4.2 平面-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“平面”核心内容，涵盖平面的概念、表示方法，点、线、面位置关系及符号表示，基本事实与推论。通过“课前预知教材·自主落实基础”导入，结合长方体模型帮助学生直观认识空间关系，为课堂迁移应用构建基础学习支架。 其亮点是采用梯度进阶式教学，从基础训练到课堂题型研究（点线面关系、共面、共线、共点问题），每个题型配思维建模总结方法，培养数学思维（推理能力）与数学语言（符号与图形转换）。以正方体为实例，提升空间观念（数学眼光），助力学生系统掌握知识，教师可高效实施分层教学。

4.2 平　面 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系，会用符号表示点、线、面间的位置关系. 2.了解基本事实及基本事实的推论，并能应用基本事实及推论解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”，是从黑板面、桌面、平静的湖面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面没有厚度，向四周__________. 无限延展 (2)平面的画法及表示方法 画法 我们常用_____________表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_____ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成______ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或_____ 平行四边形 横向 竖向 不画 图示 表示方法 ①用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等. ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC或者平面BD 续表 (3)点、线、面之间的关系及符号表示(其中A是点，l，m是直线，α，β是平面) 文字语言 符号语言 图形语言 点与 直线 A在l上 A____l A在l外 A____l 点与 平面 A在α内 A____α A在α外 A____α ∈ ∉ ∈ ∉ 直线与 直线 l与m相交 _____=A l与m不相交 l∩m=∅ 续表 l∩m 直线与平面 l在α内 l⊂α l与α平行 l∥α l与α相交 l∩α=A 平面 与平面 α与β相交 α∩β=l α与β不相交 α∥β⇔α∩β=∅ 续表 2.基本事实 (1)三个基本事实 基本事实 图形 符号 作用 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在____________ A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α⇒_______ 用来证明直线在平面内　 两个点 这个平面内 AB⊂α 过不在一条直线上的三点，__________一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 用来确定一个平面 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________ P∈α，且P∈β，则α∩β=l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 续表 有且只有 公共直线 (2)三个推论 推论 内容 图形 推论1 一条直线和直线外一点，确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过空间任意三点能确定一个平面. (　　) (2)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形. (　　) ×　 × 2.三点可确定平面的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.1或无数个 √ 3.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在横线上. (1)A∉α，a⊂α_____;  (2)α∩β=a，P∉α，且P∉β______;  (3)a∩α=A______;  (4)α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O______.  C D A B 4.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在_______________.  α与β的交线上 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　点、线、面的位置关系 [例1]　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. 解：用符号表示α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图①. (2)点A，B在平面α内，直线a与平面 α交于点C，点C不在直线AB上. 解：用符号表示A∈α，B∈α，a∩α=C，C∉AB，如图②. |思|维|建|模|　 三种语言转换的注意点 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”. (3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 针对训练 1.用符号表示下列语句，并画出图形. (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC; 解：符号语言表示：α∩β∩γ=P，α∩β=PA，α∩γ=PB，β∩γ=PC，图形表示：如图①. (2)直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上. 解：用符号表示：α∩β=l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β，如图②. 题型(二)　点线共面问题 [例2]　已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条 直线.求证：直线a，b，c，d共面. 证明：①没有三线共点的情况，如图(1)，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a，d可以确定一个平面α. ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQ⊂α， 即b⊂α.同理c⊂α.因此直线a，b，c，d共面. ②有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于一点K，与a分别交于点N，P，M，且K∉a. ∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为β. ∵N∈a，a⊂β，∴N∈β.∴NK⊂β，即b⊂β. 同理c⊂β，d⊂β.因此直线a，b，c，d共面. 由①②可知直线a，b，c，d共面. 　　|思|维|建|模|　 证明多线共面的两种常用方法 纳入 平面法 先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内 辅助 平面法 先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内 针对训练 2.如图所示，已知l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 证明：法一：纳入平面法 ∵l1∩l2=A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B，∴B∈l2. 又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二：辅助平面法 ∵l1∩l2=A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β.∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内. ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 题型(三)　三点共线问题 [例3]　已知点A，B，C在平面α外，AB∩α=P，AC∩α =R，BC∩α=Q，如图所示.求证：P，Q，R三点共线. 证明：法一：∵AB∩α=P，∴P∈AB，P∈α. ∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴点P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR=A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. ∵AB∩α=P，AC∩α=R， ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR. 又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线. |思|维|建|模| 证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实可知，这些点都在两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 针对训练 3.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面; 证明：如图. 连接B1D1， ∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1.∵在正方体AC1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线. 证明：在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β. 则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，∴α∩β=PQ. 又A1C∩β=R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ. 故P，Q，R三点共线. 题型(四)　三线共点问题 [例4]　如图所示，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点. 证明：如图，连接EF，D1C，A1B， 因为E为AB的中点，F为AA1的中点， 所以EF綉A1B. 又A1B綉D1C，所以EF綉D1C. 所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE=P. 又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点. 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA， 所以根据基本事实可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点. |思|维|建|模| 证明三线共点的方法 　　证明空间三条直线共点的常用方法是先证明其中的两条直线相交于一点，再证明这一点在第三条直线上.一般依据两个平面的交线有且只有一条这一基本事实，证明该点是两个平面的公共点，进而证明直线是这两个平面的交线. 针对训练 4.已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点. 证明：如图， α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3. ∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行， ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P， 则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ， ∴P∈α∩γ=l3. ∴l1，l2，l3相交于一点P. 课时跟踪检测 03 1.两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　) A.相交 B.重合 C.相交或重合 D.以上都不对 √ 解析：两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合. 2.平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈β，且B∉l，点C∈α，又AC∩l=R，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是 (　　) A.直线CR B.直线BR C.直线AB D.直线BC √ 解析：如图所示.由题意可知，AC⊂γ，AC∩l=R，则R∈γ， 又平面α∩平面β=l，则l⊂α，l⊂β，∵AC∩l=R，∴R∈β， ∵B∈β，B∈γ，∴β∩γ=直线BR. 3.一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定 (　　) A.三个平面 B.四个平面 C.五个平面 D.六个平面 √ 解析：直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个平面. 4.(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是 (　　) A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=MN C.A∈α，A∈β⇒α∩β=A D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 √ √ √ 解析：对于A，若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，即直线a上有两个点都在平面β上，由基本事实可知，这条直线就在平面上，即a⊂β，故A正确; 对于B，若M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，即M，N在平面α和平面β的交线上，即α∩β=MN，故B正确; 对于C，若A∈α，A∈β，点A在平面α和平面β的交线上，由基本事实可知α∩β为经过点A的一条直线而不是A，故C错误; 对于D，因为A，B，M三点不共线，由基本事实可知，A，B，M三点可构造唯一一个平面，又A，B，M∈α，A，B，M∈β，则α，β两平面重合，故D正确. 5.(多选)如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是 (　　) A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面 C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面 √ √ √ 解析：连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD=O，因为AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面C1BD，所以O∈平面ACC1A1，O∈平面C1BD.因为A1C∩平面C1BD=M，且A1C⊂平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1，M∈平面C1BD.又易知C1∈平面ACC1A1，C1 ∈平面C1BD，所以C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，所以选项A中结论正确，又由推论1可知B、C中结论均正确，易知D中结论不正确. 6.如图，α∩β=l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l=D， 过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线 必过(　　) A.点A B.点B C.点C，但不过点D D.点C和点D √ 解析：A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上. 7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，那么 (　　) A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上 √ 解析：如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC=AC，所以M∈AC.故选A. 8.在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是 (　　) √ 解析：对于A，如图1所示，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在直线FM上，故E，F，G，H不共面，A错误;对于B，如图2所示，连接底面对角线AC，则由中位线定理可知，FG∥AC，又易知EH∥AC，则EH∥FG，故E，F，G，H共面，B正确;对于C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E，F，G，H不共面，C错误; 对于D，如图3所示，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点E，G，H确定的平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面，D错误. 9.（5分）如图，用符号语言表示图形中点、直线、平面之间 的位置关系. (1)点A，B在直线a上____________;  (2)直线a在平面α内_______;  (3)点D在直线b上，点C在平面α内______________.  A∈a，B∈a a⊂α D∈b，C∈α 解析：根据点、线、面的位置关系及其表示方法，可知(1)A∈a，B∈a，(2)a⊂α，(3)D∈b，C∈α. 10.（5分）在如图所示的正方体ABCD⁃A'B'C'D'中， (1)与AB所在直线平行的平面有____个;  2 1 解析：与AB所在直线平行的平面有平面A'B'C'D'和平面DCC'D'; (2)与A'B所在直线平行的平面有____个;  解析：与A'B所在直线平行的平面只有平面DCC'D'; (3)与A'D'所在直线相交的平面有____个;  解析：与A'D'所在直线相交的平面有平面DCC'D'和平面A'B'BA; (4)与BD'所在直线相交的平面有____个.  解析：与BD'所在直线相交的平面有平面ABB'A'、平面BCC'B'、平面CDD'C'、平面DAA'D'、平面ABCD、平面A'B'C'D'. 2 6 11.(10分)如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b=A，P∈b， PQ∥a，求证：PQ⊂α. 证明：∵PQ∥a，∴PQ与a可以确定一个平面β. ∴直线a⊂β，P∈β.∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.又∵a⊂α，∴α与β重合.∴PQ⊂α. 12.(10分)如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB， BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F， G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上. 证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面ABCD.因为AD∩α=H，所以H∈平面ABCD，H∈α，由基本事实可知，H必在平面ABCD与平面α的交线上.同理F，G，E都在平面ABCD与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上. 13.(15分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中. (1)AA1与CC1是否在同一平面内?请说明理由;（3分） 解：是，平行直线确定一平面. (2)点B，C1，D是否在同一平面内?请说明理由; （3分） 解：是，不在同一直线上的三点确定一平面. (3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线;画出平面ACD1与平面BDC1的交线. （9分） 解：如图1，设BD∩AC=O，又C1∈平面ACC1A1， C1∈平面BC1D，O∈平面ACC1A1，O∈平面BC1D， 则C1O⊂平面BC1D， C1O⊂平面ACC1A1，故平面ACC1A1与平面BC1D的交线为C1O. 如图2，设CD1∩C1D=O1，AC∩BD=O2. 因为O1∈平面ACD1，O1∈平面BDC1， O2∈平面ACD1，O2∈平面BDC1， 所以O1O2⊂平面ACD1， O1O2⊂平面BDC1.故平面ACD1与平面BDC1的交线为O1O2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $