2.1.2 两角和与差的正弦公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦公式，通过从两角和与差的余弦公式推导切入，梳理公式间逻辑关系，搭建“公式推导-结构特征-符号规律”的学习支架，帮助学生建立三角函数公式体系。 其亮点在于以“给角求值、给值求值、给值求角”三类问题为载体，通过典例解析与规律方法提炼，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。如探究点二通过角的拆分与范围分析，引导学生灵活运用公式，既提升学生解题能力，又为教师提供分层教学资源。

2.1.2　两角和与差的正弦公式 　 第2章　2.1　两角和与差的三角函数 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系，提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等，提升数学运算核心素养. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养的学业质量水平要求. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　两角和与差的正弦公式 知识梳理 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ ____________________________ α，β∈R 两角和的 正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ ____________________________ α，β∈R sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β 点拨　(1)理顺公式间的逻辑关系 C(α－β) C(α＋β) S(α－β) S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律 对于公式S(α＋β)，S(α－β)可记为“异名相乘，符号同”. 符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“位置”要特别注意. (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π，则 sin(A＋B)＝sin C，sin(A＋C)＝sin B，sin(B＋C)＝sin A； sin()＝cos，sin()＝cos，sin()＝cos. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. (　　) (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立. (　　) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β. (　　) 自主检测 √ √ × 2.sin 105°的值为 A. B. C. D. √ sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝×＋×＝. 3.已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin (α－β)等于 A. B. C.－ D.－ √ 因为α是第二象限角且sin α＝， 所以cos α＝－ ＝－. 又因为β是第四象限角，且cos β＝， 所以sin β＝－＝－. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. 4.已知sin α＝，α∈，则sin＝_______. 因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－， 所以sin＝sin αcos －sin cos α ＝×－×＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°； 解：原式＝sin(29°＋90°)·sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1° sin 29° ＝－(cos 29°sin 1°＋cos 1°sin 29°) ＝－sin(1°＋29°)＝－sin 30° ＝－. 典例 1 (2). 解：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 解决给角求值问题的策略 1.对于非特殊角的三角函数式的求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部变形. 2.一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分.解题时要注意逆用或变用公式. 规律方法 对点练1.cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为 A.－ B.－ C. D. √ 因为cos 200°＝cos(180°＋20°) ＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， 所以原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)·cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. 对点练2.化简求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]. 解：原式 ＝·sin 80° ＝·cos 10° ＝2(sin 50°cos 10°＋sin 10°sin 40°) ＝2(sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°) ＝2sin(50°＋10°)＝2×＝. 探究点二　给值求值问题 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝. (1)求sin的值； 解：因为α为锐角，sin α＝， 所以cos α＝＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝. 典例 2 (2)求sin β的值. 解：因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 由cos(α＋β)＝，得 sin(α＋β)＝＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝. 解决给值求值问题的解题策略 1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 提醒　解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值. 规律方法 对点练3.已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，｜a－b｜＝. (1)求cos(α－β)的值. 解：因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， 所以｜a－b｜2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝. (2)若0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝，求sin α的值. 解：因为0＜α＜，－＜β＜0，且cos β＝， 所以sin β＝－，且0＜α－β＜π. 又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝， 所以sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×(－)＝. 探究点三　给值求角问题 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α. 解：因为α∈，β∈， 所以α－β∈(0，π). 因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝. 因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝. 所以sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝×＋×＝. 又因为α∈，所以α＝. 典例 3 给值求角问题的解题策略 1.解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角. 2.选三角函数的方法：若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等. 规律方法 对点练4.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝_____. 由条件知cos α＝，cos (α－β)＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.又β为锐角，所以β＝. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)下面各式中，正确的是 A.sin＝sin cos ＋cos B.cos ＝sin －cos cos C.cos ＝cos cos ＋ D.cos ＝cos －cos √ √ √ 因为sin ＝，所以A正确； 因为cos ＝－cos ＝－cos ， 所以B正确； 因为cos ＝cos，所以C正确； 因为cos ＝cos≠cos －cos ， 所以D不正确.故选ABC. 2.sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25°＝ A. B. C. D.－ √ 由诱导公式得sin 70°·sin 65°－sin 20°·sin 25° ＝sin 70°·cos 25°－cos 70°·sin 25° ＝sin(70°－25°)＝sin 45°＝，故选B. 3.设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin α＝ A. B. C. D. √ 设α为锐角，若cos(α＋)＝， 0＜α＜，＜α＋＜，sin＝， 则sin α＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝.故选B. 4.已知tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜. (1)求sin α和cos α； 解：因为tan α＝4，sin(α－β)＝，且0＜β＜α＜， 所以cos2α＝＝＝， 因为cos α＞0，所以cos α＝， 所以sin α＝＝. (2)求β的值. 解：因为0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜， 所以cos(α－β)＝ ＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－sin(α－β)cos α， ＝×－×＝， 故β＝. 返回 课时分层 返回 1.(多选)下列各式正确的是 A.cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos 100° B.cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C.sin(α＋45°)cos α－cos(α＋45°)sin α＝sin 45° D.cos(α＋)＝cos α＋cos α √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A中左边＝cos(80°＋20°)＝cos 100°， B中右边＝cos(45°＋30°)＝cos 75°， C中左边＝sin[(α＋45°)－α]＝sin 45°， D中左边＝cos α－sin α，故D错误. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.sin 15°＋sin 75°＝ A. B.1 C. D. √ sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知sin(＋α)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是 A.－ B. C. D. － √ 因为sin(＋α)＋sin α＝， 所以sincos α＋cossin α＋sin α＝， 即cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 即sin(α＋)＝， 所以sin(α＋)＝sin(π＋α＋)＝－sin(α＋)＝－， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α.若｜AB｜＝1，则sin α＝ A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为点B的坐标为(，－)， 设∠BOC的大小为θ，0＜θ＜， 所以sin θ＝，cos θ＝， 因为∠AOC＝α，｜AB｜＝1， 则三角形OAB为等边三角形， 所以θ＋α＝. 则α＝－θ. 则sin α＝sin(－θ)＝sincos θ－cossin θ ＝×－×＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若α，β均为锐角，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝ A. B. C.或 D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为α与β均为锐角，且sin α＝＞sin(α＋β)＝， 所以α＋β为钝角. 又由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－. 由sin α＝，得cos α＝. 所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－(－)×＝，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知sin＝－，则sin x＋sin＝_______. －1 原式＝sin x＋sin＝sin x＋sin x－cos x＝sin x－cos x ＝×(sin x－cos x) ＝sin＝×(－)＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.设sin(α－)＝2cos α·sin，则的值为______. 因为sin(α－)＝sin αcos－cos αsin＝2cos α·sin， 所以tan α＝3tan. 所以＝＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在△ABC中，若sin A＝2cos B·sin C，则该三角形的形状一定是____________. 等腰三角形 因为sin A＝2cos B·sin C， A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C， 所以sin A＝sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C， 所以sin B·cos C＝cos B·sin C， 即sin B·cos C－cos B·sin C＝0， 所以sin(B－C)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为B，C∈(0，π)， 所以B－C∈(－π，π)， 所以sin(B－C)＝0，即B－C＝0， 所以B＝C，则△ABC为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)化简下列各式： (1)sin＋2sin－cos； 解：原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝sin x＋cos x＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)－2cos(α＋β). 解：原式＝ ＝ ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求：(1)sin(2α－β)的值； 解：因为α，β∈， 所以α－β∈， 又sin(α－β)＝＞0， 所以0＜α－β＜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得，sin α＝＝， cos(α－β)＝＝， sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)] ＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β) ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)β的值. 解：sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝， 又因为β∈，所以β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝ ＝. 即＝， 化简得cos(B＋C)＝0，即cos(π－A)＝0， 所以cos A＝0. 因为0＜A＜π，所以A＝，又无法判断B是否等于C， 所以△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.“在△ABC中，cos Acos B＝__________＋sin Asin B”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是______________. b＜a＜c 由题意，横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0；当C是锐角时，－1＜b＝cos(A＋B)＜0；当C是钝角时，0＜c＝cos(A＋B)＜1.故b＜a＜c. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 2.1.2　两角和与差的正弦公式 返回 $