第七章 重点题型强化（三）简单的三角恒等变换应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

重点题型强化（三） 简单的三角恒等变换应用 　 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并．　 2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际 问题，培养数学运算及数学建模核心素养． 题型一　三角恒等变换与三角函数的综合问题 例1 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合． 规律方法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)求f(x)的最小正周期； 题型二　三角恒等变换在几何中的应用 　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中 割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇 形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)． 例2 解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ 规律方法 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，体现了数学中的化归思想．　　 对点练2.如图所示，要把半径为R的半圆形木料 截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长 最长？ 题型三　三角恒等变换在实际问题中的应用 如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路， 半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹 区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力， 欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域． 例3 解：连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tan θ. 根据平面几何知识可知，MB＝MP， 规律方法 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．　　 对点练3.在北京召开的国际数学家大会的会标是 以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦 图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________． 随堂演练 √ 2．若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则 A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)的最大值为2 √ 7 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，且 f ＝－，f ＝－，f ＝， f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值为，故A、B错误；由f＝sin＝≠0，故C错误；由π<x<，得<2x＋<，可知函数f(x)在上单调递增，故D正确．故选D． 4．当x∈时，关于x的方程sin x－cos x－m＝0有解，则实数m的取值范围为____________． [－2，] $