7.3.5 已知三角函数值求角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

7.3.5　已知三角函数值求角 　 第七章　7.3　三角函数的性质与图象 知识目标 1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求 角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．　 2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对 应的角． 素养目标 通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识． 问题导思 知识点一　反三角函数的定义 新知构建 arcsiny arccosy arctany 知识点二　反三角函数的图象和性质   y＝arcsin x y＝arccos x y＝arctan x 定义域 [－1，1] [－1，1] R 值域 _____________ ___________ _______________ 单调性 在[－1，1]上单调 _______，无减区间 在[－1，1]上单调______，无增区间 在R上单调________，无减区间 奇偶性 奇函数 既不是奇函数，也不是偶函数 奇函数 [0，π] 递增 递减 递增   y＝arcsin x y＝arccos x y＝arctan x 函数 运算 公式1 arcsin(－x)＝－arcsin x， x∈[－1，1] arccos(－x)＝π－arccos x， x∈[－1，1] arctan(－x)＝ －arctan x，x∈R 自主检测 √ √ √ 4．(多选)以下各式中正确的是 A．arcsin 1＝ B．arccos(－1)＝π C．arctan 0＝0 D．arccos 1＝2π √ √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　已知特殊角的三角函数值求角 点拨：已知ωx＋φ的一个三角函数值及x的范围求角x的取值集合，可以先由x的范围确定ωx＋φ的范围，然后求出满足题意的角的集合；也可以把ωx＋φ看成任意角，先求出所有角，再根据x的范围确定所求角的取值集合． 作出示意图如图①所示． 例1 所以角x的取值集合为 所以角x的取值集合为 规律方法 已知角x的一个三角函数值为a，求角 x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围通常会在题目中给定．如果在这个范围内符合要求的角不止一个，且当角的终边不在坐标轴上时，可以按照以下两种方法来解决(以sin x＝a或cos x＝a为例)． 方法一　三角函数线法 (1)画出以坐标原点为圆心的单位圆，如下图①，下图②所示． 规律方法 (2)①如图①，对于sin x＝a，在y轴上取点M(0，a)，过点M作y轴的垂线分别交单位圆于点P，P′，作射线OP，OP′； ②如图②，对于cos x＝a，在x轴上取点M(a，0)，过点M作x轴的垂线分别交单位圆于点P，P′，作射线OP，OP′. (3)分别写出射线OP与OP′对应的角． 规律方法 方法二　三角函数图象法 (1)作图象：作基本函数y＝sin x(或y＝cos x)在一个周期上的图象． (2)作直线：作直线y＝a. (3)取值：在一个周期上求满足sin x＝a(或cos x＝a)的角x的值． [注意]　此时求出的角是在一个周期上的角，还需根据已知条件中角的取值范围来最终确定角的值． 因为正弦函数的最小正周期为 2π， 题型二　已知一般角的三角函数值求角 　 求满足下列条件的角，其中x∈[0，2π]． (1)sin x＝0.579 1； 点拨：对于给值求角问题，因为所给角的范围不同，所得的角可能不同，所以一定要注意已知条件中角的范围的约束作用． 解：因为sin x＝0.579 1＞0，x∈[0，2π]，所以角x的终边在第一象限或第二象限，所以x＝arcsin 0.579 1或x＝π－arcsin 0.579 1. 例2 所以角x的终边在第二象限或第三象限， 规律方法 已知一般角的三角函数值求角的步骤 第一步，找角：找出角所在的象限； 第二步，表示角：用反三角函数表示角； 第三步，确定角：根据角的范围用反三角函数确定角． [注意]　在表示角时，已知正(余)弦值求角在R上的取值集合时注意加上2kπ，并注明k∈Z，而已知正切值求角在R上的取值集合时注意加上kπ，并注明k∈Z.　　 √ √ 题型三　利用三角函数曲线解不等式 例3 规律方法 用正弦曲线(或余弦曲线)解三角不等式sin x≥a(或cos x≥a)的步骤 第一步，作图象：作出函数y＝sin x(或y＝cos x)在一个周期上的图象；　　 第二步，作直线：作直线y＝a； 第三步，求值：在一个周期上求满足sin x＝a(或cos x＝a)的角x的值； 第四步，利用图象确定不等式sin x≥a(或cos x≥a)在一个周期上的解集； 第五步，把此解集扩展到整个定义域内． [注意]　解sin(ωx＋φ)≥a(ω＞0)时，只需先求出不等式sin α≥a的解集，然后用ωx＋φ代替解集中的“α”，再解关于x的不等式即可． 方法一　在同一坐标系作出y＝sin x，y＝ 的图象． 由图可知，不等式的解集为 方法二　作单位圆， 返回 随堂演练 返回 √ A．2 B．3 C．4 D．5 √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其中正确等式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)sin x，cos x的值；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)x的取值集合．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)当x∈[0，π]时，求值x；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回 (2)当x∈R时，求x的取值集合．(10分) 解：当x∈R时，先求出x在[0，2π]上的解． 故x是第二或第三象限角． 所以由余弦函数的周期性知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 问题．已知sin x＝，你能求出满足条件的角x吗？ y＝arcsin x y＝arccos x y＝arctan x 运算 公式2 arcsin(sin x)＝x， x∈ arccos(cos x)＝x， x∈[0，π] arctan(tan x)＝x， x∈ 运算 公式3 sin(arcsin x)＝x， x∈[－1，1] cos(arccos x)＝x，x∈[－1，1] tan(arctan x)＝x，x∈R 运算 公式4 arcsin x＋arccos x＝，x∈[－1，1] arctan x＋arctan ＝，x≠0 2．方程sin x＝－的解为 A．x＝kπ＋(－1)k·，k∈Z B．x＝2kπ＋(－1)k·，k∈Z C．x＝kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z D．x＝2kπ＋(－1)k＋1·，k∈Z 5．在[0，2π]上，使cos x≤－成立的x的取值集合为________． 　 已知sin＝，x∈R，求角x的取值集合． . 所以x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z. 　 不等式sin(2x＋)≥的解集为_____________________________． 画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示．由图象知sin ＝sin ＝，令α＝2x＋，因为y＝sin x的周期为2π，所以sin α≥的解集为 ，所以原不等式的解集为. ∪. ∪ 由图可知不等式的解集为∪. 方法一　令t＝2x＋，作出函数y＝tan t的图象如图所示：令2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.又由0≤<2π，所以k＝0，1，2，3.故在区间[0，2π)上有4个解．故选C． 3．集合A＝，B＝，则A∩B＝_________________． －或 6．若cos(π－x)＝－，x∈[－π，π] ，则x＝__________. ＋2kπ或＋2kπ，k∈Z 因为sin α＝sin ＞0，所以角α的终边在第一或第二象限，所以α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z. ∪[π，4] 由题意得2＋log x≥0解得0<x≤4①，又因为tan x≥0，又tan x的定义域为，k∈Z，所以x∈(k∈Z)②，由①②可知，函数f(x)的定义域为∪[π，4]． 解：因为sin ＝sin ＝， 即所求x值的集合是. $