精品解析：宁夏银川市第三十一中2025-2026学年上学期期末考试高一数学试卷

银川市第三十一中学2025—2026学年度(上)期末考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 4. 如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上奇函数，且当时，，则（　　） A. 3 B. C. 1 D. 7. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ） A. B. C D. 8. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（    ） A. B C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的表达式 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数图象是由图象向左平移个单位而得到 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的值为______. 13 已知，，则______．（用数字作答） 14. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求 的值； （2）若是第三象限角，且，求的值． 17. 年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 18. 如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求实数的取值范围； （3）若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数的最大值为2. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程； （3）把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象.当时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第三十一中学2025—2026学年度(上)期末考试 高一数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用集合交集运算即可. 【详解】因为集合，由交集的定义可得. 故选：C. 2. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，两边平方得， 整理得，所以. 故选：A. 4. 如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（ ） A ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】由函数过点，和过点即可得解. 【详解】因为， 所以函数过点，和过点. 所以由图可得③所对应的函数不属于，和中的函数. 故选：C. 5. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可. 【详解】令扇形的半径为，则， 所以此扇形的面积为. 故选：D 6. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则（　　） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 所以． 故选：C． 7. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则且， 所以. 故选：B. 8. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照函数新定义以及指数幂的运算化简判断ABC选项；举反例判断D选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A项，可得， 则 ，故C正确； 对于D，取，则， ， 而， 则，故D错误. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据诱导公式化简判断各个选项即可. 【详解】对于A，在中，有， ∴，A选项正确； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：AB. 10. 函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的表达式 C. 函数的一个对称中心为 D. 函数图象是由图象向左平移个单位而得到 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由图可求得和函数表达式即可判断；对于C，代入检验即可判断；对于D，由函数平移法则验算即可. 【详解】对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得，即函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，由得，由图可知，且，解得， 又因为，所以只能，所以函数的表达式，故B正确； 对于C，，即不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，由图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标， 由图知，，，A错； 且，，B、C对； 由，而， 所以，无最小值，D错. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知，，则______．（用数字作答） 【答案】6 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：6 14. 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明函数为周期函数，周期为，再结合周期性性质求. 【详解】因为是奇函数，则， 又，所以， 即．所以， 所以函数的周期为． 又，所以． 当时，，则． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域求解可得； （2）根据对数函数的单调性可得. 【小问1详解】 因为，要使函数有意义，解得. 因此，函数的定义域为. 【小问2详解】 因为，根据对数函数性质得，解得. 因此，的取值范围是. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求 的值； （2）若是第三象限角，且，求的值． 【答案】（1）； （2）0. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求出的正余弦，再结合诱导公式计算作答. （2）利用平方关系求出，再用差角的余弦公式计算作答. 【小问1详解】 依题意，，则， 所以. 【小问2详解】 因为第三象限角，且，则， 由（1）知，， 所以. 17. 年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】（1）； （2）年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系； （2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值. 【小问1详解】 每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 当时，； 当时，. 所以年利润. 【小问2详解】 由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 18. 如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. （1）求的解析式； （2）已知，求实数的取值范围； （3）若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域与单调性结合可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）根据存在实数解，结合图形可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故. 【小问2详解】 因为函数在定义域上为增函数， 由可得，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为关于的方程存在实数解，即存在实数解， 结合图象可得，整理可得，解得或， 故实数的取值范围是. 19. 已知函数的最大值为2. （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程； （3）把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象.当时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 【答案】（1）1 （2）单调递减区间为；对称轴为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，进而求解； （2）由（1）得，结合整体代换法即可求解； （3）根据三角函数图象平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质、方程根与函数图象交点之间的转化即可求解. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为2，， 所以； 小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 即的单调减区间为； 由，得， 即的对称轴为直线. 【小问3详解】 将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得， 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为方程在上恰好有两个不同的根， 所以直线与函数在上恰好有两个交点， 得； 当时，关于直线对称，则； 当时，关于直线对称，则. 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $