11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间几何体的基本元素，系统讲解点、线、面的概念、位置关系及直线与平面垂直，通过生活实例（如湖面、桌面）和教室场景提问导入，以长方体为载体衔接平面几何，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是采用问题驱动、模型操作（如折叠展开图还原几何体）和分层练习，培养直观想象与数学抽象素养。例如用课桌模型分析点线面，通过长方体实例判断位置关系，助力学生建立空间观念，教师可借助结构化资源提升教学效率。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 　 第十一章　11.1　空间几何体 知识层面 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．　 2．会用数学符号表示空间点、线、面以及它们之间的位置关系．　 3．掌握直线与平面垂直． 素养层面 通过认识构成几何体的基本元素的学习，提升数学抽象核心素养；借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． 问题2．在平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行与相交，结合教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线的位置关系，那么在空间中，直线的位置关系有哪些呢？ 提示：空间中直线的位置关系有三种：平行，相交，异面． 问题3．一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？它们的公共点个数分别有几个？ 提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点． (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点． (3)直线与平面平行——没有公共点． 新知构建 知识点一　空间中的点、线、面 1．基本元素 将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素． 2．点的表示 立体几何中，我们用________________来表示点． 3．直线的表示 一般用________________表示直线． 4．平面的表示 平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的四个顶点或对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面γ、平面ABCD或平面AC等． 大写英文字母 小写英文字母 微提醒 平面的表示方法 (1)除平行四边形外，根据需要也可以用其他平面图形表示平面，如用三角形、矩形、圆等平面图形表示平面． (2)在平面的表示方法中，用希腊字母表示时，若题目条件已经说明平面α、平面β等，则题目后面的叙述过程中可省略“平面”二字，而对于其他几种表示，则不能省略“平面”二字，如平面ABCD不能省略成ABCD． (3)可用平面内不共线的三个点的字母表示平面，如平面ABC． 知识点二　空间中点、线、面的位置关系 1．点与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点A在直线l上 ________ 点A不在直线l上 A∉l A∈l 2．直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平行 ________ 零个 相交 m∩l＝A 有且只有一个 异面   零个 m∥l 异面直线的定义： 一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线________． 这就是说，如果a，b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b＝∅有且只有一种情况成立，而且，当a∩b＝∅时，a与b要么________(记作a∥b)，要么________． 异面 平行 异面 3．点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 A是平面α内的点(或点A在平面α内) ________ A不是平面α内的点(或点A不在平面α内) A∉α A∈α 4．直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线l在平面α内(或平面α过直线l) l⊂α 有无数个公共点 直线l与平面α相交 l∩α＝A 有且只有一个公共点 直线l与平面α平行 l∥α 没有公共点 5．两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平面α与平面β相交 α∩β≠∅或α∩β＝l 有无数个公共点 平面α与平面β平行 α∩β＝∅或α∥β 没有公共点 知识点三　直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α________(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为________． 如图所示． 垂直 垂足 2．距离 由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的________(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的________． 特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的________；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的________． 射影 距离 距离 距离 自主检测 1．下列说法中错误的个数是 ①直线的移动只能形成平面； ②直线绕定直线旋转只能形成柱面； ③曲线的平移一定形成曲面； ④矩形上各点沿同一方向移动形成长方体． A．1 B．2 C．3 D．4 √ 直线的移动可以形成平面，也可以形成曲面，故①不正确；直线绕与其相交但不垂直的直线旋转形成锥面，绕与其平行的直线旋转形成柱面，故②不正确；如图所示的曲线平移形成的是平面，故③不正确；矩形上各点沿特定方向移动相同的距离，才能形成长方体，故④不正确． 平面是无限延展的，而平行四边形只是平面的一部分，它是不能无限延展的，故A错误；通常画一个平行四边形表示一个平面，但有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如圆、三角形等表示平面，故B正确；平面不能进行度量，故C错误；任意的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，B1C，CD1，D1A，则四边形AB1CD1就不是平面图形，不能表示一个平面，故D错误． 2．下列说法正确的是 A．平面的形状是平行四边形 B．平行四边形、三角形、圆都可以表示平面 C．平面ABCD的面积为100 cm2 D．任何一个四边形都可以表示一个平面 √ 因为点Q在直线b上，所以Q∈b.又直线b在平面β内，所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.故选B． 3．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作 A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β √ 根据长方体的特征，得A1D1在平面A1D内，A1D1与平面AC平行，与平面D1C和平面A1B垂直． 4．(多选)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，与A1D1垂直的平面是 A．平面D1C B．平面A1D C．平面A1B D．平面AC √ √ (1)点A在直线l上，E，F在平面ABC内，因为点线和点面都是属于关系，所以A∈l，E∈平面ABC，F∈平面ABC． (2)若一个平面上的两条相交线与另一个平面都平行，则这两条相交线所在的平面与另一个平面平行．已知条件只有一条直线与平面平行，所以平面α，β的位置关系是平行或相交． 5．(1)点A在直线l上，E，F在平面ABC内，用符号表示为_______________ ______________________． (2)已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α，β的位置关系是____________． 面ABC，F∈平面ABC 平行或相交 返回 A∈l，E∈平 合作探究 返回 例1 下图是某同学的课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来． 点拨： 将课桌的上半部分视为一个长方体，四条课桌腿视为四条直线 → 找出点、线、面 解：面可以列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2． 线可以列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2，直线A2D2，直线B2C2，直线A1B1，直线B1C1，直线C1D1，直线A1D1． 点可以列举如下： 点A，点A1，点A2，点B，点B1，点B2，点C，点C1，点C2，点D，点D1，点D2． 规律方法 解决构成空间几何体的基本元素的问题要充分理解点、线、面的概念和关系． (1)从集合的角度(点∈线⊂面)理解三者间的从属、包含关系． (2)从“交”的生成关系去进一步理解，即线线相交于点，线面相交于点，面面相交于线． (3)从运动的角度理解三者之间的关系，即点动成线，线动成面，面动成体，同时要注意运动的方向和运动的方式，不同的运动方向或运动方式形成的图形一般不同． 一个点运动形成线，若运动的方向保持不变，则形成一条直线或线段，若运动的方向时刻在变化，则形成一条曲线或曲线的一段，故A错误；若曲线在一个平面上，则曲线在该平面上移动时，形成平面．故C正确；矩形上各点沿同一方向移动，没有具体说明移动的方向，故不一定形成长方体，故D错误，易知B正确． 对点练1．(多选)在空间中，下列说法错误的是 A．一个点运动一定形成直线 B．直线平移形成平面或曲面 C．曲线的平移可能形成平面 D．矩形上各点沿同一方向移动相同距离一定形成长方体 √ √ 例2 题型二　点、线、面的位置关系 如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中： (1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？ (2)平面DCMN与平面ABQP的位置关系是怎样的？ (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？ 点拨：将长方体的表面展开图用纸片画好，通过折叠还原长方体，进而得出判断． 解：根据展开图还原长方体，示意图如图所示， 则(1)直线DM∥平面ABQP. (2)平面DCMN平行于平面ABQP. (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离． 规律方法 判断点、线、面位置关系的方法 对长方体中的点、线、面的位置关系进行分析时，可通过制作几何模型或利用身边的实际物体来帮助理解，以具体形象的实物来辅助抽象思维，通过直观感知点、线、面的位置关系促进空间想象能力的提升． 对点练2．(1)平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法中 ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直； ④a与β无公共点． 其中正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ (2)如图，在⊂，∈，∉中选择适当的符号填入下面各个括号中： AB(　　)β；A(　　)AB；A(　　)β；A(　　)α；BD(　　)β；D(　　)α. ∈ ∈ ∉ ⊂ ∈ ⊂ (1)如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′⊂平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错误．故选B． (2)由图可知AB⊂β，A∈AB，A∈β，A∉α，BD⊂β，D∈α. 例3 如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1， 所以点C到平面BDD1B1的距离为 .故选B． 题型三 　求点面距、线面距、面面距 已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为 √ 点拨：结合点面距、线面距、面面距概念来求相应的距离． 规律方法 求点面距、线面距、面面距的方法 1．求点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距． 2．求线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取． 对点练3．(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为 A．4 B．2 C．2 D． (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为_____． √ 2 (1)如图，MN∥平面BCC1B1， 所以MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离． 又N到平面BCC1B1的距离为NB＝ AB＝2，所以MN与平 面BCC1B1的距离为2．故选C． (2)平面ABCD与平面EFGH的距离为 AA1＝ ×4＝2． 易错精析 易错点　对两直线的位置关系把握不准致误 分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是 A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行 典例 √ 正解：分两类情况进行讨论． (1)若两条直线与两异面直线的交点有4个，如图①，直线AB与异面直线a，b分别相交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别相交于点C，D，那么A，B，C， 5D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面； (2)若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图②，两条直线相交． 易错探因：解题时易忽略两条直线与两异面直线的交点有3个的情况，认为交点只有4个，此时两条直线异面，从而错选B． 误区警示：在立体几何中，空间点、直线、平面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论．在判断两条直线的位置关系时，可通过画出相关图形帮助分析． 返回 随堂演练 返回 选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内．故选C． 1．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是 √ 正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条).故选C． 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有 A．8条 B．6条 C．4条 D．2条 √ 由题意知，两个平面可能平行，也可能相交，若α∥β，则它们没有公共点，若α与β相交，则它们有无数个公共点．故选D． 3．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有 A．0个 B．0个或1个 C．无数个 D．0个或无数个 √ 直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1＝AA1＝5；直线BC1到面ADD1A1的距离为AB＝4；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为BC＝3． 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为______；直线BC1到面ADD1A1的距离为______；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为______． 返回 5 4 3 课时测评 返回 平面图形是点的无限集． 1．下列说法中错误的是 A．一个角一定是平面图形 B．平面是由它内部的所有点组成的集合 C．平面是点的无限集 D．平面图形是点的有限集 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一条直线平行移动可能是沿一条直线平行移动，也可能是沿曲线平行移动． 2．一条直线平行移动，生成的面一定是 A．平面 B．曲面 C．平面或曲面 D．锥面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.故选D． 3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则 A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉α C．P∉α，Q∉α D．Q∈α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当l与平面α相交，则在α内不存在直线与直线l平行，故①错误；由线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论与定义容易判断②③④正确．故选C． 4．已知l是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是 ①在α内存在无数多条直线与直线l平行； ②在α内存在无数多条直线与直线l垂直； ③在α内存在无数多条直线与直线l异面； ④一定存在过直线l且与α垂直的平面β. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，在A中，直线AM与C1C是异面直线，故A错误； 在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误； 在C中，直线BN与MB1是异面直线，故C正确； 在D中，直线AM与DD1是异面直线，故D正确．故选CD． 5．(多选)如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论中，正确的为 A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的是：A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以组成6对异面直线． 6．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有_____对. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a⊂β，b⊂α，则a，b的位置关系是平行或异面； 若直线a∥平面α，直线b∥平面β，α与β相交，则a∥b. 7．若直线a∥平面α，直线b∥平面β，且a⊂β，b⊂α，则a，b的位置关系是____________；若已知α与β相交，则a，b的位置关系是________． 平行或异面 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体， 如图所示，则EF与MN为异面直线，AB∥CM， MN⊥CD，且MN与CD为异面直线，只有①②正确． 8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD． 以上结论中正确结论的序号为________． ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：因为点A′，B确定的直线A′B上的所有点都在平面ABB′A′内， 9．(13分)如图所示，直线A′B与正方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面ABB′A′与正方体ABCD-A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？并用符号表示． 所以直线A′B在平面ABB′A′内，即A′B⊂平面ABB′A′. 因为直线A′B与平面ABCD、平面BCC′B′都有且只有一个公共点B， 所以直线A′B∩平面ABCD＝B， 直线A′B∩平面BCC′B′＝B． 因为直线A′B与平面ADD′A′、平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以直线A′B∩平面ADD′A′＝A′， 直线A′B∩平面A′B′C′D′＝A′. 因为直线A′B与平面DCC′D′没有公共点， 所以直线A′B∥平面DCC′D′. 因为平面ABB′A′与平面DCC′D′没有公共点， 所以平面ABB′A′∥平面DCC′D′. 由题图，知平面ABB′A′∩平面ADD′A′＝AA′，平面ABB′A′∩平面BCC′B′＝BB′，平面ABB′A′∩平面ABCD＝AB，平面ABB′A′∩平面A′B′C′D′＝A′B′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(15分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，判断下列直线与平面的位置关系： (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3分) 解：AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(4分) 解：CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4分) 解：AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．(4分) 解：CN所在的直线与平面CDD1C1相交． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(多选)如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E为BA1的中点，下列结论正确的是 √ A．直线EC1与直线AD是异面直线 B．在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CD C．直线BA1与平面A1CD所成角是 D．点B到平面A1CD的距离是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由线、面、体的生成过程分析可知，①②③④都是正确的． 12．下列叙述，你认为正确的是__________(填上所有正确的序号). ①流星划过夜空，给我们一种“点动成线”的视觉感受． ②如图①，直线l绕与它平行的一条定直线a旋转所形成的面是曲面，称为柱面． ①②③④ ③如图②，直线l绕定点O转动形成的曲面是锥面． ④如图③中的几何体可看成圆面O上各点沿铅垂线向上移动相同的距离到圆面O′所形成的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折成正方体，有下列结论： ①点H与点C重合； ②点D，M，R重合； ③点B与点Q重合； ④点A与点S重合． 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确结论的序号都填上) ②④ 将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”，按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合，故②④正确，①③错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延伸为平面，那么对于这12条直线与6个平面，回答下列问题： (1)与直线B1C1平行的平面有哪些？(4分) 解：与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC． (2)与直线B1C1垂直的平面有哪些？(4分) 解：与直线B1C1垂直的平面有：平面AB1，平面CD1． (3)与平面BC1平行的平面有哪些？(4分) 解：与平面BC1平行的平面有：平面AD1． (4)与直线B1C1异面的直线有哪些？(5分) 解：与直线B1C1异面的直线有：直线AB，直线DC，直线AA1，直线DD1. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 $