8.2.4 三角恒等变换的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换应用，核心涵盖半角公式、积化和差与和差化积公式。通过问题导思（如由cos30°求cos15°）衔接倍角公式，以问题链为支架引导学生推导新知，构建前后知识逻辑脉络。 其亮点在于以问题驱动公式推导培养逻辑推理，通过多题型例题（如半角求值、恒等式证明）提升数学运算，结合微专题实际问题（矩形停车场面积最值）渗透数学建模。规律方法总结与分层练习助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

8.2.4　三角恒等变换的应用 　 第八章　8.2　三角恒等变换 知识目标 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式 的过程．　 2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进 行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．　 3.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和 差化积公式，并会简单运用. 素养目标 通过半角的正弦、余弦和正切公式，三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养；借助半角的正弦、余弦和正切公式，积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 知识点一　半角公式 新知构建 “半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即y＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“－”号． 微提醒 知识点二　积化和差、和差化积公式 1．积化和差公式： 2．和差化积公式： 自主检测 √ √ √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　半角公式的应用 例1 －2cos 4－2sin 4 规律方法 利用半角公式化简、求值的思路 1．看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． 2．明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． 4．下结论：结合2求值．　　 题型二　和差化积、积化和差公式的应用 　 求下列各式的值： (1)cos 40°＋cos 80°＋cos 160°； ＝0. 例2 (2)sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°； 点拨：以构造特殊角为前提，利用积化和差公式求解． 解：原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° (3)sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50°. 点拨：思路一，先利用倍角公式与积化和差公式展开，整理后再利用和差化积公式即可求解；思路二，先将后两个式子提取公因式，再利用积化和差与和差化积公式进行求解；思路三，构造特殊等式求解． 解：方法一　sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50° 方法二　sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50° 方法三　令A＝sin2 20°＋cos2 50°＋sin 20°cos 50°， B＝cos2 20°＋sin2 50°＋cos 20°sin 50°， 则A＋B＝2＋sin 70°， A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin (－30°) 规律方法 积化和差与和差化积公式的应用技巧 1．在运用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，则必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，则必须用降幂公式降为一次． 2．利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式的关键在于将不同角的正弦与余弦进行恰当组合． 组合时遵循的原则是： (1)应尽量使两角的和(差)出现特殊角； (2)对于特殊角的三角函数应求出其值． 规律方法 根据实际问题选用公式时，应考虑以下几个方面： (1)运用公式之后，能否出现特殊角； (2)运用公式之后，能否提公因式，能否约分，能否合并或者消项； (3)运用公式之后，能否使三角函数的结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件． 3．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择的解题思路不同，化积结果可能不一致． 为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当成三角函数值应用于公式；如 －cos α，应先把 转化为cos ，使其变为cos －cos α，然后化为积的形式．　　 题型三　三角恒等式的证明 　 已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0， 例3 证明：　由已知，得sin A＋sin B＝－sin C　①， cos A＋cos B＝－cos C　②. ①2＋②2，得2＋2cos(A－B)＝1， 所以左边cos2 A＋cos2 B＋cos2 C 规律方法 证明三角恒等式的基本思路 三角恒等式的证明与代数恒等式的证明一样，主要证明方法有：从左证到右；从右证到左；左右归一或变更命题．选择哪一种证法的依据是“化繁为简”．在确定了“化繁为简”的目标后，还应注意以下几点： 1．强化“目标意识”，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢． 2．强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，并寻找它们之间的联系，再利用三角公式进行恒等变换，使之相互转化，常用方法直推法、代入法、换元法等．　　 对点练3.证明： (1)cos(α＋β)cos γ－cos αcos(β＋γ)＝sin(α＋β)sinγ－sin αsin(β＋γ)； 证明：　左边＝cos αcos βcos γ－sin αsin βcos γ－cos αcos βcos γ＋cos αsin βsin γ ＝－sin αsin βcos γ＋cos αsin βsin γ ＝sin βsin(γ－α)， 右边＝sin αcos βsin γ＋cos αsin βsin γ－sin αsin βcos γ－sin αcos βsin γ ＝cos αsin βsin γ－sin αsin βcos γ ＝sin βsin(γ－α)， 左边＝右边，所以原等式得证． 故原式得证. 微专题(五)　思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 典例 点拨：解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR，PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值． 解：如图连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M， 则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以S矩形PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ， [名师点评]　此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围． 返回 随堂演练 返回 √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°的值为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以原式成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为T＝π， 解得ω＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以，x＝0时，f(x)min＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明：由已知，得sin A＋sin B＝－sin C，① cos A＋cos B＝－cos C，② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 问题1.我们知道cos 30°＝，结合倍角公式你能求出cos 15°和sin 15°的值吗？ 提示：根据倍角公式cos α＝2cos2－1＝1－2sin2， 所以sin ＝± ，cos ＝± ， tan ＝± . cos 23°－cos 67°＋2sin 4°cos 26°＝2sin 45°sin 22°＋(sin 30°－sin 22°)＝sin 22°＋－sin 22°＝.故选B． 因为cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝cos2 α－sin2 β，所以cos2α－sin2β＝.故选C． － 因为3sin x－cos x＝2＝2sin，因为φ∈ (－π，π)，所以φ＝－. sin ＝ ＝ ＝；cos ＝ ＝ ＝. 　 (1)求值：sin ＝________；cos ＝________； (2)＋2的化简结果是__________________． ＝2|cos 4|＋2|sin 4|＝－2cos 4－2sin 4. 3．选公式：涉及半角的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． tan＝－＝－＝－. ＝. 因为＜α＜π，且0＜β＜， ＝＝右边，所以原等式成立． 因为α∈，所以∈，所以sin＝＝.故选B． 原式＝＝，因为0<1<，所以cos 1>0，故原式＝cos 1.故选C． tan 法一：因为cos α＝－，α是第三象限角，所以sin α＝－，tan＝＝＝－3.所以＝＝－.故选A． 因为已知sin α＝，α在第二象限，所以cos α＝－＝－，所以tan ＝＝＝3. tan $