6.1 平面向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.1　平面向量的概念 　 第六章 单元学习一　向量概念 单元整体设计 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.通过本章的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理；用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题；用向量方法研究了任意三角形的边角关系，得到余弦定理、正弦定理，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模的核心素养.基于此，本章共分四个单元整体设计：向量概念，向量运算，平面向量基本定理及坐标表示，向量应用，学习计划20课时(含章末). 本单元主要通过物理中的位移、速度、力等抽象出数学中的向量，并类比实数的几何表示，以及物理学中位移的表示方法，用有向线段表示向量，进而通过向量之间的关系来认识相等向量与共线向量.学习计划1 课时. 本单元内容重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量的概念.难点是向量的概念和共线向量的概念.在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象的核心素养. 学习目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背 景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量 及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念，培养 数学抽象的核心素养. 任务一　向量的概念及几何表示 1 任务二　零向量和单位向量 2 任务三　相等向量与共线向量 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　向量的概念及几何表示 返回 (阅读教材P2—3，完成问题1、2) 问题1.在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向. 问题2.平面直角坐标系中的x轴是如何表示方向的？ 提示：用箭头表示方向. 问题导思 向量的概念及表示 新知构建 定义 既有______又有______的量叫做向量.只有______没有方向的量称为______ 表示方法 (1)几何表示法：向量可以用__________表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的______；如：以A为______、B为______的有向线段记作； (2)字母表示法：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，) 向量的模 向量的________称为向量的长度(或称_____)，如a，的模记作｜a｜， ｜｜ 大小 方向 大小 数量 有向线段 方向 起点 终点 大小 模 (1)向量有两个要素：大小和方向.(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.(3)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；向量可以用有向线段来表示. 微提醒 √ 典例 1 角度1　向量的基本概念 (1)(链接教材P4练习T1)给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功； ⑨时间. 其中不是向量的有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量.故选C. (2)(多选)下列说法中正确的有 A.向量的模与向量的模相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.｜a｜与｜b｜是否相等与a，b的方向无关 D.向量的模可以比较大小 √ √ √ 向量的模都等于线段AB的长度，故A正确；有向线段是向量的几何表示，两者并不相同，故B错误；｜a｜与｜b｜分别表示向量a与b的大小，与a，b的方向无关，故C正确；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D正确.故选ACD. 规律方法 判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量可以用有向线段表示，但有向线段不是向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 典例 2 角度2　向量的几何表示 (链接教材P5T1)已知如图所示的坐标纸中每个小方格的边长为1. (1)｜｜＝3，点A在点O的正西方向，画出向量； 解：画出向量，如图所示. (2)｜｜＝3，点B在点O的北偏西45°方向，画出向量｜｜； 解：画出向量，如图所示. (3)画出向量，并写出向量的大小和方向. 解：画出向量，如图所示，则｜｜＝＝3，向量的方向为正北. 规律方法 用有向线段表示向量的步骤 第一步：定起点：确定表示向量的有向线段的起点； 第二步：定方向：确定表示向量的有向线段的方向； 第三步：定终点：根据向量的模，确定有向线段的长度进而确定终点. 对点练1.如图，某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方向(图中每个小方格的边长为100 m). (1)作出向量，，； 解：根据题意可知，点B在点A的正西方向，且｜｜＝200 m，所以点B的位置可以确定. 因为点D在点B的正北方向，所以CD⊥BD，又点C在点D的正西方向， ｜｜＝200 m，｜｜＝200 m，所以｜｜＝200 m，即D，C两点的位置可以确定. 作出，，，如图所示. (2)求的模. 解：作出向量，如图所示，由题意可知，CD∥AB，且｜｜＝｜｜＝200 m，所以四边形ABCD是平行四边形，则｜｜＝｜｜＝200 m，所以的模为200 m. 返回 任务二　零向量和单位向量 返回 (阅读教材P3，完成问题3) 问题3.我们知道向量的模是表示向量的有向线段的长度，那么向量的模是否可以为0或1呢？模为0或1的向量如何定义呢？ 提示：可以为0或1；模为0或1的向量分别定义为零向量和单位向量. 问题导思 新知构建 向量名称 定义 零向量 长度为___的向量，记作___ 单位向量 长度等于_________长度的向量 0 0 1个单位 (1)不能说零向量没有方向，它的方向是任意的.(2)单位向量有无数多个，它们的大小相等，但方向不一定相同. 微提醒 √ 典例 3 (多选)下列说法正确的是 A.零向量可以是任意方向 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 √ √ 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向是任意的，零向量的长度都是0；单位向量的长度都是1，故A，C，D正确. 规律方法 1.单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 2.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆. 对点练2.(多选)下列说法中错误的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ √ √ 零向量的模为0，故A不正确；单位向量是长度等于1个单位长度的向量，有无数个，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确.故选ABD. 返回 任务三　相等向量与共线向量 返回 (阅读教材P3—4，完成问题4、5) 问题4.如图所示，在梯形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小不等，方向相同. 问题5.如图所示，边长为1的菱形ABCD中，向量与有什么关系？ 提示：大小相等，方向相同. 问题导思 新知构建 平行向量(共线向量) 方向____________的非零向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量______ 相等向量 长度______且方向______的向量；向量a与b相等，记作a＝b 相同或相反 平行 相等 相同 在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性. 微提醒 典例 4 (链接教材P4例2)O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； 解：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 由题中图形可得：＝，＝. (2)找出与共线的向量； 解：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 由题中图形可得，与共线的向量有：，，. (3)找出与的模相等的向量； 解：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 与的模相等的向量有：，，，，，，. (4)向量与是否相等？ 解：因为O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，所以OA＝AE＝OD＝DE＝OC＝CF＝BF＝BO，AB＝CD＝BC＝AD. 向量不相等，因为它们的方向不相同. 规律方法 相等向量与共线向量的探求方法 1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. 2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点、起点为终点的向量. 对点练3.已知四边形ABCD，下列说法正确的是 A.若＝，则四边形ABCD为平行四边形 B.若｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 C.若∥，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD为矩形 D.若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD为梯形 √ 对于A，若＝，则｜｜＝｜｜且∥ ，则四边形ABCD为平行四边形，故A正确； 对于B，如图所示，｜｜＝｜｜＝2，但是 四边形ABCD不是矩形，故B错误；对于C，若∥，且｜｜＝ ｜｜，则四边形ABCD可以是等腰梯形，也可以是矩形，故C错误；对于D，若｜｜＝｜｜，且∥，则四边形ABCD可以是平行四边形，也可以是梯形，故D错误.故选A. 对点练4.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. (1)写出与共线的向量； 解：因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF ＝BC.又因为D是BC的中点，所以与 ，，，，，，. (2)写出模与的模相等的向量； 解：模与，，，，. (3)写出与相等的向量. 解：与，. 返回 课堂小结 任务再现 (1)向量的概念及表示.(2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量) 方法提炼 数形结合 易错警示 零向量和单位向量的方向容易混淆 随堂评价 返回 1.如图，在圆O中，向量，，是 A.有相同起点的向量 B.共线向量 C.模相等的向量 D.相等向量 √ 由题图可知，，是模相等的向量，其模均等于圆O的半径.故选C. 2.(多选)下列说法正确的是 A.加速度是向量 B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量 C.一人从A点向东走500米到达B点，则向量表示这个人从A点到B点的位移 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 √ √ 由向量的定义知，加速度是向量，故A正确；B显然正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故C不正确；若两个单位向量平行，则方向相同或相反，则这两个单位向量不一定相等，故D错误.故选AB. 3.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是 A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.＝ D.与共线 √ √ 因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O是AC中点，即有＝，故A正确；平行四边形对角线长不一定相等，则｜｜与 ｜｜不一定相等，故B不正确；点A，O，B不共线，故C不正确；平行四边形ABCD中，AB∥CD，即有共线，故D正确.故选AD. 4.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量： (1)共线向量：____________； (2)方向相反的向量：____________； (3)模相等的向量：_________. a与d，b与e a与d，b与e a，c，d 由题图得a∥d，b∥e，因此a与d是共线向量，并且方向相反，b与e是共线向量，并且方向相反，显然｜a｜＝，｜c｜＝，｜d｜＝，因此a，c，d的模相等. 返回 课时分层评价 返回 1.下列命题中正确的有 A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量 B.共线的向量，若始点不同，则终点一定不同 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.若｜a｜＞｜b｜，则a＞b √ 温度没有方向，所以不是向量，故A错误；由共线向量的定义可知，共线的向量，始点不同，终点可能相同，故B错误；向量不可以比较大小，故D错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故若a与b不共线，则应均为非零向量，故C正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列选项错误的是 A.＝ B.∥ C.｜｜＝｜｜ D.＝ √ 对于A，由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形，故＝，故A正确；对于B，因为AB∥DE，故∥，故B正确；对于C，由正六边形的性质可得AD＝BE，故｜｜＝｜｜，故C正确；对于D，因为AD，FC交于O，故＝不成立，故D错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法中正确的是 A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 √ 速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式中正确的 A.｜a｜≥｜b｜ B.a∥b C.｜a｜＞0 D.｜b｜＝±1 √ 对于A，因为向量a的模未知，不能比较｜a｜与｜b｜的大小，故A错误；对于B，因为非零向量a的方向不确定，故不能判断a与b平行，故B错误；对于C，由非零向量a可得，｜a｜＞0，故C正确；对于D，向量的模不可能为负数，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列能使a∥b成立的是 A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜ C.a与b方向相反 D.｜a｜＝0或｜b｜＝0 √ √ √ 对于A，若a＝b，则a与b的长度相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若｜a｜＝｜b｜，则a与b的长度相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若｜a｜＝0或｜b｜＝0，则a∥b.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图所示，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形CGHD是完全相同的菱形，则下列结论中一定成立的是 A.｜｜＝｜｜ B.与共线 C.与共线 D.＝ √ √ √ 由题意可知，AB＝EF，AB∥CD∥FG，CD＝FG，而∠DEH不一定等于∠BDC，故BD与EH不一定平行，所以选项A、B、D一定成立，选项C不一定成立.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在四边形ABCD中，若∥，且｜｜≠｜｜，则四边形ABCD的形状是______. 梯形 在四边形ABCD中，因为∥，所以AB∥CD，又｜｜≠｜｜，所以四边形ABCD的形状是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝____. 0 向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反；向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量方向不同且不共线，则m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多空题)如图所示，每个小正方形的边长都是1，其中标出了，，，，，六个向量. (1)在这6个向量中有2个向量的模相等，这2个向量是__________，它们的模都等于______； ， 由题可知，｜｜＝｜｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在这6个向量中存在共线向量，这些共线的向量是__________，它们的模的和等于______. ， 5 由题图可知，∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线.｜｜＋｜｜＝＋＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量. 解：与共线的向量：，，，，，，，，，，. 与相等的向量：，，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 11.(多选)下列结论中正确的有 A.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的必要不充分条件 B.a∥b且｜a｜＝｜b｜是a＝b的既不充分也不必要条件 C.a与b方向相同且｜a｜＝｜b｜是a＝b的充要条件 D.a与b方向相反或｜a｜≠｜b｜是a≠b的充分不必要条件 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A、C、D正确，B错误.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在如图所示的半圆中，点O为圆心，AB为直径，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，｜｜＝2，则｜｜＝ A.1 B. C. D.2 √ 由｜｜＝｜｜，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°，所以｜｜＝｜｜＝1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知在四边形ABCD中，＝且｜｜＝｜｜＝｜｜＝2， 则该四边形内切圆的面积是____. π 由＝可知四边形ABCD为平行四边形，由｜｜＝｜｜＝ ｜｜可知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝｜｜sin 60°＝.所以四边形内切圆的面积S＝πr2＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且｜｜＝. (1)画出所有的向量； 解：画出所有的向量，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求｜｜的最大值与最小值. 解：由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，｜｜取得最小值＝. ②当点C位于点C5或C6时，｜｜取得最大值＝. 所以｜｜的最大值为，最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)已知A＝{b｜b是与a共线的向量}，B＝{b｜b是与a长度相等的向量}，C＝{b｜b是与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列结论正确的是 A.C⊆A B.A∩B＝{a} C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a} √ √ √ 与a长度相等且方向相反的向量一定是与a共线的向量，故A正确；A∩B中还包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误，D正确；与a长度相等且方向相反的向量一定是与a长度相等的向量，故C正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中有多少个元素？ 解：由题可知，点集S中任意两点连成的有向线段共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，. 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝. 因为集合中的元素具有互异性，所以集合T中共有12个元素. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $