第五章 统计与概率 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件系统梳理了统计与概率的核心知识，涵盖数据收集（简单随机、分层、系统抽样）、整理（图表、数字特征、用样本估计总体）及概率应用（事件关系、古典概型等），通过概念体系图串联各模块，构建“收集-整理-应用”的完整逻辑脉络。 其亮点在于采用“分层探究-规律总结-真题衔接”模式，如以港珠澳大桥旅客抽样、空气质量指数分析等实例设计分层练习，培养数学眼光与数据观念。分层设计满足不同学生需求，帮助教师精准把握学情，提升知识应用与逻辑推理能力。

章末综合提升 　 第五章　统计与概率 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提示能力 2 教考衔接 明确考向 3 单元检测卷 4 内容索引 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提示能力 返回 例1 √ 探究点一　抽样的基本方法 (1)某校在一次期中作业检查中，对高一(6)班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是 A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 B．每个人被抽到的机会不相等 C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的 D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少 由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人，对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的．故选C. √ (2)北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是 A．24是样本容量 B．120名社团成员中男生有50人 C．高二与高三年级的社团成员共有90人 D．高一年级的社团成员中女生最多有30人 对于A，由样本容量定义知：样本容量为24，故A正确；对于B，因为女生共有 ×120＝75人，所以男生有120－75＝45人，故B错误；对于C，因为高一年级的社团成员有 ×120＝30人，所以高二与高三年级的社团成员共有120－30＝90人，故C正确；对于D，由C知：高一年级的社团成员共30人，所以高一年级的社团成员中女生最多有30人，故D正确．故选B. 规律方法 1．随机数法的步骤 第一步，给总体中的每个个体编号； 第二步，在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法； 第三步，依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码直至抽满为止． 2．分层随机抽样中容量的计算 分层随机抽样的特点是“按比例抽样”，　 √ 对点练1．(1)某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为 41　79　27　35　16　86　08　16　21　57　95　62　39　41　59　49　54　27 49　55　12　83　59　83　78　83　51　34　78　70　20　79　93　21　22　41 A．20　　　　　　　 B．21 C．27 D．12 依次从数表中读出的有效编号为：27，16，08，16，21，27，12，去掉重复的，得到选出来的第5位同学的编号为12.故选D. (2)(多选)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界．港珠澳大桥为中国内地前往中国香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄段统计了港珠澳大桥落地以后，由港珠澳大桥实现中国内地前往中国香港的老年、中年、青年旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是 A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到40人 C．n＝200 D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200 √ √ 探究点二　用样本的频率分布估计总体分布 　“腾笼换鸟”的政策促进了某地的产业转型，空气质量也有所改观，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI)资料如图及表格所示： 2022年11月份AQI数据频率分布直方图 2023年11月份AQI数据 例2 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45 (1)请填写如下所示的2023年11月份AQI数据频率分布表，并完成频率分布直方图；  2023年11月份AQI数据频率分布表 2023年11月份AQI数据频率分布直方图 分组 频数 频率 [20，40)     [40，60)     [60，80)     [80，100)     [100，120)     [120，140]     解：频率分布表如下，频率分布直方图如图所示． 2023年11月份AQI数据频率分布表 2023年11月份AQI数据频率分布直方图 分组 频数 频率 [20，40) 2 [40，60) 7 [60，80) 12 [80，100) 5 [100，120) 1 [120，140] 3 (2)该地区环保部门2023年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI＜100时，空气质量为优良).试问图表中的数据信息是否支持该观点？ 所以图表中的数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”． 规律方法 与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略 1．已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1可求出其他数据． 2．已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及相应范围结合求解．　　 对点练2．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布表和频率分布直方图，如图所示： 分组 频数 频率 [10，15) 10 0.25 [15，20) 24 n [20，25) m p [25，30] 2 0.05 合计 M 1.00 (1)求表中M，p及图中a的值； 解：由分组[10，15)的频数是10，频率是0.25，知 ＝0.25， 解得M＝40. 因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40， 得m＝4， 因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商， (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数． 解：因为该校高三学生有240人，分组[10，15)的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数为240×0.25＝60. 探究点三　用样本估计总体的数字特征 　单板滑雪U型池比赛是冬 奥会比赛中的一个项目，进入决 赛阶段的12名运动员按照预赛成 绩由低到高的出场顺序轮流进行 三次滑行，裁判员根据运动员的 腾空高度、完成的动作难度和效 果进行评分，最终取每站三次滑 行成绩的最高分作为该站比赛成 绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表： 例3 分站 运动员甲的三 次滑行成绩 运动员乙的三 次滑行成绩 第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次 第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0 第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60 第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10 第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01 第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70 假如从甲、乙2人中推荐1人参加单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐_____运动员参加，理由是_______________________________ ___________． 乙 甲乙两人水平相当，但乙的发挥比 甲更稳定 甲5站的平均成绩为 乙5站的平均成绩为 规律方法 平均数反映样本数据的总体水平，标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度；标准差(方差)越大，离散程度越大，数据越分散；标准差(方差)越小，离散程度越小，数据越集中．　　 对点练3．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解：两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 探究点四　样本的百分位数 　 村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多．村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展．某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按 分为4组，画出的频率分布直方图如图所示． 例4 (1)求频率分布直方图中m的值； 解：由频率分布直方图可得(m＋0.03＋2m＋0.01)×10＝1，解得m＝0.02. (2)若该球队准备对得分排名前30%的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少． 解：因为(0.02＋0.03＋0.04)×10＝0.9>0.7， (0.02＋0.03)×10＝0.5<0.7， 所以70%分位数位于[75，85)之间，设为x， 则(0.02＋0.03)×10＋(x－75)×0.04＝0.7，解得x＝80， 所以被宣传的比赛得分不低于80. 规律方法 计算一组n个数据的p分位数的一般步骤 第一步：按照从小到大排列原始数据； 第二步：计算i＝np； 第三步：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．　　 对点练4．某校教科室随机地取出了本校高三100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表： 分组 频数 频率 [80，85) 1 0.01 [85，90) 2 0.02 [90，95) 4 0.04 [95，100) 14 0.14 [100，105) 24 0.24 [105，110) 15 0.15 [110，115) 12 0.12 [115，120) 9 0.09 [120，125) 11 0.11 [125，130) 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1 (1)求样本数据的60%，80%分位数； 解：从频率分布表得，前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60， 前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72， 前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81， 前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92. 由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的60%分位数为110，样本数据的80%分位数一定在第八组[115，120)内，由115＋5× ≈119.4，估计样本数据的80%分位数为119.4. (2)估计该校高三学生的数学成绩的90%分位数． 解：由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数一定在第九组[120，125)内，由120＋5× ≈124.1，估计该校高三学生的数学成绩的90%分位数为124.1. 探究点五　互斥事件与对立事件 例5　张老师去参加学术研讨会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； 解：设“乘火车去开会”为事件A，“乘轮船去开会”为事件B，“乘汽车去开会”为事件C，“乘飞机去开会”为事件D，且根据题意得这四个事件是互斥事件． 设“他乘火车或乘飞机去”为事件M，则M＝A∪D， P(M)＝P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)求他不乘飞机去的概率． 解：根据对立事件的概率公式可得： 他不乘飞机去的概率为：P＝1－P(D)＝1－0.4＝0.6. 例5 规律方法 求复杂事件的概率常用的两种方法 1．将所求事件转化成彼此互斥的事件的和． 2．先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P( )求解．　　 对点练5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； 解：记A表示事件“该车主购买甲种保险”；B表示事件“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；C表示事件“该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”；D表示事件“该车主甲、乙两种保险都不购买”． 由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B， 所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解：因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 探究点六　古典概型 甲、乙两台机床同时生产一种螺钉，现随机抽取这两台机床生产的螺钉各100颗进行重量检测(单位：克)，检测结果统计如下： 例6 重量区间 (99.5，99.7) [99.7，99.9) [99.9，100.1) [100.1，100.3) [100.3，100.5] 甲机床 7 12 45 32 4 乙机床 3 18 45 28 6 等次 四等品 三等品 一等品 二等品 四等品 品质 不合格 合格 不合格 (1)试分别估计甲机床、乙机床生产的螺钉不合格的概率； 解：由表可知，甲机床生产的螺钉不合格的概率 乙机床生产的螺钉不合格的概率 (2)从两台机床生产的品质为合格的螺钉中，按等次采用分层抽样的方法抽取6颗螺钉，从这6颗中任意抽取3颗，求这3颗中至少有两颗是一等品的概率． 设为a，b，c，则非一等品有6－3＝3颗，设为d，e，f， 从这6颗中任意抽取3颗，有(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种， 其中至少有两颗是一等品有10种， 规律方法 古典概型概率计算问题的关注点 1．判断：该试验类型是否为古典概型问题． 2．关键：写出样本空间所包含的样本点及所求事件所包含的样本点． 3．注意：(1)弄清“放回”抽取还是“不放回”抽取；(2)灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式．　　 对点练6．将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用x表示第一次抛掷出现的点数，用y表示第二次抛掷出现的点数，用(x，y)表示这个试验的一个样本点． (1)记A＝“两次点数之和大于9”，B＝“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率； 解：(1)由题意知，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点， 其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即事件A包含6个样本点， 所以事件A的概率为 又由事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}， 即事件B中包含11个样本点，所以事件B的概率为 (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 解：设事件C＝“xy为偶数”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}，y∈{2，4，6}}， 事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}}， 因为事件D与事件E互斥，且C＝D∪E， 探究点七　频率与概率 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 例7 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A＝“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值； (2)记事件B＝“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值； (3)求续保人本年度的平均保费估计值． 规律方法 频率与概率问题的关注点 1．依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率． 2．频率的计算公式为频率＝ ，其中m是事件出现的频数，n为重复试验次数．　　 对点练7．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； 解：由频率估计概率可得甲获得优秀奖的概率为0.4，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为0.4. (2)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：丙夺冠概率估计值最大． 探究点八　相互独立事件 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为p，p， 且各种方法能否答对互不影响，小红 使用四种解法全部答对的概率为 . 例8 (1)求p的值； (2)求小红不能正确解答本题的概率； 解：若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会， (3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率． 解：记事件H为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对， 所以小红不能正确解答本题的概率是 所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为 (3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率． 解：记事件H为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对， 所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为 规律方法 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 1．将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和． 2．将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． 3．代入概率的乘法公式和加法公式求解．　　 对点练8．甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 ，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球． (1)求第3回合由乙发球的概率； 解：由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，第2回合乙赢， (2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率． 解：前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3， 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2022·全国甲卷)某社区通过 公益讲座以普及社区居民的垃圾分类 知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座 后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则 A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 真题1 √ 讲座前中位数为 ＝72.5%＞70%，故A错误；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，故B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%＞20%，故D错误．故选B. (2022·天津卷)将1916年到2015年的全球 年平均气温(单位：℃)，共100个数据，分成6 组：[13.55，13.75)，[13.75，13.95)，[13.95， 14.15)，[14.15，14.35)，[14.35，14.55)，[14.55， 14.75]，并整理得到如图所示频率分布直方图， 则全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有 A.22年　　　　　　　 B．23年 C．25年 D．35年 依题意，全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的频率是0.2×0.5＋0.2×0.65＝0.23，故全球年平均气温在区间[14.35，14.75]内的有100×0.23＝23(年).故选B. 真题2 √ (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值， x6是最大值，则 A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5 的标准差不小于 x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 真题3 √ √ 对于选项A，当x2，x3，x4，x5的平均数不等于x1，x6的平均数时，A选项不成立；故A错误； 对于选项B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为 ，故B正确；对于选项C，因为x1是最小值，x6是最大值， 则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如： 1，4，4，4，4，7，则平均数n＝ ×(1＋4×4＋7)＝4，标准差s1＝ ， 4，4，4，4，则平均数m＝4，标准差s2＝0， 显然 >0，即s1>s2，故C错误； 对于选项D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6， 则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．故选BD. (2023·全国甲卷)某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 真题4 √ 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率 故选D. (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有6×5＝30种，则其概率为 ，故选A. 真题5 √ (2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 真题6 √ (2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下： 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，记z1，z2，…，z10的样本平均数为 ，样本方差为s2. 真题7 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 (1)求 ，s2； 解：由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)的值分别为：9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12， (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率是否有显著提高(如果 则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． (2022·新高考Ⅱ卷节选)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 解：平均年龄 ＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). 真题8 返回 单元检测卷 返回 由抽样的特征，抽取样本时要考虑样本具有广泛性与代表性．公园、医院的老年人和10名老年邻居比较特殊，不具有广泛性与代表性，故A、B、C不合理，利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况，样本具有广泛性与代表性，故D合理．故选D. 1．某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是 A．在公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 A．众数　　　　　　　 B．平均数 C．中位数 D．标准差 由众数、平均数、中位数、标准差的定义知，A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2 025次，那么第2 024次出现正面朝上的概率是 抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第2 024次，有两种结果：正面朝上、反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为 .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个 小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图 所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同 学成绩的中位数为73，则x－y的值为 A．3 B．－3 C．2 D．－2 根据茎叶图中的数据，得甲班5名同学成绩的平均数为 ×(72＋77＋80＋x＋86＋90)＝81，解得x＝0；又乙班5名同学的中位数为73，则y＝3，x－y＝0－3＝－3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 将红、黄、白、紫4种颜色的花分别记为1，2，3，4，则所有可能的结果有(12，34)，(13，24)，(14，23)，(23，14)，(24，13)，(34，12)，共6种种法，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是 A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张 C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大 A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9．右图为某商家2023年1月至10月某商品的月 销售量，则下列说法正确的是 A．这10个月的月销售量的极差为15 B．这10个月的月销售量的第65百分位数为33 C．这10个月的月销售量的中位数为30 D．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的极差为15，故A正确；根据百分位数的定义可知，10×65%＝6.5，则这10个月的月销售量的第65百分位数为第七个数33，故B正确；这10个月的月销售量的中位数为 ＝29，故C错误；结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误．故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10．质地均匀的正四面体骰子的四个面分别标有1，2，3，4四个数字，任意抛掷一次这个正四面体骰子，观察它与地面接触的数字，得到以下事件：A＝“出现数字1或者2”，B＝“出现数字1或者3”，C＝“出现数字1或者4”，D＝“出现数字2”，则以下说法正确的是 A．P(A)＝ B．A与B是互斥事件 C．B∪C与D是对立事件 D．B与C是独立事件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 任意抛掷一次这个正四面体骰子，底面出现数字可能为1，2，3，4，4个基本事件．对于A，由古典概型可得P(A) ，故A正确；对于B，当底面出现数字1时，A与B同时发生，可知A与B不是互斥事件，故B错误；对于C，B∪C表示底面出现数字1或3或4的事件，D表示底面出现数字2的事件，在一次抛掷中，不可能同时发生，且必须有一个发生，所以B∪C与D是对立事件，故C正确；对于D，因为P(B) ，P(C) ，P(BC)＝ ，满足P(BC)＝P(B)·P(C)，所以B与C是独立事件，故D正确．故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．甲、乙两人在4次演讲比赛中的成绩如茎叶图所示，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是________． 记被污损的数字为x，若甲的平均成绩超过乙的平均成绩， 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．某中学举行了一次环保知识竞赛，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．已知尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图如下，则 的值为________． 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60) 8 0.16 第2组 [60，70) a ● 第3组 [70，80) 20 0.40 第4组 [80，90) ● 0.08 第5组 [90，100] 2 b 510 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： (1)求表中字母a的值；(3分) 解：由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求至少遇到4个红灯的概率；(4分) 解：设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33. (3)求至多遇到5个红灯的概率．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请填写下表：(5分)   平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲         乙         1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由图可知，甲射靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙射靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 则可求得，甲的成绩的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的成绩的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数为3. 如下表：   平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：(10分) ①从平均数和方差相结合看，谁的成绩更稳定； ②从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好 些； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力． 解：①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定． ②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些． ③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩好些． ④从折线图上看，乙基本上呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)某高校从大二学生中随机抽取200名学生，将其期末考试的《中西法律文化》成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如下频率分布直方图． (1)求成绩在[70，80)内的频率；(3分) 解：由题意，知所求频率为1－0.1－0.15－0.15－0.25－0.05＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)根据频率分布直方图，估计该校大二学生期末考试《中西法律文化》成绩的众数、中位数(结果保留到0.1)；(4分) 解：由频率分布直方图，可知众数约为75. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)用分层抽样的方法在各成绩组的学生中抽取一个容量为40的样本，则各成绩组应抽取的人数分别是多少？(8分) 解：成绩在[40，50)内的应抽取的人数为40×0.01×10＝4； 成绩在[50，60)内的应抽取的人数为40×0.015×10＝6； 成绩在[60，70)内的应抽取的人数为40×0.015×10＝6； 成绩在[70，80)内的应抽取的人数为40×0.03×10＝12； 成绩在[80，90)内的应抽取的人数为40×0.025×10＝10； 成绩在[90，100]内的应抽取的人数为40×0.005×10＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准．在本市居民中随机抽取了200户家庭某年的月均用水量(单位：吨)，通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求a，m的值，并估计全市所有家庭的月均用水量；(4分) 解：由频率分布直方图得(0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16＋a＋a)×0.5＝1， 解得a＝0.09. 由频率分布直方图得，在区间[0.5，3)内的频率为 1－(0.16＋0.09＋0.09)×0.5＝0.83. 因为计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准m，使得86%的居民生活用水不超过这个标准，　 所以m＝3＋ ＝3.187 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)如果我们称m为这组数据中86%分位数，那么这组数据中50%分位数是多少？(5分) 解：在区间[0.5，2)的频率为(0.16＋0.30＋0.40)×0.5＝0.43，在区间[2，2.5)的频率为0.50×0.5＝0.25， 所以这组数据中50%分位数是2＋ ＝2.14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)在用水量位于区间[1，3)的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取15人参加由政府组织的一个听证会(每个家庭有1个代表参会)，在听证会上又在这15个人中任选1人发言，则这个人的家庭月均用水量超过2吨的概率是多少？(8分) 解：在用水量位于区间[1，3)的四类家庭中按照分层抽样的方法抽取15人参加由政府组织的一个听证会(每个家庭有1个代表参会)，家庭月均用水量超过2吨的抽取15× ＝8人， 家庭月均用水量不超过2吨的抽取15－8＝7人． 在听证会上又在这15个人中任选1人发言， 则这个人的家庭月均用水量超过2吨的概率为P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种型号的汽车各50辆，分别统计了每辆车在2023年11月22日至11月28日的出租天数，统计数据如下表： A型汽车 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)试根据上面的统计数据，判断这两种型号的汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的方差的大小关系；(7分) 解： 50辆A型汽车出租天数的平均数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 50辆B型汽车出租天数的平均数为 所以B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的方差较大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由．(10分) 解：方案一：因为A型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8， 所以选择B型汽车的利润较大，故应该购买B型汽车． 方案二：因为A型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.62，B型汽车在2023年11月22日至11月28日出租天数的平均数为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以选择A型汽车． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 统 计 与 概 率 返回 即＝.　 因为老年、中年、青年旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，所以＝，解得n＝200，所以老年旅客抽到200×＝100(人)，中年旅客抽到200×＝40(人)，100＋40＝140＜200.故选BC. 解：支持.2022年11月份的优良率为20×＝. 2023年11月份的优良率为＋＋＋＝. 因为－＝≈23.3%>20%， p＝＝＝0.10. 所以a＝＝0.12. 附：方差s2＝[2＋2＋…＋2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数． 1＝＝88.40， 2＝＝88.40， 甲5站成绩的方差为s＝[(86.20－88.40)2＋(92.80－88.40)2＋(87.50－88.40)2＋(89.50－88.40)2＋(86.00－88.40)2]＝6.396. 乙5站成绩的方差为s＝[(88.40－88.40)2＋(88.60－88.40)2＋(89.10－88.40)2＋(88.20－88.40)2＋(87.70－88.40)2]＝0.212； 因为1＝2，s＞s，所以推荐乙运动员参加，理由是：甲乙两人水平相当，但乙的发挥比甲更稳定． s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. 解：甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， 又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． ，，， P1＝＝0.11， P2＝＝0.09. 解：由题意，抽取的一等品有×(45＋45)＝3颗， 所以3颗中至少有两颗是一等品的概率为＝. P(A)＝＝. P(B)＝. 可得P(D)＝，P(E)＝， 所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝＋＝. 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为1－＝，>，故这种游戏规则不公平． 解：事件A的人数为60＋50＝110，P(A)的估计值为＝. 解：事件B的人数为30＋30＝60，P(B)的估计值为＝. 解：续保人本年度的平均保费估计值为＝(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.192 5a. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩．比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利． ，， 所以p＝. 解：记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件D，E，F，G，则P(D)＝P(E)＝p，P(F)＝，P(G)＝， 因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为， 于是P(DEFG)＝P(D)P(E)P(F)P(G)＝p2＝，解得p＝， ×××＝. 则P＝P＋P＋P(DFG)＋P(EFG) ＝×××＋×××＋×××＋×××＝， . 则P＝P＋P＋P(DFG)＋P(EFG) ＝×××＋×××＋×××＋×××＝， . 所以第3回合由乙发球的概率为×＋×＝. 甲赢的回合数为3的概率为××＝， 甲赢的回合数为2的概率为××＋××＋××＝， 所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为＋＝. A． B． C． D． P＝＝. A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，，共7种，故所求概率P＝＝.故选D. 所以＝i＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. ≥2， 解：由(1)知：＝11，2＝2＝，故有≥2 ， A． B． C． D． A． B． C． D． P＝＝. 6．如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A． B． C． D． 由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为×××＋×××＋×××＝，所以灯泡亮的概率为1－＝，故选D. 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲获胜的概率是＋×＝，乙获胜的概率是×＝.所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张).故选A. 设三门考试课程考试通过的事件为A，B，C，相应的概率为a，b，c，则考试三门课程，至少有两门及格的事件为AB＋AC＋BC＋ABC，其概率为P1＝ab(1－c)＋a(1－b)c＋(1－a)bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc，设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2＝ab＋ac＋bc，又由P1－P2＝ab＋ac＋bc－2abc－＝ab＋ac＋bc－2abc＝(ab＋ac＋bc－3abc)＝[ab(1－c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)]>0， 所以P1>P2，即用方案一通过考试的概率更大．故选A. ＝＝ ＝＝ ＝＝ 11．已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据xi(i＝1，2，…，m)的平均数为，方差为s；第二部分样本数据yi(i＝1，2，…，n)的平均数为，方差为s，设≤，s≤s，则以下命题正确的是 A．设总样本的平均数为，则≤≤ B．设总样本的平均数为，则2≥· C．设总样本的方差为s2，则s≤s2≤s D．若m＝n，＝，则s2＝ 对于A，因为≤，所以＝＋≤＋＝， ＝＋≥＋＝，即≤≤，故A正确；对于B，取第一部分数据为1，1，1，1，1，则＝1，s＝0，取第二部分数据为－3，9，则＝3，s＝36，则2＝2＝<3＝·，故B错误； 对于C，取第一部分数据为－2，－1，0，1，2，则＝0，s＝2，取第二部分数据为1，2，3，4，5，则＝3，s＝2，则＝＋＝×0＋×3＝，s2＝＋＝×＋×＝>2＝s，故C错误；对于D，若m＝n，＝，则＝＝，s2＝＋＝，故D正确．故选AD. 则 解得0≤x<7，且x∈N，所以x可取0，1，2，3，4，5，6，共7种，所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝0.7. ＋ 设抽取的学生总数为N，则N＝＝50，所以第4组的频数为50×0.08＝4，则a＝50－8－20－4－2＝16，b＝＝0.04，故第2组的频率为＝0.32，则x＝＝0.032，y＝＝0.004，故＋＝510. 14．若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M＝的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________． 因为M＝，所以集合M的所有非空子集的个数为29－1＝511.因为若x∈A，且∈A，则A是“伙伴关系集合，所以若－1∈A，则＝－1∈A；若1∈A，则＝1∈A；若2∈A，则∈A，2与成对出现；若3∈A，则∈A，3与成对出现；若4∈A，则∈A，4与成对出现．所以集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有25－1＝31(个).所以在集合M＝的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为. 解：设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件. 则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97. 由(1)，知a＝＝0.03.设中位数为x，则有0.1＋0.15×2＋0.03×(x－70)＝0.5，解得x＝≈73.3，所以中位数约为73.3. A＝×(3×3＋4×30＋5×5＋6×7＋7×5)＝4.62， 所以s＝×[(3－4.62)2×3＋(4－4.62)2×30＋(5－4.62)2×5＋(6－4.62)2×7＋(7－4.62)2×5]＝1.235 6， B＝×(3×10＋4×10＋5×15＋6×10＋7×5)＝4.8， 所以s＝×[(3－4.8)2×10＋(4－4.8)2×10＋(5－4.8)2×15＋(6－4.8)2×10＋(7－4.8)2×5]＝1.56. $