精品解析：江西省临川第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

江西省临川一中高一上学期期末考试数学试题 命题人：黄建国 唐梦静 审题人：张文军 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案. 【详解】由，得：或， 故或， 又因为， 所以 故选：A 2. 某工厂生产两种不同型号产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先由中位数和极差的概念得到，再由百分位数的计算方法求出即可； 【详解】该组数据的中位数为，极差为15，故， 则，，则第60百分位数10. 故选：D. 4. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（ ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 【答案】D 【解析】 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 5. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 6. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用与比较大小，得，然后判断内函数与外函数的单调性，再根据同增异减得函数的单调性，然后判断出. 【详解】因为；；，所以；令，则，已知函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，由复合函数同增异减，即可得函数在定义域上单调递减，所以. 故选：D. 【点睛】比较指对数大小时，当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“”或“”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小；关于复合函数的单调性的判断，需要先分析内函数与外函数的单调性，然后利用同增异减判断整个函数的单调性. 8. 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下． 当时，方程在内有2026个实根； 当时，方程在内有1个实根， 令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根， 所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意； 或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则， 即 解得,综上可得． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 10. 设函数是定义在上的奇函数，满足.当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间单调递减 C. 当时，有1013个零点 D. 函数的图象关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值和函数的奇偶性，将转化为与分别求出函数周期和对称轴，即可画出函数图象，再结合图象一一分析. 【详解】因为， 所以， 所以的周期为4， 又， 所以，又因为是定义在上的奇函数. 所以，所以关于对称. 又当时，，据此可画出部分图像如下： 对于A：结合图像可知：图像关于对称，故A错误； 对于B：因为的周期为，故在上单调性与在上保持一致. 又当时，，所以在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于C：结合图像可知：零点为， 令，解得，又，所以， 故当时，有个零点，故C正确； 对于D：结合图像可知：图像关于对称，其中，故D错误 故选：C 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数图象，即可判断选项A，然后根据，的取值范围，逐项分析即可. 【详解】作出函数图象 由图可知，故A正确； 对于B：因为函数的对称轴为直线， 所以，且， 所以， 所以， 当时，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C：根据题意， 所以，， 所以，， 所以，故C错误； 对于D：， 由图可知，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是  的必要条件但不是充分条件”等价于  且 ，  或 ， 解得：或. 故答案为： 13. 已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，最后代入，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以， 所以． 故答案为：0. 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，列出关于的表格，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，小王需要再9个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字， 且这5个数字未知，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有12种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）计算：若，，求的值. （2）计算：； 【答案】（1）6；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则化简计算，再代入求值. （2）利用对数运算法则及换底公式计算即可. 【详解】（1）， 而，，所以原式 （2）原式 . 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1， 得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 17. 已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. （1）求的表达式； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 小问1详解】 由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . 【小问2详解】 代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 18. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，， 即，解得； 【小问2详解】 由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则，解得， 所以； 【小问3详解】 ， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 19. 已知定义域为的函数，对于，定义. （1）设，求； （2）设，求； （3）对于非空集合，若对任意的都有，则称是对称集.设是奇函数；是对称集.判断与之间的推出关系，并加以证明. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据的定义列出不等式求解； （2）令，分析该函数的单调性，进而求出不等式的解集，求出； （3）根据奇函数定义和定义证明，举反例说明. 【小问1详解】 由题可知，又， 解得，所以； 【小问2详解】 令， 因为， 所以为偶函数， 当时，， 因为和在单调递增， 所以在单调递增， 所以在单调递增，在单调递减； 又，所以， 所以的解集为， 所以； 【小问3详解】 先看是否能推出： 因为是奇函数，所以， 若，则， 所以， 所以，所以是对称集，故， 再看是否能推出： 反例：若  为偶函数（如 ）， 因为对任意 ，有 ， 由于 ，则 ， 所以 ，则  是对称集。但偶函数不一定是奇函数， 所以， 综上所述，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省临川一中高一上学期期末考试数学试题 命题人：黄建国 唐梦静 审题人：张文军 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（ ） A. 40分钟 B. 30分钟 C. 20分钟 D. 10分钟 5. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 10. 设函数是定义在上的奇函数，满足.当时，，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数在区间单调递减 C. 当时，有1013个零点 D. 函数的图象关于点对称 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等实数根，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 13. 已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上1至9中不重复的整数，小王通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为__________. 四、解答题 15. （1）计算：若，，求值. （2）计算：； 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 17. 已知函数图象过点，且与函数的图象相交于. （1）求的表达式； （2）若函数在上的最小值为，求实数的值 18. 为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. （1）求的值； （2）给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； （3）设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 19. 已知定义域为的函数，对于，定义. （1）设，求； （2）设，求； （3）对于非空集合，若对任意的都有，则称是对称集.设是奇函数；是对称集.判断与之间的推出关系，并加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $