6.2.4 第1课时 两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 　 第六章 单元学习二　向量运算 学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位 移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量，培养数学抽象的核心 素养. 3.会计算平面向量的数量积，培养数学运算的核心素养. 任务一　两向量的夹角 1 任务二　两向量的数量积 2 任务三　投影向量 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　两向量的夹角 返回 (阅读教材P17，完成问题1) 问题1.在功的公式W＝｜F｜｜s｜cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是F与s的夹角. 问题导思 1.夹角：已知两个__________a，b(如图)，O是平面上的 任意一点，作＝a，＝b，则______________(0≤θ ≤π)叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b______； 当θ＝π时，a与b______. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 新知构建 非零向量 ∠AOB＝θ 同向 反向 (1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 微提醒 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b， ＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°，所以的夹角为30°，的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 典例 1 规律方法 1.求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 2.特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 对点练1.如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角. (1)与； 解：的夹角是∠EDF＝60°. (2)与； 解：因为＝，所以的夹角，即∠EDA＝120°. (3)与. 解：如图所示，延长FD至B'，使DB'＝FD，则＝，则的夹角，即∠EDB'＝120°. 返回 任务二　两向量的数量积 返回 (阅读教材P17，完成问题2) 问题2.物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：W＝｜F｜｜s｜cos θ(θ为F与s的夹角). 问题导思 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为___. 新知构建 0 2.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝_____________. (2)a⊥b ⇔ a·b＝___. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝. (4)｜a·b｜____｜a｜｜b｜. (5)cos θ＝. ｜a｜cos θ 0 ≤ (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.(4)｜a｜＝ 是求向量的长度的工具. 微提醒 (1)(链接教材P17例9)已知向量a与b的夹角为120°，｜a｜＝3， ｜b｜＝4，则a·b＝_____. 典例 2 －6 a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝3×4×＝－6. (2)(链接教材P18例10)已知向量a，b满足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－ 6，则cos 〈a，b〉＝______. － 因为｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 规律方法 求两个非零向量的数量积的两个关键点 1.确定模、夹角：利用图形或给出的数据求相关向量的模和夹角. 2.利用公式：代入数量积计算公式，求数量积. 对点练2.已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·； 解：因为的夹角为60°， 所以·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝. (2)·； 解：因为的夹角为120°，所以·＝｜｜｜｜cos 120°＝1×1×＝－. (3)·. 解：因为的夹角为60°，所以·＝｜｜｜｜cos 60°＝1×1×＝. 返回 任务三　投影向量 返回 (阅读教材P18—19，完成问题3) 问题3.如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，如何用｜OA｜和θ表示｜OD｜？ 提示：｜OD｜＝｜OA｜cos θ. 问题导思 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b______，叫做向量a在向量b上的______向量. 新知构建 投影 投影 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ ｜a｜cos θ e. (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 微提醒 在△ABC中，已知｜｜＝5，｜｜＝4，｜｜＝3，求： (1)在方向上的投影向量； 解：由题意得，AC⊥BC，cos A＝＝，所以方向上的投影向量为｜｜·cos A·＝3××＝. (2)在方向上的投影向量的模. 解：由题意得，AC⊥BC，cos B＝，所以方向上的投影向量为 ｜｜·(－cos B)＝5×＝－4， 所以方向上的投影向量的模为4. 典例 3 规律方法 投影向量的求法 1.依据投影的定义：结合平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量. 2.直接利用公式：a在b方向上的投影向量是｜a｜cos θ e，其中〈a，b〉＝θ，e＝. 对点练3.(1)已知四边形ABCD为菱形，则向量在向量上的投影向 量为 A. B. C.－ D.－ √ 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.设AC与BD的交点为O，则向量＝.故选B. (2)已知｜a｜＝8，｜b｜＝3，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量 是______. a 因为｜a｜＝8，｜b｜＝3，a与b的夹角为，所以b在a方向上的投影向量是｜b｜cos 〈a，b〉·＝3××＝a. 返回 课堂小结 任务再现 (1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义及性质.(3)投影向量 方法提炼 数形结合 易错警示 向量夹角共起点；a·b＞0 两向量夹角为锐角，a·b＜0 两向量夹角为钝角 随堂评价 返回 1.已知锐角△ABC，则下列说法正确的是 A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是锐角 D.与的夹角是锐角 √ 如图所示.对于A，的夹角为π－∠ABC，为钝角，故A错误；对于B，的夹角为π－∠BAC，为钝角，故B错误；对于C，的夹角为∠ACB，为锐角，故C正确；对于D，的夹角为π－∠BAC，为钝角，故D错误.故选C. 2.在△ABC中，B＝60°，AB＝6，BC＝5，则·＝ A.30 B.－30 C.－15 D.15 √ 由题意得，·＝｜｜｜｜·cos 120°＝6×5×＝－15.故选C. 3.已知e为单位向量，＝6，向量a，e的夹角为，则a在e上的投影向 量是 A.2e B.0 C.－3e D.－2e √ e为单位向量，则＝1，则向量a在向量e上的投影向量为cos θ＝6cos e＝－3e.故选C. 4.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝____. 2 ·＝｜｜｜｜cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 返回 课时分层评价 返回 1.已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于 A.1 B. C.3 D.3 √ a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝2××cos 30°＝3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若a，b均为非零向量，则a·b＝｜a｜｜b｜是a与b共线的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 一方面：由a·b＝｜a｜｜b｜，可得a与b的夹角为0，此时a与b共线；另一方面：由a与b共线，可得a与b的夹角为0或π，此时有a·b＝｜a｜｜b｜或a·b＝－｜a｜｜b｜，即此时a·b＝｜a｜｜b｜不一定成立.综上可得，a·b＝｜a｜｜b｜是a与b共线的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则向量a与b的夹角大小为 A. B. C. D. √ 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，而θ∈[0，π]，故θ＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在向量上的投影向量为 A. B. C. D. √ 由题意得B＝30°，AD⊥BC，所以上的投影向量为｜｜·cos 30°·＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列说法正确的是 A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是(，π］ C.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为45° D.若a·b＝0，则a⊥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由向量a在向量b上的投影向量的定义知，向量a在向量b上的投影向量可表示为·，故A正确；对于B，因为a·b＝｜a｜· ｜b｜·cos θ＜0，所以cos θ＜0，又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ的范围是(，π］，故B正确；对于C，若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为135°，故C错误；对于D，若a·b＝0，且a，b都为非零向量时，a⊥b，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，O为其中心，下列结论正确的是 A.·＝－1 B.·＝2 C.｜＋｜＝｜－｜ D.·＝· √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由正六边形的性质可知，反向共线，所以 ·＝｜｜｜｜cos 180°＝－1，故A正确； 的夹角为120°，所以·＝｜｜｜｜ cos 120°＝2×2×(－)＝－2，故B错误；＋ ＝，－＝，｜｜＝｜｜，故C正确；·＝｜｜ ｜｜cos 60°＝，·＝·＝｜｜｜｜cos 120°＝－，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且｜b｜＝2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b＝____. 4 设a与b的夹角为θ，由题意得cos θ＞0，所以｜a｜cos θ＝｜2e｜＝2，所以a·b＝｜b｜·｜a｜cos θ＝2×2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋ c·a＝______. － a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝ －，c·a＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则·的值为___，·的最大值为___. 1 1 如图所示，由向量数量积的定义可得·＝·＝ ｜｜｜｜cos θ.由图可知，｜｜cos θ＝｜｜， 因此·＝｜｜2＝1.·＝｜｜｜｜ cos α＝｜｜cos α，而｜｜cos α就是向量 上的投影向量的模，当上的投影向量的模最大，即为｜｜时，·最大，此时点B与点E重合，所以·的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知｜a｜＝2｜b｜＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为－e. (1)求a与b的夹角θ； 解：由题意知｜a｜＝2，｜b｜＝1. 又a在b方向上的投影向量为｜a｜cos θ e＝－e， 所以cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)求a·b. 解：由(1)知θ＝，所以a·b＝｜a｜·｜b｜cos θ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且｜b｜＝2｜a｜，则向量a与c的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB ＝60°，｜b｜＝2｜a｜，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量a与c的夹角为90°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)下列说法错误的是 A.在等腰直角三角形ABC中，若A为直角，则与的夹角为45° B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0 C.向量a在向量b上的投影向量是一个向量，而向量a在向量b上的投影是一种变换 D.对于非零向量a，b，“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的充分不必要条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，B为45°，的夹角为B的补角，为135°，故A错误，符合题意；对于B，当a⊥b时，a·b＝0，故B错误，符合题意；对于C，“投影向量”是向量，“投影”是一种变换，故C正确，不符合题意；对于D，当向量a，b同向时，a·b＞0，a与b的夹角为锐角不成立；当a与b的夹角θ为锐角时，a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＞0.所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故D错误，符合题意.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，O，A在格点上，则·的取值范围是__________. ·＝｜｜·｜｜·cos ∠AOP，｜｜＝2，结合图形可知0≤ ｜｜·cos ∠AOP≤1，所以·的取值范围为[0，2]. [0，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； 解：若＝，则＝＋， 故x＝y＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 解：因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2. 又因为＝3，所以｜｜＝. 所以｜｜＝＝，cos ∠OPB＝； 所以的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新定义)定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于 A.8 B.－8 C.8或－8 D.6 √ cos θ＝＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝.所以｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； 解：连接AM，BM(图略)，由已知可得＝，四边 形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋)＝－－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(一题多解)求·的取值范围. 解：法一：由题意知｜｜＝｜｜＝1，·＝－. 设＝k，k∈[0，1]，则＝(k－1)－， ＝－－k，·＝， 所以·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜， 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $