7.3.5 已知三角函数值求角-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[知识梳理] [知识点一]　已知正弦值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集． 终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成sin x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0,2π]上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成sin x>a在[0,2π]上的解集． ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点二]　已知余弦值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成cos x＝a的解集． 终边在阴影部分(不包含边界)的角构成cos x<a的解集，终边在空白部分的角构成cos x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P′的横坐标为[0,2π]内使cos x＝a成立的x的值，即为cos x＝a在[0,2π]上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos x<a在[0,2π]上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成cos x>a在[0,2π]上的解集． ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点三]　已知正切值求角　 (1)方法1——利用三角函数线 以射线OP与OP′为终边的角构成tanx＝a的解集．终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成tan x<a的解集，终边在空白部分(不含边界)的角构成tan x>a的解集． (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P的横坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内使tan x＝a成立的x的值，即为tan x＝a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的解． ②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan x<a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的解集；其余部分(不含边界)对应的x值构成tan x>a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的解集． ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内． [知识点四]　arcsin x，arccos x，arctan x的含义　 (1)任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，通常记作x＝　arcsin y　. (2)在区间　[0,2π]　内， 满足cos x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝　arccos y　. (3)在区间　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))　内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝　arctan y　. 已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？ 提示：不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个． [预习自测] 1．下列等式不成立的是(　　) A．2sin x＋1＝0　　　　 B．tan x＋2 020＝0 C．cos x＝eq \r(3) D．tan x＝0 答案：C 2．若α是三角形内角，且sin α＝eq \f(1,2)，则α等于(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．120°或60° 解析：B　[∵sin 30°＝eq \f(1,2)，sin(180°－30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)， ∴α＝30°或150°.] 3．已知sin x＝－eq \f(\r(3),2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则x＝　________　. 答案：－eq \f(π,3) 已知正弦值求角或角的范围 [例1]　已知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))). (1)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))且f(x)＝－eq \r(3)，求x的值； (2)解不等式f(x)<－eq \r(3). [思路点拨]　根据角的范围确定角的值． [解]　(1)∵2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝－eq \r(3)， 即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)， ∴角2x－eq \f(π,3)的正弦线向下，且长度为eq \f(\r(3),2)，如图． ∴ 角2x－eq \f(π,3)的终边为OP或OP′， 又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)， ∴2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,3)＋2kπ或2x－eq \f(π,3)＝－eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z， 即x＝kπ或－eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z， 又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq \f(π,6)或x＝0. (2)原不等式可化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))<－eq \f(\r(3),2)， 由(1)及图可知－eq \f(2π,3)＋2kπ<2x－eq \f(π,3)<－eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z. 解得－eq \f(π,6)＋kπ<x<kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)＋kπ<x<kπ，k∈Z)). 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角． (2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可． [变式训练] 1．已知sin x＝eq \f(\r(3),2). (1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合． 解：(1)∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且知sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). ∴满足条件的角只有x＝eq \f(π,3). ∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))). (2)∵sin x＝eq \f(\r(3),2)>0， ∴x为第一或第二象限角且sineq \f(π,3)＝sin (π－eq \f(π,3))＝eq \f(\r(3),2). ∴在[0,2π]上符合条件的角为x＝eq \f(π,3)或x＝eq \f(2π,3). ∴x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))). (3)当x∈R时，x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＝2kπ＋\f(π,3)，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)). 已知余弦值求角或角的范围 [例2]　(1)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，则x＝　________　. (2)不等式coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))<eq \f(1,2)的解集为　________　. [思路点拨]　利用三角函数线求解．注意整体代换思想的应用． [解析]　(1)利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时，coseq \f(π,3)＝coseq \f(5π,3)＝eq \f(1,2)， 令3x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)＋2kπ或3x＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z. 解得x＝eq \f(π,36)＋eq \f(2kπ,3)或x＝eq \f(17π,36)＋eq \f(2kπ,3)，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知，eq \f(π,3)＋2kπ<3x＋eq \f(π,4)<eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z， 解得eq \f(π,36)＋eq \f(2kπ,3)<x<eq \f(17π,36)＋eq \f(2kπ,3)，k∈Z. [答案]　(1)eq \f(π,36)＋eq \f(2kπ,3)或eq \f(17π,36)＋eq \f(2kπ,3)，k∈Z (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(π,36)＋\f(2kπ,3)<x<\f(17π,36)＋\f(2kπ,3)，k∈Z)) 利用余弦曲线求解cos x≥a或cos x≤a(|a|<1的步骤 (1)作出余弦函数在一个周期内的图像(选取的一个周期不一定是[0,2π]，应根据不等式来确定)； (2)作直线y＝a与函数图像相交； (3)在一个周期内确定x的取值范围； (4)根据余弦函数周期性确定最终的范围． [变式训练] 2．已知cos x＝－eq \f(1,2)，求满足下列条件的角x的取值集合：(1)x∈[0,2π]；(2)x∈R. 解析：(1) 法一　由cos x＝－eq \f(1,2)<0可知，角x对应的余弦线方向朝左，且长度为eq \f(1,2).作出示意图如图①所示． 由图可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′. 又cos eq \f(2π,3)＝cos eq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)， 所以当x∈[0,2π]时，x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3))). 法二　作出y＝cos x在[0,2π]上的图像及直线y＝－eq \f(1,2)，如图②所示，由图可知 coseq \f(2π,3)＝coseq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2). 所以当x∈[0,2π]时，x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3))). (2)当x∈R时，由(1)知，符合条件的角是所有与eq \f(2π,3)终边相同的角及所有与eq \f(4π,3)终边相同的角，即x的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＝2kπ＋\f(2π,3)，或x＝2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)). 　　 已知正切值求角或角的范围 [例3]　已知f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))). (1)已知f(x)＝eq \r(3)，求x； (2)解不等式f(x)≥eq \r(3). [思路点拨]　利用正切线直接求解． [解]　 (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝eq \r(3)>0， 角eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)对应的正切线向下，且长度为eq \r(3)， 如图角eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)的终边为OT或OT′. ∵taneq \f(π,3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝eq \r(3)， ∴eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z. 即x＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z. (2)由(1)及三角函数线知eq \f(π,3)＋kπ≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 解得eq \f(π,3)＋2kπ≤x<eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z， ∴原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(π,3)＋2kπ≤x<\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)) 1．利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图像求解． 2．求解与正切函数有关的函数的定义域时，除了考虑函数解析式的限制外，同时要注意正切函数的自身限制条件． [变式训练] 3．函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ－\f(π,6)))，k∈Z C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,4)，2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z 解析：A　[由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，又y＝tan x的周期为π，所以所求函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z.] 用arcsin y，arccos y或arctan y表示角 [例4]　已知cos α＝－eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，用合适的符号表示满足条件的角α的值． [思路点拨]　利用定义直接求解，要注意角的范围． [解]　由余弦函数在[0，π]上是减函数和cos α＝－eq \f(1,5)可知，在[0，π]内符合条件的角有且只有一个arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))， 即arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))∈[0，π]． ∵ cos α＝－eq \f(1,5)<0， ∴arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). ∴0<π－arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))<eq \f(π,2). ∴π<π＋π－arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))<eq \f(3π,2)， 即π<2π－arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))<eq \f(3π,2). 由于coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－α))＝cos α＝－eq \f(1,5)， ∴α＝2π－arccoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))). (1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}． (2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}． (3)方程tan x＝a，a∈R 的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}． [变式训练] 4．(1)已知sin x＝eq \f(1,3)，求x的值． (2)已知tan α＝－2，α∈(0,2π)，求α的值． 解：(1)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，sin x＝eq \f(1,3)，∴x＝arcsineq \f(1,3). ∴当x∈R时，x＝arcsin eq \f(1,3)＋2kπ或x＝π－arcsin eq \f(1,3)＋2kπ，k∈Z. (2)设β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且tan β＝－2， ∴β＝arctan(－2)， ∴α＝β＋kπ＝arctan(－2)＋kπ，k∈Z， 又α∈(0,2π)， ∴α＝arctan(－2)＋π或arctan(－2)＋2π. 1．下列叙述错误的是(　　) A．arctan y表示一个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的角 B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y C．若tan eq \f(x,2)＝y，则x＝2arctan y D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1] 答案：C 2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则x的值为(　　) A.eq \f(π,4)　　　　　 B．－eq \f(π,4) C．－eq \f(π,4)或eq \f(π,4) D．－eq \f(π,4)或eq \f(π,6) 解析：B　[由题意得，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,4)＋2kπ或2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,4)＋2kπ，k∈Z， 解得x＝eq \f(π,2)＋kπ或x＝eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z， 又∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq \f(π,4).] 3．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＝－eq \f(\r(2),2)，x∈(－π，π)，则x＝　________　. 解析：在(0,2π)内，coseq \f(3π,4)＝coseq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)， ∴x－eq \f(π,12)＝eq \f(3π,4)＋2kπ或x－eq \f(π,12)＝eq \f(5π,4)＋2kπ，k∈Z， ∴x＝eq \f(5π,6)＋2kπ或x＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z， 又x∈(－π，π)，∴x＝－eq \f(2π,3)或eq \f(5π,6). 答案：－eq \f(2π,3)或eq \f(5π,6) 4．已知tan x＝eq \f(1,2)，且x∈(0,2π)，则x＝　________　. 解析：∵tan x＝eq \f(1,2)，∴x∈(0，π)时，x＝arctaneq \f(1,2). 所以x∈(π，2π)时，x＝π＋arctaneq \f(1,2). 答案：arctaneq \f(1,2)或π＋arctaneq \f(1,2) 5．已知sineq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),2)，且α是第二象限的角，求角α. 解：∵α是第二象限的角， ∴eq \f(α,2)是第一或第三象限的角． ∵sineq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),2)<0，∴eq \f(α,2)是第三象限的角， 在[0,2π]内找到满足条件的eq \f(α,2)， ∵sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)， ∴在[0,2π]内满足条件的角eq \f(α,2)＝π＋eq \f(π,3)＝eq \f(4π,3). ∴所以满足条件的eq \f(α,2)＝2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)， 即α＝4kπ＋eq \f(8π,3)(k∈Z)． $