1.3 课时1 向量的实数倍与共线向量 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.3 向量的数乘 1 课时1 向量的实数倍与共线向量 2 1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌握向量数乘运算的运算律，能熟练地进行向量 数乘运算.（逻辑推理、数学运算） #b# 2.掌握平行向量的条件，会根据平行向量的条件判断两个向量是否平行.（逻辑推理、 数学运算） 学习目标 3 1.实数与向量相乘结果是实数还是向量？ [答案] 是向量. 2.非零向量与向量 共线的充要条件是什么？ [答案] 存在唯一实数 ，使 . 自主预习 4 3.按照向量夹角的定义，如图所示，是向量与 的夹角吗？ [答案] 不是向量与的夹角.如图，作， 才是 向量与 的夹角. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若向量与共线，则存在唯一的实数 使 .( ) × （2）若，则与 共线.( ) √ （3）对于非零向量，向量与向量 方向相反.( ) √ 自主预习 6 2.（多选题）设是非零向量， 是非零实数，下列结论错误的是( ) . ABD A.与的方向相反 B. C.与的方向相同 D. [解析] 当 取负数时，与的方向是相同的，选项A错误；当 时， 不成立，选项B错误；因为，所以一定是正数，故与 的方向相 同，选项C正确.表示一个数， 表示一个向量，不可能相等，选项D错误.故选 ． 自主预习 7 3.如图，已知是的边上的中线，若， ， 则 ( ) . C A. B. C. D. [解析] 因为是的中点，所以 . 自主预习 8 探究1 向量的实数倍 一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为 ，在同一方向上前进3秒钟的 位移对应的向量是 吗？在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少？ 问题1： 物体的位移是多少？ [答案] 类比数的运算，前进3秒钟的位移是，反向运动3秒钟的位移是 . 合作探究 9 问题2： 向量，与 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [答案] 的长度是的长度的3倍，它的方向与向量的方向相同.的长度是 的长 度的3倍，它的方向与向量 的方向相反. 问题3： 的几何意义是什么？ [答案] 的几何意义就是将表示向量的有向线段伸长或压缩.当时，表示 的 有向线段在原方向或反方向上伸长为原来的 倍. 合作探究 10 新知生成 1.向量的数乘 一般地，实数 与向量的乘积是一个______，记作____，称为的 倍，它的长度 ______. 当且时， 的方向： 当时，与 的方向______； 当时，与 的方向______； 当或时，或 . 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘. 向量 相同 相反 合作探究 11 2.向量的线性运算 把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量. 合作探究 12 新知运用 例1 已知点在线段上，且，则 等于( ) . D A. B. C. D. [解析] ，， .故选D. 合作探究 13 &1& （1）数乘向量中，实数 称为向量 的系数. （2）实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义 的推广，但不能进行加减运算，如， 均无意义. （3）数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题. 合作探究 14 下列各式中不表示向量的是( ) . C A. B. C. D.，，且 [解析] 向量的数乘运算结果均为向量，显然只有 不是向量. 合作探究 15 探究2 共线向量 如图，在平行四边形中，为 的中点. 合作探究 16 问题1： 与 的关系是什么？ [答案] 且 . 问题2： 与，与 是否共线？ [答案] 共线. 问题3： 若为线段上任意一点，是否存在满足 ？ [答案] 存在. 合作探究 17 新知生成 1.向量共线 当非零向量,方向相同或相反时，我们既称,共线，也称,平行，记作 . 规定：零向量与所有的向量平行. 2.共线向量定理 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即： 存在实数 ，使得或 . 合作探究 18 新知运用 例2 设,,, 中的任何三个点不共线，用向量语言描述下列几何图形的特征. （1）四边形 是平行四边形； （2）在梯形中，上底长是下底 长的一半. 合作探究 19 [解析] 由共线（平行）向量基本定理，得： （1）且 （如图①）. 图① 合作探究 20 （2） （如图②）. 图② 合作探究 21 根据下列条件，分别判断四边形 的形状，并给出证明. （1） ； （2） ； （3），且 . 合作探究 22 [解析] （1），， . 四边形 是平行四边形. （2） ， ， .