第2章 三角恒等变换 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件系统梳理三角恒等变换的核心公式，包括和角、差角、二倍角等七类公式，通过体系构建将公式间的逻辑关系串联成知识网络，帮助学生建立完整的三角恒等变换知识体系。 其亮点在于以核心素养为导向设计分层探究活动，如通过逻辑推理训练公式变形运用，结合数学建模解决活动室人数问题，强化数学运算提升三角函数求值能力。单元检测卷和高考真题衔接设计，实现分层教学与个性化复习，有效巩固知识，助力教师精准开展复习教学。

章末综合提升 　 第2章　三角恒等变换 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 素养一　逻辑推理 　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是我们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，主要表现在公式变形运用中. 题型一　公式变形运用 (1)求值：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝___. 典例 1 1 因为tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)， 又tan 30°＝tan(10°＋20°)＝＝， 所以3(tan 10°＋tan 20°)＝(1－tan 10°tan 20°)， 所以(tan 10°＋tan 20°)＝1－tan 10°tan 20°， 所以(tan 10°＋tan 20°)＋tan 10°tan 20°＝1， 所以tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1. (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状. 解：因为tan A＋tan B＝tan Atan B－1， 所以(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， 所以＝－， 所以tan(A＋B)＝－. 又0＜A＋B＜π，所以A＋B＝，所以C＝. 因为tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， 所以tan B＋＋tan B＝，tan B＝， 所以B＝，所以A＝，所以△ABC为等腰钝角三角形. 素养二　数学建模 　　数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中体现在三角函数在实际问题中的应用. 题型二　三角函数在实际问题中的应用 某公司的职工活动室全天对职工开放，机动工作人员经过长期统计得到的时间t(0≤t≤24)(h)与到活动室活动人数y(人)的关系如下表： (1)选用一个三角函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系； 典例 2 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 100 150 100 50 100 150 100 50 100 解：以时间t为横坐标，活动人数y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示. 根据图象，可考虑用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h描述人数与时间之间的函数关系. 由图象和数据，可知A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0. 由T＝＝12，得ω＝. 所以这个活动室的活动人数y与时间t之间的函数关系式为y＝50sin＋100，t∈[0，24]. (2)若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理，则机动工作人员每天在活动室需要工作多长时间(sin≈)？ 解：由y≥140，即y＝50sin＋100≥140，得sin≥， 若sin＝，在[0，24]内可得t1＝1.8，t2＝6－1.8＝4.2，t3＝12＋1.8＝13.8，t4＝18－1.8＝16.2， 所以机动工作人员每天在活动室需要工作的时间为t2－t1＋t4－t3＝4.8(h). t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 100 150 100 50 100 150 100 50 100 素养三　数学运算 　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在三角函数求值中. 题型三　三角函数求值 已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值. 解：因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜， 所以－＜α－β＜， 因为sin(α－β)＝－＜0， 所以cos(α－β)＝， 因为cos α＝，所以sin α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝. 典例 3 素养四　直观想象 　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在由图象求函数的解析式中. 题型四　由图象求函数的解析式 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，且图象如图所示，求其解析式. 典例 4 解：方法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以 ω＝2，又过点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)得－×2＋φ＝0，即φ＝，所以f(x)＝3sin. 方法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－ ＝π，所以ω＝2，又图象过点， 所以f＝3sin＝0， 所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为｜φ｜＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin. 方法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin. 返回 考教衔接 返回 (2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则 A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 真题 1 √ 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝ A. B. C.－ D.－ 真题 2 √ 因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. (2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝ A.－3m B.－ C. D.3m 真题 3 √ 由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. 溯源：(人教A必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值. 点评：高考试题和教材习题都涉及cos(α＋β)，cos(α－β)，tan αtan β三个量，是知二求一问题，是较为经典的源于教材的题目. (2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝_______. 真题 4 － 由题知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－. (2024·全国甲卷) 已知＝，则tan(α＋)＝ A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 真题 5 √ 根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋)＝＝＝2－1.故选B. 溯源：(湘教必修第二册P73例7)已知tan α＝，分别求下列各式的值. (1)tan(α＋)；(2)tan(α－). 点评：高考题中的条件＝化简结果为tan α＝1－，所以高考题与教材习题的考查角度完全一致，只是换了一个数值而已. (2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝ A. B. C. D. 真题 6 √ 因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角， 所以sin＝＝＝＝.故选D. 溯源：(湘教必修第二册P85练习T1)已知cos α＝，且＜α＜2π，求sin，cos 和tan的值. 点评：高考题及教材习题均考查正弦的半角公式，只是角的取值范围 不同. (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； 解：因为＝＝＝，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝. 真题 7 (2)求的最小值. 解：由(1)知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜. 而sin B＝－cos C＝sin， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈，C∈， 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； 解：法一：(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin(A＋)＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈(，)，故A＋＝，解得A＝. 法二：(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得到， 4cos2A－4cos A＋3＝0⇔＝0，解得cos A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 真题 8 (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：由题意得bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得＝＝， 即＝＝，解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 返回 单元检测卷 返回 1.已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为sin α＝，cos β＝，且α，β均为锐角， 所以cos α＝＝，sin β＝＝. 因为sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜， 所以－＜α－β＜0. 又sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－， 所以α－β＝－.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于 A. B. C. D. √ 因为θ∈，所以2θ∈，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－.又因为cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sin θ＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知x∈(0，π)，cos＝－，则cos(x－)＝ A. B. C. D. √ 因为x∈(0，π)，cos ＝－. 所以sin＝＝. 则cos＝cos ＝coscos ＋sin sin ＝(－)×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.若tan θ＝2，则＝ A.－ B. C. D. √ ＝ ＝＝cos θ(sin θ－cos θ) ＝＝＝＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.化简： (3π＜α＜4π)的结果为 A.2sin B.－2sin C.2cos D.－2cos √ 因为3π＜α＜4π，所以＜＜2π， ＜＜π，＜＜，所以cos ＞0， cos ＜0，cos ＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2cos ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.已知sin－2sin 3xcos＝，则cos＝ A. B.－ C. D.－ √ 因为sin＝sin ＝sin 3xcos＋cos 3xsin， 所以sin－2sin 3xcos ＝－sin 3xcos＋cos 3xsin＝， 整理得－sin＝，即sin＝－， 所以cos＝cos ＝－cos＝2sin2－1＝－，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知－＜α－β＜，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝，则sin＝ A. B. C. D. √ 因为sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝， 两式平方相加可得sin2α＋cos2α＋4sin2β＋4cos2β＋4cos βsin α－4sin βcos α＝3， 所以5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－. 因为－＜α－β＜， 所以α－β＝－，将α＝β－代入sin α＋2cos β＝1可得sin(β－)＋2cos β＝1，所以sin β＋cos β＝1，sin(β＋)＝1，则sin(β＋)＝，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，S3，…，S100中，正数的个数是 A.86 B.72 C.16 D.100 √ 因为f(x)＝sin 的最小正周期为T＝14，又sin ＞0，sin ＞0，…，sin ＞0，sin ＝0，所以在S1，S2，…，S14中有12个是正数，故在S1，S2，…，S100中有7×12＋2＝86个正数，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有 A.｜b｜＝1 B.若a∥b，则tan α＝ C.a·b的最大值为2 D.｜a－b｜的最大值为3 √ √ 对于A，｜b｜＝＝1，A正确； 对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，所以tan α＝，B错误； 对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，最大值为2，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，｜a－b｜＝ ＝＝， 因为α∈，所以α＋∈， 则sin ∈，则｜a－b｜max＝＝，D错误，故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.若sin α＋cos α＝，则 A.cos(α＋)＝ B.3tan2α＋8tan α＝－11 C.sin(α＋)＝－ D.3tan2α＋8tan α＝－12 √ √ 因为sin α＋cos α＝2sin(α＋)＝2cos(α－)＝， 所以sin(α＋)＝cos(α－)＝， 则cos(α＋π)＝－cos(α－)＝－，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－，故A错，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为sin α＋cos α＝，即有(sin α＋cos α)2＝， 所以4sin2α＋12cos2α＋8sin αcos α＝1＝sin2α＋cos2α， 则3sin2α＋11cos2α＋8sin αcos α＝0， 所以 ＝＝0， 故3tan2α＋8tan α＝－11，所以B正确，D错.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，下列命题正确的是 A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在区间上为增函数 C.直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D.函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(x)＝sin 2x－＝sin(2x－)－，显然A错；当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin的图象，故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知sin α＋cos α＝，则sin(2α＋)＝_______. － 因为sin α＋cos α＝， 故可得sin(α＋)＝， 则sin＝sin ＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1 ＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝______. － sin＝sin＝cos(2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知sin＝，α∈，则tan＝______. －7 因为α∈，所以α＋∈， 所以cos＝－＝－， 则tan＝＝－， tan＝tan ＝＝＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos 2x－. (1)求函数f(x)的单调递减区间； 解：由f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)－cos 2x－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－). 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的减区间为，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值； 解：由－≤x≤，得－≤2x－≤， 所以－1≤sin≤，－2≤f(x)≤1. 故函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若θ为锐角，f＝，求cos θ的值. 解：由f＝2sin＝，可得sin(θ－)＝. 由0＜θ＜，可得－＜θ－＜， 又由sin＞0，可得0＜θ－＜， 则cos(θ－)＝＝. 所以cos θ＝cos ＝［cos－sin］ ＝×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(本小题满分15分)已知α∈(0，)，β∈(0，)，且cos(α－β)－cos(α＋β)＝，tan＋＝. (1)求cos 2β的值； 解：cos(α－β)－cos(α＋β)＝2sin αsin β＝， 所以sin αsin β＝， tan＋＝＋＝＝＝，所以sin α＝，则sin β＝， 所以cos 2β＝1－2sin2β＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求tan(α＋β)的值. 解：因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以cos α＝＝，tan α＝，cos β＝＝，tan β＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M. (1)求f(x)的解析式； 解：依题意知 A＝1，又图象经过点M， 所以f＝sin＝， 再由＜＋φ＜＋φ＝，即φ＝， 因此f＝sin＝cos x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值. 解：因为f＝cos α＝，f＝cos β＝， 且α，β∈. 所以sin α＝，sin β＝. 则f＝cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2cos x·sin(x＋)－sin2x＋sin x·cos x＋1. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解：f(x)＝2cos x·(sin x＋cos x)－sin2x＋sin x·cos x＋1 ＝2sin x·cos x＋(cos2x－sin2x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求函数f(x)的最大值及最小值； 解：因为－1≤sin(2x＋)≤1， 所以－1≤2sin(2x＋)＋1≤3， 所以当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值3， 所以当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值－1. (3)写出函数f(x)的单调递增区间. 解：令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］(k∈Z). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)＝2cos xsin(x＋)－2cos2x＋，x∈R. (1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； 解：因为f＝2cos x·(sin x＋cos x)－2cos2x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ， 又因为x∈， 所以f(x)的单调递增区间为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为h(x).若关于x的方程2[h(x)]2＋mh(x)＋1＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围. 解：将f(x)的图象向左平移个单位后， 得h(x)＝sin 2x， 又因为x∈，则2x∈， h(x)＝sin 2x的函数值从0递增到1，又从1递减到0. 令t＝h(x)，则t∈[0，1]， 依题意得2t2＋mt＋1＝0在t∈[0，1)上仅有一个实根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令H(t)＝2t2＋mt＋1，因为H(0)＝1＞0， 则需H(1)＝2＋m＋1＜0或 解得m＜－3或m＝－2. 所以实数m的取值范围为{m｜m＜－3，或m＝－2}. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $