11.2二次根式的乘除 寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

11.2二次根式的乘除寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 ●掌握二次根式乘法、除法运算法则，能写出公式并明确成立条件； ●能够运用法则进行简单的二次根式乘除运算； ●理解最简二次根式的定义，能将结果化为最简. 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1二次根式的乘法】 乘法法则：； 语言描述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。（被开方数都为非负数） 逆用：=·(a≥0，b≥0)，用于化简二次根式。 【知识点2二次根式的除法】 1.除法法则：=(a≥0，b>0) 语言描述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用：=(a≥0，b>0)，用于去分母里的根号。 【知识点3最简二次根式】 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 【重点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式 【知识点4易错点提醒】 （1）运算时先看条件:被开方数非负、分母不为0； （2）结果必须化成最简二次根式； （3）带分数要先化成假分数再运算。 ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1二次根式的乘法 例1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 变式1．计算：的结果是 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数及整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）利用负整数指数幂，二次根式的乘法及零指数幂计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2二次根式的除法 例2．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 变式1．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为． 变式2．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含二次根式的一元一次方程求解，关键是利用等式性质将系数化为1，并对二次根式进行化简． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型3二次根式的乘除混合运算 例3．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 变式1．计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 题型4分母有理化 例4．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 变式1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算和解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的混合运算和解不等式的步骤是关键． 通过移项和合并同类项，将不等式变形为，然后根据不等式的性质（除以正数不等号方向不变）求解，并有理化分母 【详解】解：， 移项得， 即， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 变式2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型5最简二次根式的判断 例5．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式； 选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C． 变式1．在中，是最简二次根式的是 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，为边上一点，且，，点是边上的动点，连接．    (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为或 【分析】（1）在中，可求出的长，由此可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解； （2）由（1）可知，是等腰直角三角形，即，当是直角三角形时，分类讨论，①当时，；②当时，，设；根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴的长为． （2）解：由（1）可知，，， ∴， 若是直角三角形，则是等腰直角三角形， 分两种情况： ①当时，如图所示，    ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示，    ∴，设， ∵在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查勾股定理求线段长度，掌握直角三角形中勾股定理的运用是解题的关键． 题型6化为最简二次根式 例6．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 变式1．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为 ； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由矩形的性质和勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再证明，由勾股定理可得． 【详解】解：（I）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，连接， 由旋转的性质可得，； ∵点O，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ． （2）解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 题型7已知最简二次根式求参数 例7．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． ．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 变式2．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 题型8复合二次根式的化简 例8．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 变式1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 变式2．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算，得到，然后通过估计的值确定范围 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴值在8和9之间． 故选：C． 2．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需依据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，，正确， B选项，，不正确， C选项，，不正确， D选项，，不正确， 故选A． 3．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根、有理化分母和平方运算的基本概念．选项A通过有理化分母验证正确；选项B错误因为负数没有实数平方根；选项C错误因为平方运算后结果应为而非；选项D错误因为算术平方根结果非负． 【详解】解：对于A：∵ ， ∴ A正确． 对于B：∵ 在实数范围内，负数没有平方根， ∴ 无意义，B错误． 对于C：∵ ， ∴ C错误． 对于D：∵ 算术平方根非负， ∴ ， ∴ D错误． 故选：A． 5．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式的化简． 先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式可以与合并， ∴， 解得：． 故选：C． 8．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘方，先运用二次根式的性质进行化简以及运算乘方，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 10．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 14．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，已知．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点E作交的延长线于点F，于点H，可得四边形是矩形，从而得到，再由直角三角形的性质可得求出，进而得到的长，从而得到，进而得到的长，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交的延长线于点F，于点H， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理二次根式的性质，做适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题 17．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合化简，核心是利用二次根式的运算法则、，并结合分式约分、分母有理化完成化简． 【详解】（1）解：由有意义，得到，， ； （2）解：由，，有意义，得到， ． 18．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， 米米， 答：小明需要后退约米． 21．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)16或32 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，理解题意是解决本题的关键． （1）将7转化为，进行求解即可； （2）先将算术平方根内部的式子结合题意进行转化即可求解； （3）根据可得，进而根据题意即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： ； （3）解： 由题意得， ， ∴， ∵，且，，均为正整数， ∴，的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2二次根式的乘除寒假预习讲义（苏科版） 💧 课前预习★目标 ●掌握二次根式乘法、除法运算法则，能写出公式并明确成立条件； ●能够运用法则进行简单的二次根式乘除运算； ●理解最简二次根式的定义，能将结果化为最简. 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1二次根式的乘法】 乘法法则：； 语言描述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。（被开方数都为非负数） 逆用：=·(a≥0，b≥0)，用于化简二次根式。 【知识点2二次根式的除法】 1.除法法则：=(a≥0，b>0) 语言描述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 逆用：=(a≥0，b>0)，用于去分母里的根号。 【知识点3最简二次根式】 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 【重点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式 【知识点4易错点提醒】 （1）运算时先看条件:被开方数非负、分母不为0； （2）结果必须化成最简二次根式； （3）带分数要先化成假分数再运算。 ☘ 核心考点★精讲讲练 题型1二次根式的乘法 例1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算：的结果是 ． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型2二次根式的除法 例2．计算：（   ）. A． B． C． D． 变式1．化简： ． 变式2．解方程． (1) (2) 题型3二次根式的乘除混合运算 例3．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 变式1．计算： （其中）． 变式2．计算：． 题型4分母有理化 例4．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．不等式的解集为 ． 变式2．先化简，再求值：，其中． 题型5最简二次根式的判断 例5．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．在中，是最简二次根式的是 变式2．如图，在中，，，为边上一点，且，，点是边上的动点，连接．    (1)求的长； (2)当是直角三角形时，求的长． 题型6化为最简二次根式 例6．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 变式1．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为 ； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 变式2．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 题型7已知最简二次根式求参数 例7．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 变式2．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 题型8复合二次根式的化简 例8．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 变式1．已知，则的值为 ． 变式2．观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 2．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．若最简二次根式可以与合并，则的值是（   ） A．11 B．4 C．2 D．1 8．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．若，化简 ． 11．计算： ． 12．不等式的解集是 ． 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 14．如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 16．如图，已知．若，则的长为 ． 三、解答题 17．化简下列各式： (1) (2) 18．化简下列各式： (1) (2) 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 21．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)请你仿照上面的方法化简：； 【类比归纳】 (3)若，其中，且，，均为正整数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $