2.1.2 两角和与差的正弦公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.1.2　 两角和与差的正弦公式 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 2.能够运用两角和与差的正弦、余弦解决求值、化简等问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和 的正弦 S(α+β) sin(α+β)=_____________________ 两角差 的正弦 S(α-β) sin(α-β)=____________________ sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β |微|点|助|解|　 (1)公式中的角α，β都是任意角. (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)≠sin α±sin β. (3)注意公式的逆向运用和变形运用 ①公式的逆用：如sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α. ②公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin(α-β)+cos αsin β=sin αcos β;一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中，角α，β是任意的. (　　) (2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　　) (3)sin 54°cos 24°-sin 36°cos 66°=. (　　) √　 ×　 √ 2.sin(30°+45°)=________.  解析：sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=× +×=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　给角求值 [例1]　(1)=(　　) A.- B.1 C. D.2 √ 解析： = = = ==2sin 60°=. (2)化简：sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β]=______.  sin β 解析：原式=sin(α+β)cos α-[sin(α+α+β)-sin (α+β-α)]=sin(α+β)cos α-[sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)-sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]=sin(α+β) cos a-×2sin αcos(α+β)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin(α+β-α)=sin β. |思|维|建|模| 解决给角化简与求值问题的思路 (1)化简.三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角;②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦. (2)求值.运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°=sin(45°-30°) =sin(60°-45°)=;二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°+cos 13°sin 17°=sin(13°+17°)=sin 30°=;三是进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α=(α+β)-β=(α-β)+β. 针对训练 1.sin 18°cos 12°+cos 18°sin 12°= (　　) A.- B.- C. D. 解析：sin 18°cos 12°+cos 18°sin 12°=sin(18°+12°)=sin 30°=. √ 2.-的值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析：-=-=== ==4. √ 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知<β<α<，cos(α-β)=，sin(α+β)=-，求sin 2α的值. 解：∵cos(α-β)=>0，<β<α<， ∴0<α-β<.∴sin(α-β)=. 又sin(α+β)=-，π<α+β<， ∴cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-×-×=-. |思|维|建|模| 给值(式)求值的解题策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.设α∈，若sin α=，则sin的值为(　　) A. B. C. D. 解析：∵α∈，sin α=，∴cos α=.∴sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.故选A. 针对训练 √ 4.已知α，β均为锐角，cos α=，cos(α+β)=-，则sin β=(　　) A. B.或 C. D. √ 解析：因为α，β均为锐角，故α+β∈(0，π). 因为cos α=，cos(α+β)=-， 所以sin α==，sin(α+β)==. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-× =. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知α，β均为锐角，且sin α=，cos β=，则α-β的值为(　　) A. B.- C. D.- √ 解析：∵α，β均为锐角，且sin α=， cos β=，∴cos α==， sin β==， ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=-. 又α，β均为锐角，∴-<α-β<.∴α-β=-. |思|维|建|模| 解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 针对训练 5.已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α=，cos(α+β)=-，求β-α的值. 解：因为≤α≤π，所以≤2α≤2π. 又因为sin 2α=，所以<2α<π. 即<α<. 因为π≤β≤， 所以<β-α<<α+β<2π. 所以cos 2α=-，sin(α+β)=-. 所以sin(β-α)=sin[(α+β)-2α] =-×-×=. 所以β-α=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.sin 50°sin 80°-cos 130°sin 10°=(　　) A.- B. C.- D. 解析：原式=sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°=sin(50°+10°)=sin 60°=.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中，A=，cos B=，则sin C=(　　) A. B.- C. D.- 解析：sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=(cos B+ )=×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中，若sin(B+C)=2sin Bcos C，则这个三角形一定是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析：因为sin(B+C)=2sin Bcos C，所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.则sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0.又0<B<π，0<C<π，所以-π<B-C<π.所以B-C=0，即B=C，所以△ABC一定是等腰三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED= (　　) A. 　　　B. C. 　　　D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知sin∠BEC=，cos∠BEC=，又∠CED=-∠BEC，所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转90°得到角β，则下列结论正确的是(　　) A.tan α= B.cos β=- C.sin(α-β)=-1 D.sin=- √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知sin α=-，cos α=-，β=α+90°，则tan α==，故A正确; cos β=cos(α+90°)=-sin α=，故B错误; α-β=-90°，则sin(α-β)=sin(-90°)=-1，故C正确; sin β=cos α=-，则sin=(sin β-cos β)=×=-，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，则sin(α+β)=______.  解析：∵sin α+cos β=1，　① cos α+sin β=0，　② ∴①2+②2，得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1. ∴sin αcos β+cos αsin β=-. ∴sin(α+β)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为，则A=___;f=______.  解析：依题意得f=A×-×=0，解得A=1，所以f(x)=sin x-cos x=2sin，所以f=2sin=-. 1 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=，β是第三象限角， 则sin=_____.  解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α-β)-α]=-sin β=，sin β=-. 所以sin=sin βcos+cos βsin =×+×=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3，4). (1)求sin的值; 解：因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3，4)， 所以sin α=，cos α=. 所以sin=sincos α+cossin α=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若锐角β满足cos(α+β)=-，求sin β的值. 解：因为α，β均为锐角，所以α+β∈(0，π). 因为cos(α+β)=-<0，所以α+β∈.所以sin(α+β)=.所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)求证：sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. 证明：∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α]=sin β， ∴sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. ∴原式得证. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是(　　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析：因为f(x)=sin +cos =sin，所以最小正周期T==6π.因为≤1，所以f(x)max=.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设α∈，β∈，且tan α=，则下列结论正确的是(　　) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵tan α==， ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β， ∴sin(α-β)=cos α=sin， 又α-β∈-α∈. ∴α-β=-α，即2α-β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知向量a=，b=(4，4cos α-)，若a⊥b，则sin=____.  解析：因为a⊥b，所以a·b=4sin+4cos α-=0，即2sin α+6cos α-=4sin-=0，则sin=. 所以sin=sin=-sin=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，则角β的值为____.  解析：因为0<α<，cos α=，所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以cos(α+β)=-. 所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×- ×=. 又因为0<β<，所以β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，且a2+b2-c2=ab. (1)求B; 解：在△ABC中a2+b2-c2=ab， 由余弦定理可知cos C===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为C∈(0，π)，所以C=. 因为sin C=cos B，所以cos B=， 又B∈(0，π)，所以B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若△ABC的面积为3+，求c. 解：由(1)可得B=，C=，则A=π--=，sin A=sin=sin=×+×=， 由正弦定理得==， 从而a=·c=c，b=·c=c， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由三角形面积公式，可知S△ABC=absin C=·c·c·=c2， 由已知△ABC的面积为3+，可得c2=3+，所以c=2. $$