第8章 阶段练5(范围：8.2)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

阶段练5(范围：8.2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．在△ABC中，已知sin (B＋A)＋sin (B－A)＝2sin A·cos A，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 解析：由sin (B＋A)＋sin (B－A)＝2sin A cos A， 则sin A cos B＋cos A sin B＋sin B cos A－cos B sin A＝2sin A cos A， 所以sin B cos A＝sin A cos A， 所以cos A(sin A－sin B)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B. 因为0<A<π，0<B<π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 AD 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，张雷同学写出一个命题“等式sin (A＋B)＝sin (A－B)不可能成立”．请举出一组内 角A，B，C说明这个命题是假命题，其中，∠B＝_______________， ∠C＝______________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1．cos 14°cos 16°－cos 76°sin 16°的值是(　　) A．　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：因为cos 14°cos 16°－cos 76°sin 16°＝cos 14°cos 16°－cos (90°－14°)sin 16°， 所以原式＝cos 14°cos 16°－sin 14°sin 16°＝cos 30°＝. 2．化简1＋tan 10°＝(　　) A． B． C． D． 解析：1＋tan 10°＝ ＝2·＝ ＝＝＝. 3．为了得到y＝cos 的图象，需要把函数y＝cos2x－的图象向右平移的单位长度是(　　) A． B． C． D． 解析：因为y＝cos2x－＝cos2x， y＝cos ＝cos ， 所以要得到y＝cos 的图象，需要把函数y＝cos2x－的图象向右平移个单位长度． 4．若sin(α＋β)＋cos (α＋β)＝4cos sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝ B．tan (α＋β)＝ C．tan (α＋β)＝－ D．tan (α－β)＝－ 解析：因为sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2sin (α＋β＋)＝2sin ＝2sin cos β＋2cos sin β ＝4cos sin β， 所以2sin cos β＝2cos sin β， sin cos β－cos sin β＝0， 即sin ＝0， 所以α－β＝－＋kπ(k∈Z)，可得tan (α－β)＝tan ＝－. 所以A＝或A＝B， 所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形． 6．已知0<α<，0<β<，且sin (2α＋β)＝4sin β，10tan ＝，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． 解析：因为sin(2α＋β)＝4sin β，所以sin ＝4sin ， 所以sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝4sin (α＋β)cos α－4cos (α＋β)sin α， 化简得5cos (α＋β)sin α＝3sin (α＋β)cos α， 所以tan (α＋β)＝tan α. 又由10tan ＝，可得10＝ ＝， 所以10sincos ＝cos α，即5sin α＝cos α，所以tan α＝， 所以tan (α＋β)＝tan α＝.又0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π， 所以α＋β＝. 7．(多选)已知0<α<β<π，且cos α＝，sin (β－α)＝1，则(　　) A．sin 2α＝ B．sin β＝ C．cos β＝－ D．cos (α＋β)＝－ 解析：由0<α<β<π，得0<β－α<π，由sin (β－α)＝1，所以β－α＝，即β＝＋α， 显然0<α<<β<π，而cos α＝，则sin α＝ ＝. 对于A：sin2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A正确； 对于B，sin β＝sin ＝cos α＝，故B正确； 对于C，cos β＝cos ＝－sin α＝－，故C错误； 对于D：cos (α＋β)＝cos ＝－sin 2α＝－，故D正确． 8．(多选)已知0<α<β<，且tan α，tan β是方程21x2－10x＋1＝0的两根，下列选项中正确的是(　　) A．tan (α＋β)＝ B．＝ C．tan (α－β)＝－ D．α＋2β＝ 解析：tan α，tan β是方程21x2－10x＋1＝0的两根，又0<α<β<， 解得tan α＝，tan β＝， tan (α＋β)＝＝＝，A选项正确； ＝＝＝，B选项错误； tan (α－β)＝＝＝－，C选项错误； 0<α<β<，tan (α＋β)＝，则0<α＋β<，有0<α＋2β<π， tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝1， α＋2β＝，D选项正确． 9．已知tan ＝2，tan (α＋β)＝－3，则tan ＝______． 解析：因为tan ＝2，tan (α＋β)＝－3， 所以tan ＝tan ＝ ＝＝1. 10．在△ABC中，若sin ＝－，则sin ＝__________． 解析：在△ABC中，若sin ＝－，则>A＋>π，则cos ＝－＝－. 故sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝×－×＝. (答案不唯一) (答案不唯一) 解析：若命题“等式sin (A＋B)＝sin (A－B)不可能成立”为假命题， 则sin (A＋B)＝sin (A－B)可以成立， 此时sin A cos B＋cos A sin B＝sin A cos B－cos A sin B， 即cos A sin B＝－cos A sin B，可得2cos A sin B＝0. 又A，B为三角形的内角，可知sin B>0，所以cos A＝0，所以A＝. 当A＝时，sin (A＋B)＝sin ＝cos B，sin (A－B)＝sin ＝ cos B， 有sin (A＋B)＝sin (A－B)成立． 因此，只需△ABC中A＝，就能满足sin (A＋B)＝sin (A－B)， 故满足条件的B，C是互余的两角，可取B＝，C＝. 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，＝，则角C＝____________． 解析：因为＝＝＝， 所以sin A cos C＋cos C＝sin C－cos A sin C， 即sin (A＋C)＝sin C－cos C. 又A＋C＝π－B， 所以sin B＝sin ， 所以B＝C－或B＋C－＝π(舍)， 所以C＝＋＝. 13．已知tan ＝3，其中π<α<. (1)求tan α的值； (2)求的值； (3)设β∈(－π，0)，且cos(α＋β)＝，求β的值． 解：(1)tan α＝tan ＝＝＝. (2)由(1)tan α＝，原式＝＝＝tan2α－2tanα＝－2×＝－. (3)由(1)tan α＝，即cos α＝2sin α， 又由sin2α＋cos2α＝1，π<α<， 所以sinα＝－，cos α＝－. 又由β∈(－π，0)，α＋β∈， 又cos (α＋β)＝，故α＋β∈，sin (α＋β)＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝×＋×＝－， 故由β∈(－π，0)⇒β＝－. 14．已知α∈(0，π)，sin 2α＝－，sin α<. (1)求tan α的值； (2)若β∈，且cos β＝－，求α＋β的值． 解：(1)因为sin α<，α∈(0，π)， 所以α∈∪，所以cos α≠0， 由sin 2α＝2sin αcos α＝＝－得＝－， 即2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tan α＝－或tan α＝－2. 因为α∈∪，所以tan α＝－. (2)由(1)可知，tan α＝－，α∈. 因为β∈，且cos β＝－，所以sin β＝＝， 所以tanβ＝＝－，所以tan (α＋β) ＝＝－1. 又α∈，β∈，所以α＋β∈， 所以α＋β＝. $$