第八章：向量数量积与三角恒等变换（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

第八章：向量数量积与三角恒等变换 单元测试 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知A，B为直线与函数的图象的任意两个不同的交点，且A，B两点之间的最小距离是，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试题）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 10．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 11．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称 D．若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）已知，则向量在向量上的投影向量为 13．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则 . 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅，频率相同的正弦波，，叠加而成，即，设，，，若图中所示为的部分图象，则下列所有正确序号的是 ． ① ②的最小正周期是 ③若，，则 ④不存在，使得恒为0 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 16．（15分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，． (1)求的值； (2)若，，求角的大小． 17．（15分）（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 18．（17分）（24-25高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 19．（17分）（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章：向量数量积与三角恒等变换 单元测试 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由两角和差余弦公式直接求解即可. 【详解】， 故选：B. 2．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】由投影向量的公式，建立方程，结合题意，可得答案. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，则， 整理可得，由，解得. 故选：C. 5．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由正弦及余弦的二倍角公式化简得到，进而可求解； 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， ， 故选：A 6．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知A，B为直线与函数的图象的任意两个不同的交点，且A，B两点之间的最小距离是，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】化简可得，利用最小正周期可求. 【详解】 ， 由题意得，的最小正周期为， ， 故选：A. 7．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据，求出，从而建系，将用函数表示出来，即可求出. 【详解】, 且在平行四边形中，， . 以A为原点建坐标系，则 点P在边上，设, ， ，， 所以. 故选：A 8．（2022·浙江温州·模拟预测）平面向量满足，，则与夹角取最大值时为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】两边平方，结合得到，计算出，由基本不等式求出时，最大为，得到答案. 【详解】因为满足，， 所以， 所以，所以, 由夹角公式得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，在上单调递减， 所以， 即时，最大为， 此时． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试题）已知平面向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由向量，得，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量，D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【知识点】半角公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正切公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称 D．若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为 【答案】BC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角函数恒等变换化简函数，再结合正弦函数图象与性质逐项求解判断. 【详解】函数 ， 对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，，则，B正确； 对于C，，是偶函数，C正确； 对于D，当时，，函数在上递增，函数值从1增大到， 在上递减，函数值从减小到，程在上恰好有一个根， 即直线与函数在上的图象只有一个交点，或，即或，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）已知，则向量在向量上的投影向量为 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】 由向量在向量上的投影向量公式即可求解. 【详解】 由题意，向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角的正弦公式与两角和的正切公式可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 整理得，所以， 解得或，又，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅，频率相同的正弦波，，叠加而成，即，设，，，若图中所示为的部分图象，则下列所有正确序号的是 ． ① ②的最小正周期是 ③若，，则 ④不存在，使得恒为0 【答案】①②④ 【知识点】由单位圆求三角函数值、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对于①，根据图象得到，，，从而计算出；对于②，的最小正周期均为，②正确；对于③，法一：利用三角恒等变换变形得到，法二：代入特殊值检验；对于④，令，得到方程组，变形得到．同理可得，以上三个式子不能同时成立，故④正确． 【详解】对于①，由题图可知，，且，所以， 又，所以，因为，所以， 所以，故①正确． 对于②，因为，所以的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故②正确． 对于③，法一：若， 则 ， 法二：若，则， ， 而，两者不等，故③错误． 对于④，， 即， 展开得， 若等式恒成立，则则 平方求和得， 所以．同理可得， 以上三个式子不能同时成立，故④正确． 故答案为：①②④． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·浙江·期末）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 16．（15分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，． (1)求的值； (2)若，，求角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数关系即可求解； （2）由两角和的正切公式求得的正切，进而可求解； 【详解】（1）因为， 又，所以． 又，得，所以． （2）由（1）可知， 因为，，所以， 所以． 17．（15分）（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 18．（17分）（24-25高三上·天津河西·期中）如图，中，，，，是的中点，延长交于点.    (1)用，表示； (2)设，求的值； (3)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据几何关系，表示向量； （2）根据几何关系，表示向量；设，，，，再利用平面向量基本定理表示，即可求解； （3）结合（2）和，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）由点是的中点， 得. （2）设，，，， 则，① 又 ，② 所以对比①②得，得， 所以； （3）由（2）得，即，    因为，， 所以 ， 即，当且仅当，即时等号成立， 此时面积最大，为. 19．（17分）（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直线与函数的图象分别交于，两点，求的最大值. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）整理可得，进而可得的最小正周期及的值； （2）根据三角函数图象变换求函数的解析式； （3）根据题意结合三角恒等变换整理可得，结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， 所以的最小正周期为；. （2）将函数图象的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 再向左平移个单位长度得到函数. （3）由题意可知：两点的坐标为， 可得 ， 因为，则，可得， 所以在时的最大值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$