 课堂小结 任务再现 (1)向量数量积的运算律.(2)利用数量积求向量的模和夹角.(3)向量垂直的应用 方法提炼 类比法 易错警示 忽略向量数量积不满足结合律 随堂评价 返回 1.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a，b的夹角为，则a·(a＋b)＝ A.－1 B.1 C.2 D.＋1 √ a·(a＋b)＝a2＋a·b＝12＋1×2×cos ＝2.故选C. 2.已知非零向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜，且(a＋b)⊥b，则a与b的夹角为 A. B. C. D. √ 由(a＋b)⊥b知(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，则a·b＝－｜b｜2，设a与b的夹角为α，则cos α＝＝＝－.因为α∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选C. 3.已知向量a，b满足｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°，且(λb－a)⊥a，则实数λ的值为___. 2 由(λb－a)⊥a，得(λb－a)·a＝0，即λb·a－a2＝0.因为｜a｜＝，｜b｜＝1，a与b的夹角为45°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 45°＝×1×＝1，所以λ－2＝0，解得λ＝2. 4.已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝2，a·(a－b)＝1，则｜2a－b｜＝______. 2 a·(a－b)＝a2－a·b＝4－a·b＝1，则a·b＝3，所以｜2a－b｜＝＝＝＝2. 返回 课时分层评价 返回 1.已知单位向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－，则a·b＝ A. B. C. D. √ 因为(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝1－2＋a·b＝－，所以a·b＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知｜a｜＝｜b｜＝1，且｜a－b｜＝，则向量a，b的夹角为 A.130° B.60° C.90° D.120° √ 设a，b的夹角为θ，由｜a－b｜＝，可得(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝3，所以a·b＝－.所以cos θ＝＝－，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知向量a，b的夹角为，且｜a｜＝，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝ A.1 B. C.2 D. √ ｜a＋2b｜＝ ＝ ＝＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知｜i｜＝｜j｜＝1，i⊥j，且a＝2i＋3j，b＝ki－4j，若a⊥b，则k的 值是 A.6 B.－6 C.3 D.－3 √ 因为i⊥j，所以i·j＝0，若a⊥b，则a·b＝(2i＋3j)·(ki－4j)＝2k｜i｜2－12｜j｜2＝2k－12＝0，解得k＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是 A.｜a＋b｜＝1 B.a⊥b C.(4a＋b)⊥b D.a·b＝－1 √ √ 分析知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，故B错误；因为(a＋b)2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝3，所以｜a＋b｜＝，故A错误；因为(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，所以(4a＋b)⊥b，故C正确；a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，则下列结论中正确的有 A.a⊥b B.｜a｜＝ C.｜a－b｜＝ D.cos 〈a，a－b〉＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由向量e1，e2是夹角为的单位向量，可得e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos ＝－.因为a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝2－2－3e1·e2＝2－2＋＝≠0，所以a⊥b不成立，故A错误；｜a｜2＝－4e1·e2＋4＝1＋2＋4＝7，所以｜a｜＝，故B正确；由a－b＝－e1－3e2，可得｜a－b｜＝＝＝，故C错误；a·(a－b)＝－－e1·e2＋6＝－1＋＋6＝，则cos 〈a，a－b〉＝＝＝，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量｜a｜＝2，｜b｜＝3，且a·b＝1，则｜2a＋b｜＝______. 因为｜2a＋b｜2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4×22＋4×1＋32＝29，所以｜2a＋b｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且b⊥(a－b)，则向量a 与b的夹角的大小为___. 由b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝0，即b·a－b2＝0.因为｜a｜＝2，｜b｜＝，所以b·a＝3.设向量a，b的夹角为θ(0≤θ≤π)，所以cos θ＝＝＝，所以θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知a，b为平面向量，｜b｜＝2.若a在b方向上的投影向量为，则(a－b)·b＝______. －2 设a，b的夹角为θ，因为a在b方向上的投影向量为，｜b｜＝2，所以＝｜a｜cos θ·，得｜a｜cos θ＝1.从而a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝1×2＝2.(a－b)·b＝a·b－b2＝2－4＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，(a＋b)·b＝8. (1)求｜a＋b｜； 解：依题意，(a＋b)·b＝a·b＋b2＝a·b＋9＝8，a·b＝－1， 所以｜a＋b｜＝＝＝＝. (2)当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直； 解：若ka－b与a＋2b垂直，则(ka－b)·(a＋2b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝4k－(2k－1)－18＝2k－17＝0，解得k＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求向量a与a＋b的夹角的余弦值. 解：a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4－1＝3，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，E是CD上一点，且·＝1，则·的值为 A.3 B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设的夹角为θ，则－θ，又∥，故有－θ.如图所示，因为·＝｜｜·｜｜·cos θ＝｜｜·cos θ＝1，所以｜｜·cos θ＝，所以·＝｜｜cos ＝｜｜sin θ＝1，所以·＝·(＋)＝·＋·＝1＋1＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知a，b为平面上的单位向量，且｜a＋b｜＝2｜a－b｜，则 A.向量a与b的夹角的余弦值为 B.｜a－b｜＝ C.(a＋2b)⊥(2a－b) D.向量a－b在向量a上的投影向量为a √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知｜a｜＝｜b｜＝1，且｜a＋b｜＝2｜a－b｜，故｜a＋b｜2＝4｜a－b｜2，即2＋2a·b＝8－8a·b，所以a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，故A正确；｜a－b｜2＝2－2a·b＝2－2×＝，故｜a－b｜＝，故B正确；(a＋2b)·(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2＝3a·b＝≠0，故a＋2b，2a－b不垂直，故C错误；向量a－b在向量a上的投影向量为·＝(a2－a·b)a＝a，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量.若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋ 2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是___________ __________. (－，3)∪ (3，＋∞) 因为a，b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a，b不共线，当a·b＞0时，(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝3t＋(6＋2t)e1·e2＋4＝3t＋(6＋2t)＋4＞0，得t＞－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以所以当t≠3时，a，b不共线.综上，实数t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且＝. (1)用向量，表示； 解：＝＋＝＋＝＋＋)＝ ＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若·＝8·，求的值. 解：·＝－·－)＝ －(3－－2·). 因为·＝8·，所以·＝－＋＋·，则－ ＋＝0，即＝3，所以＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0.又因为－＝，所以(－)·(＋)＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点). (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值； 解：因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点， 所以＝＝，＝－＝－， 所以＝＋＝－＋. 又＝λ＋μ， 所以λ＝－，μ＝， 故λ＋μ＝－＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若AB＝2，当·＝1时，求cos ∠EAF的值. 解：设＝m(0≤m≤1)， 则＝＋＝－m. 又＝＋＝＋，·＝0， 所以·＝(＋)·(－m)＝－m＋＝－4m＋2＝1， 故m＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以·＝(＋)·(＋)＝＋＝3＋2＝5， 易得｜｜＝，｜｜＝， 所以cos ∠EAF＝＝＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $