精品解析：宁夏西吉中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末考试卷

西吉中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学期末考试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数f（x）= A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2019年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，则快递业产生的包装垃圾超过4000万吨的年份是（ ）年．（参考数据：，） A. 2020 B. 2023 C. 2025 D. 2027 7. 已知，都是锐角，，，则的值为（     ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数与互为反函数 C. 若幂函数在单调递减，则 D. 函数的图象是由函数的图象各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的. 11. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为________. 13. 已知扇形的圆心角为，面积为6，则该扇形的弧长为_________ 14. 函数的部分图象如图所示，若，且，则 ______________ 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 化简求值： （1）； （2）已知，求的值． 16. 设函数． （1）求函数定义域和对称中心； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）求值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数的单调递增区间． 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数，若其定义域中存在一个，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称为该函数的一个“不动点”．现新定义：若满足，则称为的“次不动点”． （1）判断函数是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由； （2）已知函数，若非零实数a是在内的次不动点，求a的值； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西吉中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学期末考试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 2. 函数f（x）= A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： ，所以零点在区间（0，1）上 考点：零点存在性定理 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案； 【详解】， 当， “”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断和比较大小，即可判断. 【详解】因为，即， 又，即，， 所以. 故选：B 5. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 函数为偶函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：A. 6. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2019年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，则快递业产生的包装垃圾超过4000万吨的年份是（ ）年．（参考数据：，） A. 2020 B. 2023 C. 2025 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】2019年起，经过年，快递业产生的包装垃圾量为：，，再解不等式即可得答案. 【详解】2019年包装垃圾量为400万吨，年增长率为50%， 则从2019年起，经过年，快递业产生的包装垃圾量为：， 所以，即， 对不等式两边取常用对数：， 即 因为，，即年快递业产生的包装垃圾超过4000万吨 故选：C 7. 已知，都是锐角，，，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，都是锐角，所以， 又，所以， 又，所以， 所以 . 故选：D 8. 已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，解得. 在上单调递减，且. 因为，所以，解得或. 故选：D 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D. 【详解】角的终边与单位圆的交点为 则，则选项A判断正确； 所以，则选项B判断正确； ，则选项C判断错误； ，则选项D判断错误. 故选：AB 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 是函数的一条对称轴 B. 函数与互为反函数 C. 若幂函数在单调递减，则 D. 函数的图象是由函数的图象各点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的. 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入检验判断A；根据指数函数与对数函数互为反函数判断B；根据幂函数的性质判断C；根据函数图象平移变换求解解析式判断D. 【详解】对于A，当时，，由于是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴，A选项正确； 对于B，函数与互为反函数，B选项错误； 对于C，幂函数在单调递减，则，C选项正确； 对于D，函数的图象各点的横坐标缩短为原来的得的图象，再向左平移个单位长度得的图象，故D选项正确. 故选：ACD 11. 函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 因为，所以， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 又，， ，， ， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则，故B正确； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称， 所以，故C正确； 对于D，因为，，由图可知，所以， 所以， 又在上单调递增， 当时，当时， 因为，所以 所以，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 13. 已知扇形的圆心角为，面积为6，则该扇形的弧长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出扇形的半径，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，依题意可得，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长. 故答案为： 14. 函数的部分图象如图所示，若，且，则 ______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，求出、的取值范围，结合正弦型函数的对称性求出的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 又， 所以，则， 因为、，则，， 又因，则，可得， 因此. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9 （2）-3 【解析】 【分析】（1）利用指数、对数运算性质求解即可. （2）首先将原式化简为，再分子、分母同时除以即可得到答案. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式． 16. 设函数． （1）求函数的定义域和对称中心； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的性质计算可得； （2）依题意可得，解得即可. 【小问1详解】 对于函数， 令，解得， 所以的定义域是； 令，解得， 所以的对称中心是 【小问2详解】 由，可得， 解得， 所以不等式的解集是 17. 已知函数． （1）求值； （2）求函数的最小正周期； （3）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入，由特殊角的三角函数值求出的值； （2）根据二倍角公式化简整理把函数化成一个角的一种三角函数的形式得，由正弦型函数的周期公式求出最小正周期； （3）根据正弦函数的单调递增区间，把看成一个整体，解不等式，求出的单调递增区间. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为 所以函数的最小正周期. 【小问3详解】 因为函数在区间上单调递增. 所以由， 得. 即. 所以函数的单调递增区间为. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以， 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔．该理论中有如下定义：对于函数，若其定义域中存在一个，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，而称为该函数的一个“不动点”．现新定义：若满足，则称为的“次不动点”． （1）判断函数是否是不动点函数，若是，求出其不动点，若不是，请说明理由； （2）已知函数，若非零实数a是在内的次不动点，求a的值； （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于函数，我们要判断它是否为不动点函数，关键在于求解方程，得到方程的解为和即可. （2）根据列出等式后，利用得到，结合正弦函数性质与的取值范围，最终确定的值即可. （3）将函数在上的唯一不动点和次不动点，分别设为，再根据，建立等式，从等式入手构建与的关系，通过对构建出的式子进行分析，转化为交点问题，再分别构造关于的新函数，利用指数函数性质研究这两个新函数在区间的增减性，从而得到的两个取值范围，再取交集即可. 【小问1详解】 若是不动点函数，则假设为该函数的一个“不动点”， 故，即，解得或， 所以是不动点函数，不动点为和. 【小问2详解】 若非零实数是在内的次不动点， 则，故，即， 解得，即a的值为. 【小问3详解】 设分别是在上的一个不动点和一个次不动点， 且唯一，故，得到， 两边同时取指数得，整理得， 令，故与在上有唯一交点， 由指数函数性质得在上单调递增， 而，由指数函数性质得在上单调递增， 故在上单调递增，而，得到， 故，由得，， 两边同时取指数得，整理得， 令，故与在上有唯一交点， 由指数函数性质得在上单调递增， 而，故，得到， 综上可得，，即实数b的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为函数交点问题，结合指数函数性质得到所要求的参数范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $