11.1.5 旋转体-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的定义、结构特征及表面积计算，通过矩形旋转成圆柱、直角三角形旋转成圆锥等问题思考导入，搭建平面图形到空间几何体的认知支架，衔接平面几何与立体几何知识脉络。 其亮点在于以问题驱动结合表格对比（如结构特征、表面积公式），通过合作探究（轴截面应用、蚂蚁爬行最短路径等题型）和易错辨析，培养直观想象（空间几何体形成）、数学运算（表面积公式推导）核心素养。学生能提升空间观念与运算能力，教师可系统落实素养目标，提高教学效率。

11.1.5　旋转体 　 第十一章　11.1　空间几何体 知识层面 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．　 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．　 3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．　 4．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题． 素养层面 通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象核心素养；借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．如图，矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周，其余三边BC，CD，DA旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC，DA旋转各形成一个圆面，边CD旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆柱． 问题2．如图，直角三角形ABC绕其一条直角边AC所在直线旋转一周，其余两边BC，AB旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC旋转形成一个圆面，边AB旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆锥． 问题3．如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是什么几何体？此几何体是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？ 提示：圆台，可以，此几何体可以由直角梯形绕其垂直于底的腰旋转，其他的边形成的几何体就是圆台． 新知构建 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念   圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以________的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的__________ 圆锥可看成以_____________一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 轴 __________称为旋转体的轴 高 在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的______ 底面 垂直于轴的边旋转而成的________称为旋转体的底面 矩形 几何体 直角三角形 旋转轴 高 圆面   圆柱 圆锥 圆台 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为________________ 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为________ 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为__________ 图形 表示 此图可表示为：圆柱OO′ 此图可表示为：圆锥SO 此图可表示为：圆台OO′ 旋转体的侧面 母线 轴截面 微提醒 圆柱、圆锥、圆台的特征性质   圆柱 圆锥 圆台 底面 两个相同的圆面，两圆所在的平面互相平行 圆面 两个半径不等的圆面，两圆所在的平面互相平行 平行于底面的截面 与底面相同的圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 过轴的截面(简称轴截面) 有无数个，且都是全等的矩形，一边长是底面圆的直径，另一边长等于母线长 有无数个，且都是全等的等腰三角形，腰是母线，底边是底面圆的直径 有无数个，且都是全等的等腰梯形，腰是母线，上、下底边分别是两底面圆的直径 母线 有无数条，它们相互平行且均等于高 有无数条，相交于顶点且等长 有无数条，延长后相交于一点且等长 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个________，如图①所示．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则这个矩形的长等于圆柱底面的周长c＝2πr，宽等于圆柱的母线长l，于是可得S圆柱侧＝cl＝_________． (2)圆柱的表面积：S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝______________． 矩形 2πrl 2πr(r＋l) 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个________，如图②所示．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长c＝2πr，半径等于圆锥侧面的母线长l，于是可得S圆锥侧＝ cl＝_______． (2)圆锥的表面积：S圆锥表＝πr2＋πrl＝____________． 扇形 πrl πr(l＋r) 3．圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个________，如图③所示．设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，上、下底面圆的周长分别 为c′＝2πr′，c＝2πr，于是可得S圆台侧＝ (c＋c′)·l＝___________． (2)圆台的表面积：S圆台表＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2＝__________________. 扇环 π(r＋r′)l π(r2＋r′2＋rl＋r′l) 知识点三　球的有关概念 球面可以看成一个半圆绕着它的________所在的直线旋 转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球也是一个旋转体． 形成球面的半圆的圆心称为球的________，连接球面上一点和球心的线段称为球的________，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的________． 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的________，被不经过球心的平面截得的圆称为球的________． 直径 球心 半径 直径 大圆 小圆 微提醒 球的结构特征 (1)球是旋转体，由球面及所围成的空间部分构成； (2)用一个平面去截球，截面都是圆面，轴截面为面积最大的截面． 知识点四　球的表面积 如果球的半径为R，那么球的表面积为S球＝__________． 4πR2 微提醒 有关球的表面积的几点说明 (1)球的表面是曲面，不能展开在一个平面上，因此不能用计算平面图形的面积的方法来计算球的表面积，但是由球的表面积公式求得的值是准确值，而不是近似值． (2)由球的表面积公式可知，已知球的半径可以利用公式求出它的表面积，已知球的表面积，可利用方程思想求出它的半径． (3)常用结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 自主检测 1．已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括 A．一个圆柱、一个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．一个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台 √ 直角梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，可得几何体为：一个圆柱、一个圆锥．故选A． ①圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；②圆锥的侧面展开图是一个扇形，正确；③圆台的侧面展开图不是一个梯形，是扇环，所以不正确；④棱锥的侧面为三角形，符合棱锥的定义，正确．故选C． 2．下列说法中，正确的有 ①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形； ③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 当以矩形边长为1的边为轴时，所得柱体的侧面积为4π；当以边长为2的边为轴时，所得旋转体的侧面积为4π，所以侧面积之比为1∶1.故选A. 3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为 A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 √ 两个球的半径之比为1∶3，由球的表面积公式S＝4πr2，则两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，则这两个球的表面积之比为1∶9．故选A． 4．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 √ 5．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为 ，则圆台的侧面积为________． 18π 因为圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为 ，所以圆台的母线长为 ＝3，故圆台的侧面积为π(2×3＋4×3)＝18π. 返回 合作探究 返回 例1 题型一　旋转体的结构特征 (1)圆锥的母线有 A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 √ 点拨：根据旋转体的有关概念，紧扣旋转体的结构特征进行解答． 由圆锥的结构特征知，圆锥的母线有无数条． (2)下列说法正确的有________.(填序号) ①以直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径． ②③④ ①不正确，因为绕直角三角形斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；②正确，以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；③正确，如图，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④正确，如图，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径). 规律方法 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确旋转体由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 对点练1．下列说法正确的个数是 ①夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体； ②半圆绕定直线旋转形成球体； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④通过圆台侧面上一点，有无数条母线． A．1 B．2 C．3 D．4 √ 对于①，夹在圆柱的两个截面间的几何体，如果两个截面与底面不平行，该几何体不是一个旋转体，故①错误； 对于②，球是由半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，故②错误； 对于③，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故③正确； 对于④，通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故④错误，故选A． 例2 如图所示，作出等边圆锥的轴截面SAB， . . 题型二　圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 ，求该圆锥的底面半径、高和母线长． 点拨： 作出等边圆锥的轴截面 → 建立底面半径、高、母线长之间的关系 → 根据轴截面的面积为 求解 规律方法 圆柱、圆锥、圆台基本量的求解策略 1．解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径． 2．解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2． 3．解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解．另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决． 对点练2．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2 m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为2 m，则圆锥的底面圆半径为 √ 例3 题型三　圆柱、圆锥、圆台的表(侧)面积 把一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的全面积为 ___________________． 点拨：分两种情况：(1)以8为母线长，4为底面圆的周长，(2)以4为母线长，8为底面圆的周长，分别进行计算． (1)如图①所示，以8为圆柱的母线长， 把矩形硬纸卷成圆柱的侧面，此时底面圆的周长为 2π·OA＝4，所以OA＝ ，故两底面的面积之和为 ， 故S全＝32＋ . 规律方法 1．圆柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的侧面积计算公式即可得解． 2．圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底面周长”求母线长和底面半径．此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形． 3．求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键在于求侧面积．“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法. 对点练3．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为 √ 例4 题型四　球的截面与表面积 一个正四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A．3π B．4π C．3 π D．6π √ 点拨： 分析可得正四面体的底面在球的一个截面(小圆)上，球心在正四面体的高上 → 在直角三角形中利用勾股定理可得到球的半径 → 代入球的表面积公式可得答案 规律方法 1．计算球的表面积的关键是确定球的半径，注意把握表面积公式 S球＝4πR2中系数的特征．必要时需利用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式． 2．对于以外接球的形式考查球的表面积的题目，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系． 由正弦定理得△ABC的外接圆半径r满足2r＝ ，解得r＝1．设球的 半径为R，则由OO1⊥平面ABC，得R＝ ＝2，所以球的表面积为4πR2＝16π.故选A． 对点练4．已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝ ，则球O的表面积为 A．16π B．12π C．9π D．8π √ 易错精析 易错点一　对旋转体的结构特征理解不到位 下列说法正确的是 A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 典例1 正解：A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误． √ 易错探因：理解旋转体的结构特征：是由封闭的面围成的，易忽视圆柱的上、下两个面平行，圆台的母线延长后交于一点致错． 误区警示：紧扣旋转体的有关概念并理解其结构特征． 易错点二　对几何体的表面积考虑不全致错 如图所示，从底面半径为2a，高为 a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥．求原圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比． 典例1 故S1∶S2＝(4 ＋8)∶(4 ＋9). 返回 易错探因：挖去圆锥后的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面积，在求解此题时，学生往往容易忘记考虑增加的部分(或减少的部分)，从而导致错误． 误区警示：几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时不应直接套用柱、锥、台体的表面积公式，而应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解． 随堂演练 返回 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其中一条对角线旋转一周形成两个圆锥．故选D． 1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是 A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥 √ 一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台，故①错误；圆台的任何母线的延长线都相交于一点，故②错误；容易判断③正确．故选C． 2．下列结论：①等腰梯形的纸片可以卷成一个没有两底的圆台；②一个圆台存在两条母线的延长线不相交于一点；③过圆台的任何两条母线的截面都是等腰梯形．其中错误的结论个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 3．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 √ 4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面 半径为________． 返回 课时测评 返回 在A中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A正确；在B中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B正确；在C中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C错误；在D中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D正确. 故选ABD． 1．(多选)下列说法正确的是 A．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 B．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点 C．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于圆柱、圆锥、圆台，只有当截面与底面平行时，所得的截面才是圆；对于球，无论如何截，截面都是圆． 2．下面几何体的截面一定是圆面的是 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．圆台 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 √ 作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO1＝1，设截面圆的半径为r，球的半径为R，因为截面圆的面积为π，所以πr2＝π，解得r＝1，又由R2＝|OO1|2＋r2＝2，所以R＝ ，所以球的表面积为S球＝4πR2＝8π.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 轴截面的图形是①，其他截面的图形为⑤. 4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 √ A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．故选BC． 5．(多选)下列关于球体的说法正确的是 A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO＝AO＝R，又因为正四棱锥P-ABCD的体积为6，所以S正方形ABCD＝6，又因为P-ABCD是正四棱锥，所以AB＝BC＝CD＝DA＝ ，所以AC＝2 ，又因为PO1＝3，所以OO1＝3－R，在Rt△AO1O中，R2＝3＋(3－R)2，得R＝2，所以球的表面积S＝16π. 7．已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 16π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．(新定义)若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”．现有一黄金圆锥的高为6，则该黄金圆锥的侧面积为________；体积为______________． 36π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)已知圆台的上、下底面半径分别是2，6，且侧面面积等于两底面面积之和． (1)求圆台的母线长；(4分) 解：设圆台的母线长为l， 则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62， 所以8πl＝40π，所以l＝5， 所以该圆台的母线长为5． (2)求圆台的表面积．(6分) 解：由(1)可得圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. (1)若OA＝1，求圆M的面积；(4分) 解：若OA＝1，则OM＝ ， 所以圆M的面积S＝πr2＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若圆M的面积为3π，求球O的半径．(6分) 解：因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝ . 所以 R2＝3，所以R2＝4． 设球O的半径为R，则R2＝ ＋3， 所以R＝2，即球O的半径为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)如图，已知圆柱体底面圆的半径为 cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm.(结果保留根式) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(13分)如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将等边三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积． 解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体． 令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h， 则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ . 所以圆锥的表面积为S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π， 所以所求几何体的表面积为： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)有三个球，已知球O1内切于正方体，球O2与这个正方体各棱都相切，球O3过这个正方体的各个顶点，求球O1、球O2、球O3的表面积之比． 解：设正方体的棱长为a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故这三个球的表面积之比S1∶S2∶S3＝πa2∶2πa2∶3πa2＝1∶2∶3． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 32＋或32＋ 4π (36－36)π 2 $