4.2 平面-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦立体几何初步中的“平面”，涵盖平面的概念、画法与表示，点线面位置关系的符号语言，以及平面的三个基本事实和推论，通过长方体直观引入，从生活实例抽象概念，为后续空间几何学习搭建基础支架。 其亮点在于采用表格对比平面画法与表示，强化文字、符号、图形三种语言转化，结合合作探究中的点线共面、共线证明典例及规律方法总结，培养直观想象与逻辑推理素养。分层练习助学生巩固，教师使用可系统推进教学，提升学生空间思维与解题能力。

4.2　平　面 　 第4章　立体几何初步 学习目标 1.借助长方体直观认识平面，了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法，掌握平面的三个基本事实和推论，发展数学抽象和直观想象素养. 2.会用符号、文字、图形三种语言表示点、直线、平面之间的位置关系，提升逻辑推理核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　平面的画法与表示 知识梳理 名称 平面描述 平面的画法 平面的表示方法 平面 平面是一个只描述而不定义的最基本的概念，是由现实生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念 通常用平行四边形代表平面 (1)用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α，平面β，平面γ； (2)用表示平面的平行四边形的顶点字母表示，如平面ABCD； (3)用表示平面的平行四边形的对角顶点字母表示，如平面AC，平面BD 备注 平面具有无限延展性，无大小、厚薄、宽窄之分 画一个平面通常画平行四边形即可，但是平行四边形不是平面 平面的写法要注意掌握准确 点拨　(1)几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，因此是无法度量的. (2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们的面积可以 度量. (3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的. 知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示 文字语言 符号语言 图示 点A在直线l上 _______   点B不在直线l上 B∉l 点A在平面α内 ________   点B不在平面α内 ________ 直线a在平面α内 _______   直线b不在平面α内 _______ A∈l A∈α B∉α a⊂α b⊄α 文字语言 符号语言 图示 直线a，b相交于点P a∩b＝P   直线AB和平面α交于点C AB∩α＝C   平面α与平面β交于直线CD ______________   α∩β＝CD 点拨　(1)用集合语言描述位置关系时，“∈，⊂，∩”等符号虽然来源于集合符号，但在读法上却用几何语言.例如，A∈α读作“点A在平面α内”；a⊂α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直 线l”. (2)几何符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别的符号与集合符号略有差异.例如，不用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而是简记为a∩b＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合. (3)点线面的形象理解：点动成线，线动成面，面动成体. 知识点三　平面的基本事实及推论 名称 图形 文字语言 符号语言 基本 事实1   如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α，B∈α，则AB⊂α 基本 事实2   过________________的三点，有且只有一个平面 点A，B，C不共线，A，B，C∈平面α⇒α是唯一的 基本 事实3   如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有______________________ 若P∈α，且P∈β，则α∩β＝l，且P∈l 两个点 不在一条直线上 一条过该点的公共直线 名称 图形 文字语言 符号语言 推论1   一条直线和直线外一点确定一个平面 点A∉a⇒A和a确定一个平面α 推论2   两条相交直线确定一个平面 直线a∩直线b＝A⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3   两条平行直线确定一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 点拨　(1)基本事实1的作用 ①判定直线在平面内的依据.当我们要证明直线在平面内时，只需在直线上取两点，证明这两点在平面内即可； ②判定点在平面内的依据. (2)基本事实2及三个推论的作用 ①确定平面及判定两个平面重合的依据； ②证明点、线共面的依据. (3)基本事实3的作用 ①判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线； ②判定点在直线上的依据.点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的交线，则这点在交线上. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面. (　　) (2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些. (　　) (3)直线a与直线b相交于点A，可用符号表示为a∩b＝A. (　　) (4)平面ABCD的面积为100 m2. (　　) (5)过三点A，B，C有且只有一个平面. (　　) 自主检测 × × √ × × 2.(多选)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面能记为 A.平面MN B.平面NQP C.平面α D.平面MNPQ √ √ √ MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.故选BCD. 3.下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是 A.因为A∈α，B∈α，所以AB∈α B.因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝a C.因为A∈a，a⊂α，所以A∈α D.因为A∉a，a⊂α，所以A∉α √ 对于A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a⊂α，a⊂β，故B错误；对于C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确；对于D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误.故选C. 4.若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在_______________. α与β的交线l上 因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.所以点A，B在α与β的交线l上. 返回 合作探究 返回 探究点一　三种语言的相互转化 用符号语言表示下面的语句，并画出图形. (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； 解：符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①. 典例 1 (2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. 解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图②. 三种语言的转换方法 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言叙述，再用符号语言表示. 2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 规律方法 对点练1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点P与直线AB； 解：P∈AB. (2)点C与直线AB； 解：C∉AB. (3)点M与平面AC； 解：M∈平面AC. (4)点A1与平面AC； 解：A1∉平面AC. (5)直线AB与直线BC； 解：AB∩BC＝B. (6)直线AB与平面AC； 解：AB⊂平面AC. (7)平面A1B与平面AC. 解：平面A1B∩平面AC＝AB. 探究点二　点、线共面问题 如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：方法一(纳入平面法)： 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α. 又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 典例 2 方法二(辅助平面法)： 因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. 因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. 所以平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明点、线共面的常用方法 1.纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. 2.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. 规律方法 对点练2.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱 形，E，F分别是BC，PC的中点，G在PD上，且PG＝PD.证明： A，E，F，G四点共面. 证明：如图，在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于 点M，则有CM＝CD， 在平面PCD内，连接GF并延长交DC的延长线于点M1. 取GD的中点N，连接CN， 则由PG＝PD，可知PG＝GN＝ND. 因为点F为PC的中点， 所以在△PCN中有FG∥CN，即GM1∥CN， 所以在△GM1D中有CM1＝CD， 所以点M与点M1重合，即AE与GF相交于点M， 所以A，E，F，G四点共面. 探究点三　点共线、线共点问题 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)E，F分别为AB，AA1的中点，求证：CE，D1F， DA三线交于一点； 证明：连接EF，D1C，A1B. 因为E为AB的中点，F为AA1的中点， 所以EF∥A1B，且EF＝A1B. 又因为A1B∥D1C，A1B＝D1C， 所以EF∥D1C，EF＝D1C， 所以E，F，D1，C四点共面. 典例 3 延长D1F，CE，设D1F与CE相交于点P. 又因为D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共直线上的一点. 又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 根据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点. (2)E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M，求证：D，A，M三点共线. 证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA， 同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上， 因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD， 所以M∈AD成立. 所以D，A，M三点共线. 1.证明三点共线的方法 规律方法 2.证明三线共点的步骤 规律方法 对点练3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是 AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且 ＝＝1，＝＝2，求证：EH，BD，FG三条 直线相交于同一点. 证明：连接EF，GH，AC， 因为＝＝1，＝＝2， 所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG. 所以EH，FG共面，且EH与FG不平行， 不妨设EH∩FG＝P. 则P∈EH，又EH⊂平面ABD， 所以P∈平面ABD； 同理P∈平面BCD， 又因为平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以P∈BD， 所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P. 对点练4.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD 中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：直线AB，CD， l共点(相交于一点). 证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以直线AB，CD必定交于一点. 如图，设AB∩CD＝M. 又AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，且M∈β，所以M∈α∩β. 又α∩β＝l，所以M∈l， 即直线AB，CD，l共点. 返回 随堂评价 返回 1.如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为 A.A⊂a，a⊂α，B∈α B.A∈a，a⊂α，B∈α C.A⊂a，a∈α，B⊂α D.A∈a，a∈α，B∈α √ A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α. 2.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l. ∈ 因为a∩b＝M，所以M∈a，M∈b， 因为a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β， 因为α∩β＝l，所以M∈l. 3.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定__________个平面. 1或4 当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，体对角线A1C与平面BDFE交于H点，求证：P，H，Q三点共线. 证明：因为EF⊂平面BDFE，P∈EF， 所以P∈平面BDFE. 同理，Q∈平面BDFE， 所以P，H，Q∈平面BDFE. 连接A1C1，AC，又由正方体的性质知A1C1∥AC， 所以直线A1C1，AC确定平面ACC1A1， 又P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C， 所以P，H，Q∈平面ACC1A1， 所以P，H，Q三点一定在平面BDFE与平面ACC1A1的交线上， 故P，H，Q三点共线. 返回 课时分层 返回 1.(多选)下列叙述中，正确的是 A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α B.若A∈α，B∈β，则α∩β＝AB C.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，则α，β重合 D.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB √ √ 对于选项A：直线l上有两点在平面内，则直线在平面内，故选项A正确；对于选项B：若A∈α，B∈β，则A，B不一定是两个面的公共点，故选项B错误；对于选项C：若A，B，C∈α，A，B，C∈β，当A，B，C三点共线时，则α，β不一定重合，故选项C错误；对于选项D：两平面的公共点在公共直线上，故选项D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是 A.A，B，C，D四点中必有三点共线 B.A，B，C，D四点中不存在三点共线 C.直线AB与CD相交 D.直线AB与CD平行 √ 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.若四点不共面，则任意三点不共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是 √ 选项A，如图1，点E，F，H确定一个平面，该平面与底 面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H不共 面，选项A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项B，如图2，连接底面对角线AC，则由中位线定理可知， FG∥AC，又易知EH∥AC，则EH∥FG，故E，F，G，H共 面，选项B正确； 选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点 G不在该平面内，故E，F，G，H不共面，选项C错误； 选项D，如图3，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六 边形，也即是点E，G，H确定的平面与正方体正面的交线 为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面， 选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.给出下列说法： ①梯形的四个顶点共面；②四边形一定是平面图形；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面. 其中正确的序号是 A.① B.①④ C.②③ D.③④ √ 因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；四边形可能为空间四边形，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体的过点M，N，C1的截面图形是 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 √ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1. 如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB 的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，交AB于点F， 连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图 形是五边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.给出下列说法： ①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内； ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内； ③有三个不同公共点的两个平面重合； ④两两相交且不过同一点的四条直线共面. 其中正确说法的序号是_______. ④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∩A1B1＝A1， AD∩AA1＝A， 但是A1B1，AD不在同一平面内，故①错误. 又AA1，A1B1，A1D1交于点A1，但AA1，A1B1，A1D1不共面， 故②错误. 如果两个平面有三个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误. 如图，因为a∩b＝D，设a，b共面于α， 因为B∈b，F∈a，E∈a，故B∈α，F∈α，E∈α， 故BF⊂α即c⊂α， 而A∈c，故A∈α，故EA⊂α即d⊂α即a，b，c，d共面，故④正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.给出下列说法： ①一条直线和一点确定一个平面； ②两条直线确定一个平面； ③三角形和梯形一定是平面图形； ④三条互相平行的直线一定共面. 其中正确的是_______.(写出所有正确说法的序号) ③ 一条直线与直线外一点能确定一个平面，所以①不正确；两条相交直线或两条平行直线可以确定一个平面，所以②不正确；三条互相平行的直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱，所以④不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__________. ①②③ 在④中，可证Q点所在棱与面PRS平行， 因此，P，Q，R，S四点不共面. 可证①中四边形PQRS为梯形； 可证③中四边形PQRS为平行四边形； ②中如图所示，取A1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)已知△ABC的三条边AB，BC，AC所在的直线与平面α分别交于P，Q，R.求证：P，Q，R三点共线. 证明：如图，因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 因为P∈α，所以P是平面α和平面ABC的公共点. 同理Q，R也为平面α与平面ABC的公共点，所以P，Q，R在平面α与平面ABC的交线上，即P，Q，R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8 cm，M， N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点， (1)画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以 及与平面BB1C1C的交线； 解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP， 设MP∩A1B1＝R，则RN是平面α与平面A1B1C1D1的交线， 设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平 面BB1C1C的交线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设过M，N，P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长. 解：正方体棱长为8 cm，B1R＝BM＝4 cm， A1N＝4 cm，B1Q＝A1N， 所以B1Q＝×4＝ cm. 在△PB1Q中，B1P＝4 cm，B1Q＝ cm， 所以PQ＝＝ cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是 A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O， 又A1C∩平面C1BD＝M. 所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的 交线上，即C1，M，O三点共线， 所以A，B，C均正确，D不正确.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG ＝BC，CH＝DC.求证： (1)E，F，G，H四点共面； 证明：如图，连接EF，GH， 因为E，F分别是AB，AD的中点， 所以EF∥BD. 又CG＝BC，CH＝DC， 所以GH∥BD， 所以EF∥GH， 所以E，F，G，H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)直线FH，EG，AC共点. 证明：易知FH与直线AC不平行，但共面， 设FH∩AC＝M， 则M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 因为平面EFHG∩平面ABC＝EG， 所以M∈EG， 所以直线FH，EG，AC共点. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 4.2　平　面 返回 $