11.1.4 棱锥与棱台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦棱锥与棱台，系统讲解定义、结构特征、平行于底面的截面性质及表面积计算，通过问题导思观察图形特点、平面截棱锥得棱台，衔接多面体知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是“新知导学-合作探究-随堂演练-课时测评”模块设计，结合数学抽象与数学运算素养，通过正棱锥侧面积计算、棱台斜高求解等题型总结转化方法，易错辨析澄清概念，助力学生准确理解，教师可借多样化练习提升教学效率。

11.1.4　棱锥与棱台 　 第十一章　11.1　空间几何体 知识层面 1．了解棱锥、棱台的定义和结构特征．　 2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．　 3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象核心素养；借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．图中的多面体具有怎样的特点？ 提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点． 问题2．如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？ 提示：上部分是棱锥，下部分是棱台． 新知构建 知识点一　棱锥 1．棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为________． 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的________，有公共顶点的各三角形 称为棱锥的________，各侧面的公共顶点称为棱锥的________，相邻两侧面的公共边称为棱锥的________，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的______，如图(1)所示． 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的__________． 棱锥 底面 侧面 高 顶点 侧棱 侧面积 微提醒 棱锥的结构特征 (1)底面是多边形． (2)侧面都是三角形． (3)侧面有一个公共顶点． 2．棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为__________、__________、__________． 3．棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如图(1)所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC． 4．正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为__________． 四棱锥 五棱锥 正棱锥 三棱锥 微提醒 正棱锥的特征和性质 (1)只有正棱锥才有斜高． (2)正棱锥的各侧棱都相等． (3)正棱锥的顶点在底面的射影为底面(正多边形)的中心． 知识点二　棱台 1．棱台的概念 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为________． 原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的________，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱，同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高，如图(2)所示． 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积． 棱台 侧面 图(2) 微提醒 棱台的结构特征 (1)上、下底面互相平行，且是相似图形． (2)各侧棱的延长线交于一点． (3)各侧面为梯形． 2．棱台的表示 棱台可用上底面与下底面的顶点表示，如图(2)所示的棱台可表示为棱台ABCD-A1B1C1D1． 3．棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 4．正棱台 由正棱锥截得的棱台称为__________．不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的________． 正棱台 斜高 微提醒 正棱台的特征和性质 (1)各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形． (2)两底面及平行于底面的截面是相似多边形． (3)正四棱台的对角面(过棱柱或棱台的两条不相邻的侧棱的截面叫做对角面)是等腰梯形． 自主检测 1．如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，沿面A1BC截去三棱锥A1-ABC，则剩余部分是 A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台 √ 三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，剩余部分是四棱锥A1-BCC1B1．故选B． 2．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形． 其中正确命题的序号是 A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③ √ ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形； 平行四边形不一定是全等的，所以①不正确； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； 必须是截面与底面平行，才能得到棱台，所以②不正确； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故③正确； ④由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④不正确．故选D． ①不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；②是棱柱；③是棱锥；④是棱柱．故选C． 3．观察下面的四个几何体，其中判断正确的是 A．①是棱台 B．②不是棱柱 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 √ 4．已知侧棱长为2a的正三棱锥(底面为等边三角形)其底面周长为9a，则棱锥的高为 A．a B．2a C． a D． a √ 5．(多选)下列说法中不正确的是 A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．正棱台两底面及平行于底面的截面不是相似多边形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．只有正棱锥才有斜高 √ √ √ 对于A，如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误； 对于B，由正棱台的特征知B错误； 对于C，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误； 对于D，根据正棱锥的定义知选项D正确．故选ABC． 返回 合作探究 返回 例1 题型一　棱锥的计算问题 设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． 点拨： 解：如图所示， 设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′. 因为S侧＝2S底，所以3× ah′＝ a2×2， 根据侧面积和底面积之间的关系，建立底面边长和斜高之间的关系 → 求出底面边长和斜高 求出侧面积和底面积，求和即可 → 所以a＝ h′. S侧＝2S底＝18 ， 规律方法 有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形． 对点练1．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积和全面积． 解：如图所示， 例2 题型二　棱台的计算问题 正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高． 点拨： 解：如图所示，设棱台上、下两底面的中心分别是点O′和O，B′C′，BC的中点分别是点E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，四边形OEE′O′都是直角梯形． 根据正棱台的定义、特征性质构造直角梯形 → 建立已知量和未知量之间的关系式即可求解 在正方形ABCD中， 因为BC＝16 cm， 所以OB＝8 cm，OE＝8 cm. 在正方形A′B′C′D′中， 因为B′C′＝4 cm， 所以O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm. 又OO′＝17 cm， 所以在直角梯形OBB′O′中， 在直角梯形OEE′O′中， 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 规律方法 关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形． 设截取棱锥的高为h，则 ＝ ，所以h＝5，所以截得的棱台的高为：16－5＝11． 对点练2．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________． 11 例3 题型三　多面体表面上的最短距离问题 如图，正三棱锥V-ABC的侧棱长为1，∠AVB＝40°，E和F分别是棱VB和VC上的点，则△AEF的周长的最小值为________． 点拨：沿侧棱VA将三棱锥剪开，将空间问题转化为平面上两点间距离的最小值问题即可． 如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，由题意易知∠AVA1＝40°×3＝120°，所以∠AVD＝60°. 在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝ ，所以AA1＝2AD＝ .故△AEF的周长的最小值为 . 规律方法 求多面体表面上两点间的最短距离的思路与步骤 立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决．具体步骤如下： 第一步：将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图； 第二步：将所求问题转化为平面上的线段问题； 第三步：结合已知条件求得结果． 对点练3．若长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则沿长方体的表面从A到C1的最短距离为________． 易错精析 易错点　概念不清致错 下列结论正确的是 A．正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等 B．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．两个底面平行且相似的多面体是棱台 D．底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥 典例 √ 正解：正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心，也是三角形的外心，是各边中垂线的交点，满足到底面各顶点的距离相等，故A正确． 如图①所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面AA1D1D，面BB1C1C为矩形，但侧棱与底面不垂直，故B错误；根据棱台的定义可知，棱台各侧棱的延长线交于一点，而C不能保证各侧棱的延长线交于一点，故C错误；如图②所示的三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，此三棱锥满足D中的条件，但显然不是正三棱锥，故D错误． 返回 易错探因：求解本题时，容易对简单几何体的基本概念和结构特征理解不清，掌握不准，从而导致错误． 误区警示：要从结构特征去准确理解棱柱、棱锥、棱台的定义．对于棱柱，容易忽略其各个侧面都是公共边互相平行的平行四边形；对于棱锥，容易忽略其各个侧面都是有公共顶点的三角形；对于棱台，容易忽略其与棱锥的关系．切忌只凭图形主观臆断． 随堂演练 返回 每个面都可作为底面，有4个．故选D． 1．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 由棱台的定义和结构特征，C为棱台不具备的特点．故选ABD． 2．(多选)棱台具备的特点是 A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都平行 D．侧棱延长后都交于一点 √ √ √ 3．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为_____. 48 4．如图所示，在三棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BDC的周长是18，则△EFG的周长为________． 6 返回 课时测评 返回 由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故A错误； 两个面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，故B错误； 由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 由棱柱的定义可知，平行六面体一定是棱柱，故D错误．故选C． 1．下列说法正确的是 A．直四棱柱是长方体 B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D． 2．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是 A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过点P，Q，R的截面图形是 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 √ 如图所示，连接QP，取C1D1的中点H，连接HR，则HR ∥QP，再分别取B1B，D1D的中点M，N，连接HN，NQ，PM，MR，易知六边形HNQPMR即过点P，Q，R的截面图形.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为 A．32 B．48 C．64 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．(多选)下列说法正确的是 A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B．棱锥的侧面一定都是三角形 C．棱台各侧棱所在直线必交于一点 D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . 对于A，如图，将两个平行六面体合在一起，可知A错误； 对于B，棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；对于C，棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确； 对于D，如图，该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故D错误．故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．正三棱锥的底面边长为a，高为 a，则此棱锥的表面积为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 以P为顶点的四棱锥，底面可以是长方体的四个侧面和一个下底面，共5个，即四棱锥P-A′B′C′D′，四棱锥P-A′D′DA，四棱锥P-BCC′B′，四棱锥P-DCC′D′，四棱锥P-ABB′A′. 7．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，P是面对角线AC与BD的交点．若P为四棱锥的顶点，棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有________个． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四 棱锥的表面积为________，体积为________． 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：连接AD，则点O在AD上． 9．(10分)如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求侧棱PA的长和斜高PD的长(用含a，h的式子表示). 因为正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为△ABC的中心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. (1)求三棱台的斜高；(4分) 解：设O1，O分别为正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面正三角形的中心， 如图所示， 则O1O＝ ，过O1作O1D1⊥B1C1，交B1C1于D1，过O作OD⊥BC交BC于D，则D1D为三棱台的斜高； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 过D1作D1E⊥AD交AD于E， 则D1E＝O1O＝ ， 故三棱台的斜高为 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求三棱台的侧面积和表面积．(6分) 解：设c，c′分别为上、下底的周长，h′为斜高， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则 的取值范围为 √ A． B． C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图，折起后形成的几何体是三棱锥． 13．(13分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？(4分) 解：这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形． (3)每个面的面积为多少？(6分) 解：S△PEF＝ a2， S△DPF＝S△DPE＝ ×2a×a＝a2， S△PEF＝ a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)正六棱锥的底面周长为24，斜高SH与高SO所成的角为30°. 求：(1)棱锥的高；(7分) 解：因为正六棱锥的底面周长为24， 所以正六棱锥的底面边长为4， 在正六棱锥S -ABCDEF中，取BC的中点H，连接SH，则SH⊥BC， 设O是正六棱锥S-ABCDEF的底面的中心，连接SO，OH， 所以OH⊥BC， 因为斜高SH与高SO所成的角为30°， 所以∠OSH＝30°，∠SHO＝60°， 在△OBC中，OH＝ BC＝2 ， 所以棱锥的高SO＝OH·tan 60°＝2 × ＝6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)侧棱长．(10分) 解：在Rt△SOB中，SO＝6，OB＝BC＝4， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 3 a2 ∶2∶2 $