1.2 第1课时 向量的加法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

第1课时　向量的加法运算 　 第1章　1.2　向量的加法 学习目标 1.理解向量的加法的概念， 提升数学抽象核心素养. 2.掌握向量加法的三角形法则及平行四边形法则， 能够利用法则进行向量的加法计算， 培养直观想象和数学运算核心素养. 3.学会向量加法的运算律， 提升逻辑推理核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求向量____的运算，叫作向量的加法. 2.向量的加法运算法则 知识梳理 － 图示 作法 向量加法的法则 三角形法则   已知两个______向量a，b，在平面上取任意一点O，分别作＝___，＝___，则定义从O到B的向量_____为a与b的和，记作______，即a＋b＝＋＝ 和 非零 a b a＋b － 图示 作法 向量加法的法则 平行四边形法则   已知两个不共线向量a，b，从同一点O出发作有向线段＝___，＝___，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即＝a＋b 点拨　三角形法则和平行四边形法则适用于两个方向既不相同也不相反的非零向量求和.特别注意的是｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b方向相反时左侧取等号，a，b方向相同时右侧取等号. a b 知识点二　零向量的加法性质 对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a. 知识点三　向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝________ a＋(b＋c)＝____________ 点拨　用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算.如＋＋＝＋＋＝. b＋a (a＋b)＋c 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＋＋＝. (　　) (2)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　) (3)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. (　　) (4)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. (　　) 自主检测 √ √ × × 2.在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于 A. B. C. D. √ ＋＝.故选D. 3.已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等. 4.化简＋＋＝______. 0 ＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. 返回 合作探究 返回 探究点一　向量的加法及其几何意义 (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b； 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝ a＋b. 典例 1 (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b. 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b. 1.利用三角形法则的注意点 要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量. 2.利用平行四边形法则的注意点 利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. 规律方法 对点练1.如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四 边形法则分别作向量a＋b＋c. 解：利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作＝a，以A为 起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝ ＋＋＝a＋b＋c. 利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作＝a，＝b，＝c，以，为邻边作▱OADB，则＝a＋b，再以，为邻边作▱ODEC，则＝＋＝a＋b＋c. 探究点二　向量的加法及运算律 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＋＝_______； (4)＋＝_______. 典例 2 　 　 　 如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： (1)＋＝＋＝. (2)＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. (4)＋＝＋＝. 向量加法运算中化简的两种方法 1.代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 2.几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简. 规律方法 对点练2.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝ A.0 B. C. D. √ 由题意，＋＋＝(＋)＋＝. 对点练3.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式： (1)＋＝__________； 　 ＋＝. (2)＋＋＝_____； 0 ＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＝__________； 　 ＋＋＝＋＋＝＋＝. (4)＋＋＋＝__________. ＋＋＋＝＋＋＋ ＝＋＝. 探究点三　向量加法的实际应用 一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离. 解：如图所示，＝＋，∠BAC＝90°，｜｜＝｜｜＝300 km，所以｜｜＝300 km. 又因为∠ABC＝45°，且A地在B地的东偏南60° 的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处. 故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°， B，C两地间的距离为300 km. 典例 3 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 规律方法 对点练4.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35° 的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地 按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞 机飞行的路程及两次位移的和. 解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜，两次飞行的位移的和是＋＝. 依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋800＝1 600 (km). 因为∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以｜｜＝ ＝＝800 (km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 返回 随堂评价 返回 1.下列向量的运算结果为零向量的是 A.＋ B.＋＋ C.＋＋＋ D.＋＋＋ √ 对于A，＋＝＋＝，故A错误； 对于B，＋＋＝，故B错误； 对于C，＋＋＋＝，故C错误； 对于D，＋＋＋＝＋＋＋＝0，故D正确，故选D. 2.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则 A.＋＋＝0 B.＋＋＝0 C.＋＋＝0 D.＋＋＝0 √ 因为D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，所以DE∥AC，DF∥BC. 所以四边形DECF是平行四边形.所以＝. 又＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0，故选A. 3.若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________. 120° 因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形(如图). 又P为△ABC的外心，所以｜｜＝｜｜＝｜｜. 因此，∠ACB＝120°. 4.已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5 km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25 km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？ 解：如图，设工作艇在静水中的航行速度为，水流速 度为，工作艇的实际航行速度为， 由题意知，｜｜＝12.5，｜｜＝25， 因为四边形OADB为平行四边形，所以｜｜＝｜｜， 又因为OD⊥BD，所以在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，则航向为北偏西30°. 返回 课时分层 返回 1.(多选)下列等式中正确的是 A.a＋0＝a B.a＋b＝b＋a C.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜ D.＝＋＋ √ √ √ 当a与b方向不同时，｜a＋b｜≠｜a｜＋｜b｜.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的是 A.＋＝ B.＋＋＝0 C.＋＝ D.＋＝ √ 由题意，根据向量的加法运算法则，可得＋＝，故A正确；由＋＋＝＋＝0，故B正确；根据平行四边形法则，可得＋＝＝，故C正确，D不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.其中结果为零向量的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ ＋＋＝0，＋＋＋＝＋＋＋＝0，＋＋＋＝＋，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.下列说法： ①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同； ②△ABC中，必有＋＋＝0； ③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点. 其中正确说法的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ ①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，在平行四边形ABCD中，下列计算不正确的是 A.＋＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＋＝0 √ 由向量加法的三角形法则可知＋＋＝＋＋＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.化简：(＋)＋(＋)＋＝__________. 原式＝＋＋＋＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝2，则｜＋｜＝_____. 2 如图所示，设菱形对角线的交点为O.＋＝＋＝. 因为∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形. 又因为AB＝2，所以OB＝1. 在Rt△AOB中，｜｜＝＝， 所以｜｜＝2｜｜＝2，即｜＋｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知｜｜＝｜a｜＝3，｜｜＝｜b｜＝3，∠AOB＝60°，则｜a＋b｜＝__________. 3 如图，因为｜｜＝｜｜＝3，所以四边形OACB为菱形. 连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D. 因为∠AOB＝60°，所以AB＝｜｜＝3， 所以在Rt△BDC中，CD＝， 所以｜｜＝｜a＋b｜＝×2＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)化简：(1)＋＋； 解：＋＋＝＋＋＝＋＝； (2)＋＋＋＋； 解：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0； (3)＋＋； 解：＋＋＝＋＋＝＋＝0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)(＋)＋＋. 解：方法一：(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二：(＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝. 方法三：(＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h. (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； 解：作出向量如图所示： 其中表示江水速度，表示船速，表示船实际航 行速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示). 解：因为AB⊥AC，＝＋，所以四边形ABDC是矩形， 所以｜｜＝＝10.tan ∠DAC＝＝，所以∠DAC＝60°. 所以船实际航行的速度为10 km/h，实际航行方向与江水速度方向夹角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则｜a＋b｜＝______ km，a＋b的方向是__________. 8　 北偏东45° 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则｜｜＝8 km，∠BAC＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：由已知可设＝＝a，＝＝b， 则＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a. 又因为a＋b＝b＋a，所以＝， 因此AE FC，从而可知四边形AECF是平行四边形. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 第1课时　向量的加法运算 返回 $