精品解析：安徽阜阳市颍州区2025-2026学年数学（人教版）九年级上学期卷四试题卷

数学（人教版）九年级卷四 试题卷 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．范围：第21~28章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用平方根的定义将原方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】 由平方根的意义，得 所以 ， 故选：C 2. 已知三边长是2，4，5，与相似的三角形三边长可能是（ ） A. 6，12，15 B. 4，8，5 C. 3，5，6 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A.，两个三角形相似，选项符合题意； B. ，两个三角形不相似，选项不符合题意； C. ，两个三角形不相似，选项不符合题意； D. ，两个三角形不相似，选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 3. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4. 2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．进馆人次的每天减少率为x，根据“第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次”，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为， 故选：D． 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形与几何变换．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：∵抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴得到的抛物线对应的函数关系式为， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．以点O为位似中心，在第三象限内将按相似比缩小，得到，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，解决本题的关键在于理解以原点为位似中心进行缩放时，对应点坐标的变化规律． 根据相似比，再由对应的坐标乘以相似比求解即可． 【详解】解：∵将按相似比缩小，得到， ∵与在原点异侧，所以相似比， 设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：D ． 7. 如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形面积计算，解决本题的关键是求解出C，A两点坐标． 先求解出C，A两点坐标，由此可求解出的长度，再由的高为的长度，由此计算三角形的面积即可． 【详解】解：由图象可知，点， ∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， 又， ∴ 故选：B ． 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得的长，然后根据等积法求得的长，然后根据正弦函数的定义即可得到的值． 【详解】解：如图，作于点, 作于点， 由已知可得，， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、相似三角形的性质及判定，关键是知识点的灵活应用； 由中点可知，又由于为的中点，可得，进而根据三角形相似可得． 【详解】解：∵是的中位线， ∴且， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案选：B． 10. 如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图，，， ，， ， 即点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点， B，O，三点共线，此时的值最大， ，， ． ， 在中， ， 即的最大值为8， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 12. 在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩．某学校墙上的爬山虎树叶蕴含着一种数学美：黄金分割．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约是_________．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的比例关系，较长线段的平方等于较短线段乘以整条线段． 根据黄金分割比例直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是求解即可． 【详解】解：∵与交于点，， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵蜡烛火焰的高度是， ∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 14. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在和中，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】略 16. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在反比例函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一个不透明的袋子中装有5个小球，分别标有数字，0，2，3，4，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． （1）从袋子中随机取出1个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是_________． （2）从袋子中随机取出1个小球不放回，记小球上的数字为m，摇匀后再从剩下的小球中随机取出1个小球，记小球上的数字为n．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，用列表法或画树状图的方法求得到的点坐标在第四象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，直角坐标系． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率的即可． 【小问1详解】 解：从口袋中随机取出一个小球结果有种，它们是等可能性的，取出的小球上的数字不为0的结果有4种， ∴取出的小球上的数字不为0的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表为： n m 0 2 3 4 0 2 3 4 点坐标在第四象限的概率为：． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． （1）求作将绕点O按顺时针方向旋转得到的． （2）求（1）中线段扫过的面积． 【答案】（1） 解：将绕点O按顺时针方向旋转得到的，如图， （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的作图，勾股定理解三角形，以及扇形面积公式，解决本题的关键是作出图形由扇形面积公式求解． （1）根据图形旋转的性质作图即可； （2）先由勾股定理计算出与的长度，再由扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，，， 线段AB扫过的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算时，可构造如图1所示的图形．在中，，，设，延长至点D，使得，连接，易知，，所以 任务： （1）请根据上面的步骤，完成的计算； （2）请类比这种方法，计算图2中的值． 【答案】（1） 解：， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角． （1）根据 ，再代入数值计算即可； （2）在中，，，延长使，连接，得，设，则，根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长到点D，使， ∵，， ∴． 令，则，， ∴， 则． 在中，， 即． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把代入求出k，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点C的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． 【小问2详解】 解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 六、（本题满分12分） 21. 综合实践． 定义：如图1，是的直径，是的弦，是的切线，则叫作弦切角， （1）【探究】根据上述条件，求证：． （2）【猜想】如图2，在中，试猜想（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由， （3）【应用】试用（2）中的结论解决下列问题：如图3，在中，，是的弦，且，．求的长． 【答案】（1） 证明：是的切线， ， 是的直径， ， ， ； （2） 解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2，过点A作直径，连接， 是的切线， ， 是的直径， ， ， ． ， ； （3）4 【解析】 【分析】（1）首先根据切线的性质可得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，即可证明结论； （2）过点A作直径，连接，证明，，结合，即可证明结论； （3）结合（2）证明，然后根据相似三角形的性质解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， ， ，， ∴，解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角相关知识、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） （1）若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． （2）若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？ （3）求大楼的高． 【答案】（1） 解： 此时飞机在可控范围内，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， 在中， ∵， ∴， . ∵， ∴此时飞机在可控范围内； （2）李亮最多可由点向点的方向移动 （3）大楼的高约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点.利用三角函数解求出，即可做出判断； （2）设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则，用勾股定理解，进而求出即可； （3）过点作于点.利用三角函数解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 设李亮由点移动到点时无人机刚好在可控范围内，则， 在中， ， 在中， ∵， ∴， ∴； 答：若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点的方向移动； 【小问3详解】 解： 如图，过点作于点. ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：大楼的高约为. 八、（本题满分14分） 23. 【温故知新】如图1，中，，，过点A，，，垂足分别为点P，Q，易证：．（不必证明） 【初步感知】（1）如图2，在中，，过点A，，，垂足分别为点P，Q，求证：． 【探究应用】（2）如图3，在中，，，点A为上一动点（点A不与点P，Q重合），，交于点C． ①求证：． ②若，为等腰三角形，的长为多少？ 【答案】 （1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）①证明：， ． ， ． ，， 又， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论． （2）①证明，即可得到结论；②由，，求解，设，则，结合，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）略； （2）①略； ②由①，得． ， 在中，，， ． 设，则， 是等腰三角形，且， 只有两种情形． 第一种：当时， ， ，． 第二种：当时，则． ， ，， C为的中点， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（人教版）九年级卷四 试题卷 注意事项： 1．满分150分，时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．范围：第21~28章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知三边长是2，4，5，与相似的三角形三边长可能是（ ） A. 6，12，15 B. 4，8，5 C. 3，5，6 D. 3，4，5 3. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 2026北京图书订货会于2026年1月10日在中国国际展览中心（朝阳馆）圆满落幕．1月8日至1月10日活动期间，入场观众超过10万人次．假设活动开展期间，进馆人次逐天减少，第一天进馆4万人次，三天累计进馆10万人次，若进馆人次每天减少率相同，求进馆人次的每天减少率．设进馆人次的每天减少率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．以点O为位似中心，在第三象限内将按相似比缩小，得到，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7 8. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则是______三角形． 12. 在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩．某学校墙上的爬山虎树叶蕴含着一种数学美：黄金分割．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约是_________．（结果精确到，参考数据：） 13. 中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 14. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在和中，，，求证：． 16. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 一个不透明的袋子中装有5个小球，分别标有数字，0，2，3，4，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． （1）从袋子中随机取出1个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是_________． （2）从袋子中随机取出1个小球不放回，记小球上的数字为m，摇匀后再从剩下的小球中随机取出1个小球，记小球上的数字为n．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，用列表法或画树状图的方法求得到的点坐标在第四象限的概率． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． （1）求作将绕点O按顺时针方向旋转得到的． （2）求（1）中线段扫过的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算时，可构造如图1所示的图形．在中，，，设，延长至点D，使得，连接，易知，，所以 任务： （1）请根据上面的步骤，完成的计算； （2）请类比这种方法，计算图2中的值． 20. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求k，b，n的值； （2）求的面积． 六、（本题满分12分） 21. 综合实践． 定义：如图1，是的直径，是的弦，是的切线，则叫作弦切角， （1）【探究】根据上述条件，求证：． （2）【猜想】如图2，在中，试猜想（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由， （3）【应用】试用（2）中的结论解决下列问题：如图3，在中，，是的弦，且，．求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图所示的是李亮利用无人机进行测量的示意图，点在同一平面内，当无人机在离地面的高度为时，测得李亮所在位置的俯角为，楼顶的俯角为，点到大楼的水平距离为．（参考数据：，结果精确到） （1）若无人机到李亮的距离在内是遥控器的可控范围，此时飞机是否在可控范围内？请说明理由． （2）若让无人机在可控范围内，李亮最多可由点向点移动多少米？ （3）求大楼的高． 八、（本题满分14分） 23. 【温故知新】如图1，中，，，过点A，，，垂足分别为点P，Q，易证：．（不必证明） 【初步感知】（1）如图2，在中，，过点A，，，垂足分别为点P，Q，求证：． 【探究应用】（2）如图3，在中，，，点A为上一动点（点A不与点P，Q重合），，交于点C． ①求证：． ②若，为等腰三角形，的长为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $