8.1.2 向量数量积的运算律-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

8．1　向量的数量积 8.1.2　向量数量积的运算律 第八章　向量的数量积与三角恒等交换 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式．　2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等． 知识点1　向量数量积的运算律 内容索引 知识点2　向量的模、夹角与垂直问题 课时作业 巩固提升 知识点3　向量在几何中的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　向量数量积的运算律 1．平面向量数量积的运算律 运算律 向量数量积 交换律 a·b＝b·a 数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c， (a－b)·c＝a·c－b·c 2.常用结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a. 求两向量的数量积的两种常见题型 1．类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解． 2．在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解． 思维提升 1．已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求： (1)e1·e2；(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；(3)(e1＋e2)2. 跟踪训练 知识点2　向量的模、夹角与垂直问题 角度1　求向量的模 [例2]　已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝________． [解析]　∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2 ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b＝25， ∴a·b＝25， ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a＋b|＝20. 20 思维提升 2．已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. 跟踪训练 解：法一：∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4， ∴a·b＝3， ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4. 法二：∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， ∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20. 又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4. A 思维提升 跟踪训练 角度3　与垂直有关的问题 [例4]　已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝m a－2b，求m为何值时，c与d垂直． 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0. 思维提升 跟踪训练 A 知识点3　向量在几何中的应用 B [例6]　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 利用向量法证明几何问题的方法技巧 1．利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系． 2．进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算． 3．将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等． 思维提升 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1．已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2　　　 B．3 C．5　　　　 D．－5 解析：因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5. C 2．已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°， 则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos 120°＋4＝4，所以|a＋2b|＝2. A B 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ACD 解析：根据向量数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2DC.证明：AC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 －10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12．利用向量法证明直径所对的圆周角为直角． 已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [例1]　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求(2a－b)·(a＋3b). (2)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值． [解]　(1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)·＝·(－)＝2－2－·＝1－×4－×2×1×＝－. 解：(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝. (2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋3e2·e1＋4e1·e2－2e ＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2＝－6＋－2＝－. (3)(e1＋e2)2＝e＋2e1·e2＋e＝1＋1＋1＝3. 求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方． 角度2　求向量的夹角 [例3]　设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． [解析]　设a与b的夹角为θ， 由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7. 又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，所以|a||b|cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为. 求向量夹角用变形公式cos θ＝求值定角． 3．已知a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求a＋b与a－b的夹角的余弦值． 解：由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝， 所以(a＋b)2＝13， 即a2＋2a·b＋b2＝13，所以2a·b＝6， 所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1， 即|a－b|＝1，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝3－4＝－1， 故cos〈a＋b，a－b〉＝＝－. [解]　由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0， 所以c·d＝(a＋5b)·(m a－2b)＝m a2＋(5m－2)a·b－10b2 ＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，所以m＝. 故当m＝时，c与d垂直． 4．已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(x a＋b)⊥b，则实数x等于(　　) A．－4 B．－ C．4 D． 解析：由4|a|＝3|b|， 可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t. 因为(x a＋b)⊥b， 所以(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2＝x×3t×4t×＋4t×4t＝(4x＋16)t2＝0， 又t>0，所以x＝－4. [例5]　O是△ABC所在平面上的一点，且满足·＝·＝·，则O是△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 [分析]　恰当利用数量积的运算律，对已知等式变形，证明有关直线垂直． [解析]　因为·＝·， 所以(－)＝·＝0， 所以⊥，同理⊥，⊥， 所以O是△ABC的垂心． [分析]　选择基底表示和，转化为证明向量垂直． [证明]　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 5．在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b. (1)用a，b表示. (2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求||；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意得＝＝b， ＝＝＝－＝－a， 所以＝＋＝b－a. (2)结论：在线段BC上存在使得4||＝||的一点F满足AF⊥BE，此时||＝. 理由如下： 设＝t＝t b，则＝(1－t)b(0≤t≤1)， 所以＝＋＝a＋t b. 因为在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°， 所以|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝. 因为AF⊥BE， 所以·＝(a＋t b)·＝a·b－a2＋t b2＝×－＋t＝0， 解得t＝，从而＝a＋b， 所以||＝ ＝ ＝ ＝. 3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．以上选项均不正确 解析：(－)·(＋－2)＝0 ⇔·(＋)＝0⇔(－)·(＋)＝0 ⇔2－2＝0⇔||＝||.故△ABC为等腰三角形． 2．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝. 3．已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cos θ＝＝.因为θ∈[0, π]，所以θ＝. 解析：∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0， ∴2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－b2， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－. 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°. 5．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________． 解析：因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4， 则||＝2. 6．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________． － 解析：由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)· ＝·＋·＝1×cos ＋×＝－. 7．已知向量|a|＝1，|b|＝2. (1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|； (2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角． 解：(1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×2×cos ＋4×4＝1＋4＋16＝21， 所以|a＋2b|＝. (2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3， 所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3， 所以6a2－a·b－b2＝3， 所以6－1×2×cos 〈a，b〉－4＝3， 所以cos 〈a，b〉＝－. 因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝. 证明：设＝a，＝b， 则＝a，且|a|＝2|b|， ∴＝＋＝b＋a， ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b， ∴·＝·＝b2－a2 ＝b2－×4b2＝0，∴⊥， ∴AC⊥BC. [B组　关键能力练] 9．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，所以e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝， a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－， 因此b在a上投影的数量为＝＝－. 10．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面内一点，满足||＝||＝||，则在方向上的投影的数量为________，·＝________． 解析：因为||＝||＝||，所以点O为△ABC的外心， 设∠OAB＝θ，可得∠OBA＝θ， 所以在方向上的投影的数量为||cos θ，在方向上的投影的数量为||cos θ. 由题意可知||cos θ＋||cos θ＝||＝6. 又因为||＝||＝||， 所以||cos θ＝3，即在方向上的投影的数量为3. 所以·＝||||cos θ＝3||＝18，·＝8， 所以·＝·(－)＝·－·＝8－18＝－10. 解析：因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝. 又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos 〈a＋b，c〉，所以|c|＝|a＋b|cos 〈a＋b，c〉＝cos 〈a＋b，c〉≤，故|c|的最大值为. 证明：设圆心为O，连接OC，则||＝||，＝(＋)， 所以||2＝||2，2＝(＋)2，得||2＝(＋)2， 即(－)2＝(＋)2，得2＋2－2·＝2＋2＋2·， 所以4·＝0，·＝0，所以⊥， 即∠ACB＝90°. 解：当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则所以 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角， 得cos θ＝<0， 所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－， 所以实数t的取值范围是∪. $$