第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了向量的数量积运算、三角恒等变换及综合应用，通过概念梳理构建知识网络，串联向量数量积的定义、坐标运算与三角恒等变换的公式、化简求值等核心内容，帮助学生建立完整知识体系。 其亮点在于采用分层探究与考向衔接的复习策略，通过向量共线与三角函数求值等例题分层设计，结合高考真题明确考向，培养学生的数学思维与运算能力。规律方法总结助力学生掌握推理逻辑，单元检测卷精准巩固，教师可据此实施个性化复习，提升复习效率。

章末综合提升 　 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 探究点一　向量的数量积运算 (1)求实数λ的值； 例1 (2)求向量a－b与a＋λb的夹角θ. 规律方法 1．向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 2．利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； (2)求向量的夹角和模的问题：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)cos θ＝ .　　 √ √ √ √ 探究点二　三角函数求值 例2 规律方法 1．三角函数的求值问题通常包括三种类型：给角求值、给值求值、给值求角． 2．给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角．　　 √ √ √ 探究点三　三角函数式的化简与证明 例3 规律方法 1．三角函数化简常用策略有切化弦、异名化同名、降幂公式、“1”的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一． 2．三角函数证明常用方法有从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等．　　 所以原等式成立． 探究点四　三角恒等变换与函数、向量的综合运用 　 已知a＝(sin α，－2)，b＝(1，cos α)，且a⊥b. (1)求cos2α－sin αcos α的值； 解：由a⊥b，得a·b＝sin α－2cos α＝0， 例4 所以cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 规律方法 研究三角函数的性质时，当问题以向量为载体时，一般通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换如降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简求解．　　 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝ A．－2 B．－1 C．1 D．2 真题1 因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)＝0，解得x＝2.故选D． √ (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝ √ 真题2 (2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝ √ 真题3 √ 真题4 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， (2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝ √ 真题5 由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①. √ 真题6 真题7 故条件①不能使函数f(x)存在． 所以f(x)＝sin(x＋φ)， 以下与条件②相同． 返回 单元检测卷（二） 返回 1．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：因为a与b互相垂直， 则a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2 θ＋cos2 θ＝1得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若(a＋tb)⊥(2a－b)，求实数t的值．(9分) 解：因为(a＋tb)⊥(2a－b)， 所以(a＋tb)·(2a－b)＝0， 即2a2－a·b＋2ta·b－tb2＝0， 所以2×4＋1－2t－t＝0，解得t＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1. (1)求f(x)的最小正周期；(7分) 解：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－1 ＝sin 2x－cos 2x 所以f(x)的最小正周期为π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方法二： 以O为原点，以OA，OB为x，y轴，建立直角坐标系(图略)， 因为C(cos α，sin α)，A(1，0)，B(0，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以λ2＝2μ2－2μ＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 　 已知向量a与b的夹角为，且＝，＝2，向量a－2b与λa＋b共线． ＝ 对点练1.(1)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，∠BAD＝，E是线段CD的中点，则·＝ A．1 B．4 C．6 D．7 ＝cos 2x. ＝＝＝tan ＋＝右边， 又β∈，所以β＝－. (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝ A． B． C．－ D．－ 因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B． (2)已知f(x)在区间上单调递增，f ＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f ＝； 条件②：f ＝－1； 条件③：f(x)在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 又因为f ＝－1，所以sin＝－1， 所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，所以f(x)的最大值为1，最小值为－1. 若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f ＝无解， 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f ＝1，f ＝－1， 所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，即f ＝－1. 4．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c, 则向量a，b的夹角等于 A． B． C． D． 由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2.因为a，b，c都是单位向量，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝，所以cos〈a，b〉＝，又0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝.故选A． 12．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且＝＋，则m＝________． 因为＝＋，所以＋＋2a·b＝＋，因此a·b＝0，又向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，所以a·b＝m＋2＝0，解得m＝－2. (2)若α∈，f ＝，求cos α的值．(10分) 解：f ＝sin＝sin， 因为α∈， 所以当且仅当＝时，等号成立，·的最小值为2－3. $