精品解析：江西科技学院附属中学2025-2026学年高一年级上学期2月期末考试数学试题

2025-2026-1学年高一年级2月期末考试 数学试卷 卷面分数150分考试时间120分钟命题人高一年级数学备课组审题人高一年级数学备课组 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题,则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，或 2. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ） 05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A 680 B. 585 C. 467 D. 15 3. 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（ ） A. C与D是对立事件 B. A与D是互斥事件 C. B与D是相互独立事件 D. A与C是相互独立事件 4. 某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ） A. 168，35 B. 168，20 C. 169.6，35 D. 169.6，20 5. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上函数满足，当时，则=（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设，其中表示不超过的最大整数，例如.若，所有满足的点组成区域的面积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积的最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 10. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）. A. ， B. 方程有唯一解 C. 直线与的图象有3个交点 D. 函数，若函数有四个不同的零点，则a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 13. 已知函数，则____ 14. 某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 17. 如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路. （1）求方案①中从A到C电路为通路的概率.（用p表示）； （2）分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠. 18. 对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”. （1）已知函数，试判断否为“函数”，并说明理由； （2）已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围. 19. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1学年高一年级2月期末考试 数学试卷 卷面分数150分考试时间120分钟命题人高一年级数学备课组审题人高一年级数学备课组 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题,则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定. 【详解】已知命题,， 则命题的否定为：，或. 故选：D 2. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003…899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数字开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ） 05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680 B. 585 C. 467 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】读取样本数据，即可根据百分位数的计算公式求解. 【详解】由题意可知：抽取的样本容量为8，故抽取的八个数据分别为：060,223,585,151,035,159,775,780,将其从小到大排列为035,060,151,159,223,585,775,780， ，故样本编号的75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即， 故选：A 3. 一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（ ） A. C与D是对立事件 B. A与D是互斥事件 C. B与D是相互独立事件 D. A与C是相互独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和独立事件的定义、公式进行逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 事件有，共4个，， 事件有，共3个，. 易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件， ，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件. 故选：D. 4. 某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（ ） A. 168，35 B. 168，20 C. 169.6，35 D. 169.6，20 【答案】A 【解析】 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 5. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，单调性，然后确定，，的范围，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又定义域关于原点对称， 所以为偶函数，且易知函数在上单调递增， 又，，， 所以， 所以，即. 故选：A. 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7. 已知定义在上的函数满足，当时，则=（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的等式可得为奇函数且周期为2，再根据对数的运算求解即可. 【详解】由可得为奇函数，又，则，故，故周期为2. 故 . 故选：D 8. 设，其中表示不超过的最大整数，例如.若，所有满足的点组成区域的面积为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义可得当时，组成区域的面积为1，进而可得，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】当时，组成区域的面积为1， 当时，组成区域的面积为1， 依次类推，当时， 组成区域的面积为1. 当时，若，则， 此时组成区域的面积为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 当，且时，， 当，且时， 所以的取值范围是， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ） A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2 B. 该扇形面积的最大值为1 C. 当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，应用基本不等式计算判断选项D. 【详解】由题意知：，，， 对于选项A：当时，，可得，故选项A不正确； 对于选项B、C：，当时取等，该扇形面积的最大值为1，此时，，故选项B、C正确； 对于选项D： 当且仅当时，取最小值为，故选项D正确． 故选：BCD 10. 已知随机事件满足，则（ ） A. 若事件互斥，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件互斥，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义及性质判断AD；利用包含事件的性质求解判断BC. 【详解】对于A选项，因为事件互斥，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，因为，所以，故C正确； 对于D选项，事件与事件是互斥事件，则为必然事件，所以，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数则下列结论正确的有（ ）. A. ， B. 方程有唯一解 C. 直线与的图象有3个交点 D. 函数，若函数有四个不同的零点，则a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出值域可判断选项正误；对于B，将与图像关于原点对称的函数的图像与图像画在同一坐标系下可判断选项正误；对于C，将图像与图像画在同一坐标系中可判断选项正误；对于D，令，则的零点个数，为方程解的个数，其中.然后分类讨论的取值可判断选项正误. 【详解】对于A，当，，当，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，当且仅当取等号，综上可得，， 故A正确. 对于B，与图像关于原点对称的函数解析式为：，将图像与图像画在同一坐标系下，如下图虚线部分，可得两函数图像有4个交点，则方程有4个解，故B错误； 对于C，将图像与图像画在同一坐标系中，可得两函数图像有3个交点，故C正确； 对于D，令，则的零点个数，为方程解的个数，其中.当时，， .. 方程，当时有2个相等实根，，有2个不等实根. 当，直线与图像无交点，则此时无解，等价于无解，此时无零点； 当，由图可得解为，此时方程有2个根，则此时有2个零点； 当，由图可得有2个根，其中， 则方程一共有4个根，即此时有4个零点； 当，由图可得有3个根，满足， 则方程一共有4个根，即此时有4个零点； 当，由图可得有3个根，满足， 则方程一共有5个根，即此时有5个零点； 当，由图可得有3个根，满足， 则方程一共有6个根，即此时有6个零点； 当，由图可得有2个根，则方程一共有4个根，即此时有4个零点； 当，由图可得有1个根，满足，则方程有2个根，即此时有2个零点. 综上，为使有4个零点，，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案：． 13. 已知函数，则____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值结合分段函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 故答案为： 14. 某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析得每局第一个答题是甲或乙，概率均为，设事件表示一局比拼中甲获胜，甲得分有两种情况：3分或2分，分类求出一局后甲获胜的概率，再由独立事件乘法公式求这场比赛甲获胜的概率. 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式组求解． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可. 【小问1详解】 依题意，，且，所以， 又因为，，； ，； 所以； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，； 所以； 又，所以，即， 解得，且； 所以原不等式的解集为且. 17. 如图所示，用4个电子元件组成一个电路系统，有两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.这4个电子元件中，每个元件正常工作的概率均为，且能否正常工作相互独立，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路. （1）求方案①中从A到C的电路为通路的概率.（用p表示）； （2）分别求出按方案①和方案②建立的电路系统正常工作的概率、（用p表示）；比较与的大小，并说明哪种连接方案更稳定可靠. 【答案】（1）； （2），；，按方案①的连接方案更稳定可靠. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算作答. (2)利用对立事件和相互独立事件的概率公式列式计算出、，再作差比较大小作答. 【小问1详解】 方案①中，从A到C的电路为通路即是两个电子元件至少一个正常工作， 当电子元件都不正常时，即从A到C的电路不通的概率为， 所以从A到C的电路为通路的概率. 【小问2详解】 方案①中，由(1)知，从C到B的电路为通路的概率为， 从A到B的电路系统正常工作必须是从A到C的电路和从C到B的电路都为通路， 于是得， 方案②中，每一个支路中的两个电子元件都正常工作，该支路即为通路，其概率为， 由(1)知，从A到B的电路系统正常工作的概率为， 而，则，即， 所以按方案①的连接方案更稳定可靠. 18. 对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”. （1）已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是“函数”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由新定义判断方程是否有解即可. （2）由题意得首先得，然后对分类讨论，将问题转换为方程有解求参数范围即可. 【小问1详解】 由题意，若函数在定义域内存在实数，满足， 可得，即. 当时，上式成立，所以存在，满足， 所以函数是“函数”. 【小问2详解】 因为函数为上的奇函数， 所以，所以，经检验满足条件， 所以，所以， 所以，定义域为. ①当在区间上存在，满足时， 则，即. 令，则，当且仅当时取等号. 又，所以，即， 所以， 所以， ②当在区间上存在，满足时， 则，即有解. 因为在区间上单调递减，所以. ③当在区间上存在，满足时， 则，即有解. 因为在区间上单调递增，所以. 综上所述，实数m的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得表达式，结合分类讨论以及方程有解即可顺利得解. 19. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质化简不等式，结合换元法、一元二次不等式的解法、对数函数的单调性进行求解即可； （2）根据指数的运算性质，结合定值的特征运用倒序相加进行求解即可； （3）根据所给两个等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 小问1详解】 已知，则， ， 所以不等式可化为， 令，则不等式变为， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以，不等式的解集为. 【小问2详解】 已知，则，， 所以为定值， 令， 则， 两式相加得，所以， 即的值为. 【小问3详解】 已知满足，即， 已知满足，即， 令， 则原方程组可化为和， 而可化为， 设，因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 由，， 所以有， 因为函数是实数集上的增函数 所以，即，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $