4.1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦棱柱、棱锥、棱台的结构特征，通过实物模型观察导入，衔接空间几何体、多面体等基础概念，为后续学习提供知识支架，帮助学生建立空间图形认知框架。 其亮点在于以直观想象为核心，结合数学抽象与数学运算，通过合作探究（如多面体展开图最短路径问题）和分层练习，引导学生辨析几何体特征。教师使用可提升教学针对性，学生能在实践中深化空间观念，发展数学思维。

4.1.1　几类简单几何体 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 　 第4章　4.1　空间的几何体 学习目标 1.通过对实物模型的观察，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 培养直观想象核心素养. 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算，提升数学运算与数学抽象核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　空间几何体 1.空间几何体：如果我们只考虑物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. 2.多面体：把由若干个____________所围成的封闭体叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的____；两个面的________叫作多面体的棱；棱与棱的______叫作多面体的顶点. 3.旋转体：把平面上一条曲线绕着该平面内的一条定______旋转而成的封闭几何体称为旋转体.这条定直线称为旋转轴. 知识梳理 形状 大小 平面多边形 面 公共边 交点 直线 点拨　(1)多面体至少有四个面，如图1所示.在空间几何体中说某个面是多边形，包括这个多边形内部的平面部分. (2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫作多面体的对角线.在图2中，连接BD1，则BD1为该多面体的一条对角线. (3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫作这个几何体的截面.在图2中，连接AC，AD1，D1C，则得到多面体的一个截面ACD1. 知识点二　多面体 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱柱 一般地，有两个面互相______，其余各面都是___________，且每相邻两个四边形的公共边都互相_____，由这些面围成的多面体叫作棱柱   记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面：两个互相______的面 侧面：除底面外，其余各面都是平行四边形 侧棱：相邻两个侧面的________ 顶点：侧棱与底面的__________ 直棱柱：侧面都是矩形的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 长方体：底面和侧面都是矩形的棱柱 正方体：所有棱长都相等的长方体 平行 平行四边形 平行 平行 公共边 公共顶点 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱锥 有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，像这样的多面体叫作棱锥   记作：棱锥 S-ABCD 侧面：具有同一个公共顶点的三角形面 侧棱：相邻两个侧面的________ 顶点：各侧面的__________ 底面：除了侧面外，剩下的那一个多边形面 正棱锥：底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上 多边形 三角形 公共边 公共顶点 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 台 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与______ ______的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分多面体叫作棱台   记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的______ 下底面：原棱锥的______ 侧面：除上、下底面外，其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 正棱台：由正棱锥截得的棱台 底面 平行 截面 底面 点拨　棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例). 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的底面互相平行. (　　) (2)棱柱的各个侧面都是平行四边形. (　　) (3)用一个平面截正方体，其截面是矩形. (　　) (4)棱柱至少有五个面. (　　) 自主检测 √ √ × √ 2.下列空间图形中是棱柱的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱.观察图形满足棱柱概念的空间图形有(1)(3)(5)，共3个.故选C. 3.下列命题中正确的个数是 ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱； ②由若干个平面多边形所围成的空间图形是多面体； ③仅有一组对面平行的五面体是棱台； ④有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形是棱锥. A.0 B.1 C.2 D.3 √ ①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，不正 确；②中，根据空间图形的性质和结构特征可知， 多面体是由若干个平面多边形所围成的空间图形， 是正确的； ③中，仅有一组对面平行的五面体，可 以是三棱柱，不正确；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的空间图形不一定是棱锥，如图中的空间图形，满足条件，但并不是棱锥.故选B. 4.下列说法正确的有__________.(填序号) ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点； ②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. ①③ 棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对.因而正确的有①③. 返回 合作探究 返回 探究点一　棱柱的结构特征 (多选)下列关于棱柱的说法正确的是 A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 典例 1 √ √ A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 棱柱结构特征的辨析技巧 1.扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，并且其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. 2.举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 规律方法 对点练1.下列命题中，正确的是 A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 √ A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点.故选D. 探究点二　棱锥、棱台的结构特征 下面是关于棱锥、棱台的四种说法： ①棱锥的侧面只能是三角形； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中说法错误的是 A.① B.② C.③ D.④ 典例 2 √ ①正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；②正确， 棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由四个 面围成的封闭图形只能是三棱锥；④错误，如图所示，四棱锥 被平面截成的两部分都是棱锥.故选D. 判断棱锥、棱台形状的2个方法 1.举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. 2.直接法 规律方法   棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 对点练2.下列命题中不正确的是_______. ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥； ②三棱锥的任何一个面都可看作底面； ③面数最少的多面体是四面体. ① 根据棱锥的结构特征，命题①不正确；三棱锥的任何一个面都是三角形，所以任何一个面都可看作底面，②正确；面数最少的多面体是四面体，③正确. 探究点三　多面体的平面展开图 如图，一只小蚂蚁从吊在天花板上的棱长为1的正方体 ABCD-A'B'C'D'的顶点A处，沿其下底面ABCD和右侧面BCC'B' 爬到C'处，问小蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 解：如图，将正方体的侧面BCC'B'沿棱BB'，B'C'，C'C剪开后，展开到水平面上，至BCC1B1的位置，则AC1的距离就是小蚂蚁爬行的最短路程. 在Rt△AB1C1中可得AC1＝，所以小蚂蚁爬行的最短路程为. 典例 3 多面体展开图问题的解题策略 1.绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. 2.由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图. 规律方法 对点练3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b， BB1＝c，并且a＞b＞c，求沿着长方体的表面自A到C1的 最短路线长. 解：将长方体相邻的两个面展开，有下列三种情形： ①将前侧面和右侧面展开到同一个平面：AC1＝＝； ②将前侧面和上底面展开到同一个平面：AC1＝＝； ③将下底面和右侧面展开到同一个平面：AC1＝＝， 因为a＞b＞c，所以ab＞ac＞bc＞0， 故最短的线路长为. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)下面图形中，是棱锥的是 √ √ √ 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，A，B是棱锥，C不是棱锥，D是棱锥.故选ABD. 2.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中①、④处于正方体的两个相对面的是 A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) √ (1)图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面； (2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； (3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面； (4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面； 综上可得，还原成正方体后，①、④处于正方体的两个相对面的是(2)(3).故选B. 3.下列几何体不属于棱柱的是 √ 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱，所以不属于棱柱的图形为D选项. 故选D. 4.如图所示，正三棱锥A-BCD的底面边长为a，侧棱长为 2a，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面△BEF周长 的最小值和这时点E，F的位置. 解：把正三棱锥A-BCD的侧面展开， 两点间的连线BB'即是截面周长的最小值. 因为BB'∥CD， 所以△ADB'∽△B'FD， 所以＝， 其中AD＝2a，DB'＝a， 所以DF＝a， 又△AEF∽△ACD， 所以＝，其中CD＝a，AD＝2a， AF＝2a－a＝a， 所以EF＝a， 所以截面周长的最小值是BB'＝2a＋a＝a，E、F两点分别满足AE＝AF＝a. 返回 课时分层 返回 1.(多选)下列关于长方体的叙述正确的是 A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B.长方体中相对的面都相互平行 C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离 D.两底面之间的棱互相平行且等长 √ √ √ A中只有将矩形水平放置时，沿竖直方向平移才能形成长方体，由长方体的结构知其他三个选项都正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.下列说法中正确的是 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 √ 因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B错误；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，所以C错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为 A.2 B. C.2＋ D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC'D'1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD'1，则AD'1＝ ＝＝为所求的最小值.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列说法错误的是 A.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项A，任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故A正确；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设O为正六棱锥S-ABCDEF底面内切圆的圆心， 连接OA，OB，如图所示： 由题意可知∠AOB＝，∠SAB＝－θ， 所以OA＝AB，SA·cos(－θ)＝SA·sin θ＝AB， 所以SA＝， 设内切圆半径为r，则tan＝＝，r＝AB， 所以侧棱与底面内切圆的半径的比为＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 √ 如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1， 连接BC1， 因为E，F分别为BC，CC1的中点，则EF∥BC1， 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1， 所以EF∥AD1，则A，D1，F，E四点共面. 则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折成正方体，有下列结论： ①点H与点C重合； ②点D，M，R重合； ③点B与点Q重合； ④点A与点S重合. 其中正确结论的序号是__________.(把你认为正确结论的序号都填上) ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”.按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合.故②④正确，①③错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到点D1时的最短的路程是_______. 将所给的正六棱柱按图1部分展开，则BD1＝BB1＋B1D1＝1＋3＝4，AD1＝＝，AD'1＝＝，因为AD1＜AD'1，所以从A点沿正侧面到上底面到D1的路程最短，最短路程为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2， AA1＝2，顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)运动到达顶点C1，运 动轨迹与AA1的交点记为M.求： (1)该三棱柱侧面展开图的对角线的长； 解：沿侧棱BB1将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开，得到一个矩形BB1B'1B'，如图. 矩形BB1B'1B'的长BB'＝6，宽BB1＝2，所以该三棱柱侧面展开图的对角线的长为＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)从B经M到C1的最短路线的长度及此时的值. 解：沿侧棱BB1将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面 展开，得到一个矩形BB1B'1B'，如图. 在矩形BB1B'1B'中，连接BC1交AA1于M，则BC1就是由顶点B经M到C1的最短路线，其长度为＝＝2. 易知△BMA≌△C1MA1，所以AM＝A1M，即＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别 为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A， B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ 解：如图，折起后的几何体是三棱锥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ 解：这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)每个面的三角形面积为多少？ 解：＝a2，＝＝·2a·a＝a2，＝－－－＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值. 其中，正确的说法是 A.①② B.① C.①②③ D.①③ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器 倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不 正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高 不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定 值，故③正确.所以四个命题中①③正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，AP＋PC1的最小值为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将△A1BC1绕A1B旋转到平面ABA1上，如图所示： 则AB＝1，AA1＝2，A1B＝BC1＝，A1C1＝， 所以cos∠ABA1＝， cos∠A1BC1＝＝， sin∠ABA1＝，sin∠A1BC1＝， 所以cos∠ABC1＝cos(∠ABA1＋∠A1BC1) ＝cos∠ABA1cos∠A1BC1－sin∠ABA1sin∠A1BC1 ＝×－×＝， 所以AP＋PC1的最小值为 AC1＝ ＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的 结构特征 返回 $