8.1.1 向量数量积的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的概念、几何意义及应用，通过物理“功”的实例导入，衔接向量基本概念，以问题导思和新知探究为支架，引导学生从具体实例抽象出数量积定义，构建知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象核心素养，通过“功”抽象数量积概念，结合投影几何意义分析，题型分类清晰（求数量积、投影、夹角等），规律方法总结步骤明确，随堂演练与课时测评分层巩固。助力学生深化概念理解，教师可高效开展教学，提升课堂效果。

8.1.1　向量数量积的概念 　 第八章　8.1　向量的数量积 知识目标 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其 物理意义．　 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　 3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个 平面向量的垂直. 素养目标 通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象核心素养；利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生直观想象核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用． 问题导思 问题．(1)功与向量的数量积有什么联系？ 提示：物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (2)数量积的几何意义是什么？ 提示：两个非零向量a与b的数量积，等于向量a的长度|a|与b在a方向上的投影的数量|b|·cos θ的乘积． 知识点一　两个向量的夹角 新知构建 ∠AOB 〈a，b〉 垂直 a⊥b 知识点二　向量的数量积 定义 当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝__________________ 规定：当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积为0 性质 |a·b|≤___________ a·a＝|a|2，即|a|＝______________ a和b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔___________ |a||b|cos〈a，b〉 |a||b| a·b＝0 (1)学习向量的数量积定义要借助物理中力所做的功来加深理解． (2)向量a，b的数量积只能表示为a·b，不能表示为a×b或ab. (3)由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数，a·b的符号由cos〈a，b〉决定，即由〈a，b〉的大小决定．也就是说，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数．这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同． (4)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°. 微提醒 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 3．投影的数量：如果a，b都是非零向量，则称_______________为向量a在向量b上的投影的数量． 4．向量数量积的几何意义：两个非零向量a，b的数量积a·b，等于________________________与b的模的乘积． 投影向量或投影 |a|cos〈a，b〉 a在向量b上的投影的数量 (1)设非零向量a与b的夹角是θ，则a在b方向上的投影的数量也可以写成 ，它的符号取决于角θ的余弦值． (2)按照投影的定义，非零向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，其具体情况，我们可以借助下面的图形进行分析： 微提醒 θ的范围 θ＝0° 0°＜θ＜90° θ＝90° 90°＜θ＜180° θ＝180° 图形 b在a方向上 的投影的数量 正数 正数 0 负数 负数 1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是 A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1 C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1 自主检测 因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.故选C． √ √ √ 4．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，则向量b在a上的投影数量为 √ 5．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与b的夹角为______． 如图所示，向量－a与a互为相反向量，所以向量－a与b的夹角为120°. 120° 返回 合作探究 返回 题型一　求两向量的数量积 　 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 点拨：a·b分同向和反向两种情况再利用数量积公式求解． 解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a，b〉＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则〈a，b〉＝180°， 所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，〈a，b〉＝90°， 所以a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. 例1 规律方法 求平面向量数量积的步骤 第一步：求a与b的夹角〈a，b〉，〈a，b〉∈[0，π]； 第二步：分别求|a|和|b|； 第三步：求数量积，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉． 对点练1.如图所示，每个小方格的边长为1，求出以下向量的数量积． (1)b·a； 解：方法一　由原图可知， 方法二　由原图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量， 因此根据向量数量积的几何意义可知b·a＝1. (2)c·a； (3)d·a. 解：由原图可知，向量d在向量a上的投影的数量为－1，且a为单位向量， 因此根据向量数量积的几何意义可知d·a＝－1. 题型二　数量积的几何意义 　 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求： 例2 规律方法 求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法 1．关注点：注意a在b上的投影与b在a上的投影不同，审题时要看清．　　 2．计算方法： (1)a在b方向上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝ . (2)b在a方向上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝ . 对点练2.已知|a|＝3，|b|＝5，且〈a，b〉＝45°，求a在b上的投影的数量． 解：因为|a|＝3，|b|＝5，且 〈a，b〉＝45° 题型三　向量数量积的应用 角度1　求两向量的夹角 　 已知a，b是两个非零向量． (1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； 解：因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6. 又|a|＝3，|b|＝4，所以|cos 〈a，b〉|＝ 因为〈a，b〉∈[0，π]， 例3 (2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 因为|a|＝|b|＝|a－b|， 角度2　与向量的模有关的问题 　 已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，a2＝4，a与b的夹角为120°.求向量b的模． 解：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2， 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b ＝0，所以a·b＝－3， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3. 例4 规律方法 1．求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos〈a，b〉的值． 2．求解向量模的问题要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方． 对点练3.(1)设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于 A．150° B．120° C．60° D．30° 如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，所以△OAB是等边三角形．所以〈a，b〉＝120°.故选B． √ (2)已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|＝2，a2－2a·b＋b2＝4，则|b|＝________． 返回 随堂演练 返回 a·b＝|a||b|cos 60°＝2×1× ＝1.故选C． √ 2．已知|a|＝9，|b|＝ ，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为 A．45° B．135° C．120° D．150° √ \ √ 4．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为________． 因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝ ＝3. 3 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由题意作出图形，如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影的数量是________． 1 根据向量的投影数量的公式，可得b在a上的投影的数量等于|b|cos〈a，b〉＝2× ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 等边三角形 所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)根据以下条件，分别求a·b： (1)|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝60°；(2分) 解：|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝60°， 所以a·b＝8×4×cos 60°＝16； (2)|a|＝7，|b|＝12，〈a，b〉＝120°；(2分) 解：|a|＝7，|b|＝12，〈a，b〉＝120°， 所以a·b＝7×12×cos 120°＝－42； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝0.(3分) 解：|a|＝4，|b|＝1，〈a，b〉＝0， 所以a·b＝4×1×cos 0＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以cos θ>0，所以θ为锐角，如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sin θ. 即3tan θ＝S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 定义 前提　给定两个非零向量a和b 作法　在平面内任选一点O，作＝a，＝b 夹角：称[0，π]内的__________为向量a与b的夹角，记作________ 结论 〈a，b〉＝〈b，a〉，0≤〈a，b〉≤π 当〈a，b〉＝时，称向量a与b______，记作__________，规定零向量与任意向量垂直 由题意可知cos〈a，b〉＝＝－＝－. 在方向上的投影的数量为||cos 135°＝4×＝－2. 2 6 由题意可得与的夹角为120°，且||＝||＝6，由数量积的定义可得·＝||×||×cos 120°＝6×6×＝－18. $