第六章 平面向量初步 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了平面向量的概念、运算、定理、坐标及应用，通过概念梳理构建体系，将有向线段、线性运算、数量积、坐标表示等核心内容串联，帮助学生建立完整的向量知识网络。 其亮点在于采用分层探究提升能力的复习策略，如通过向量线性运算的方程法、坐标运算的代数化转化等例题设计，培养学生的数学思维和推理能力，结合高考真题衔接明确考向，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

章末综合提升 　 第六章 平面向量初步 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提示能力 2 教考衔接 明确考向 3 单元检测卷 4 内容索引 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提示能力 返回 例1 探究点一　向量的线性运算 如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心 的点B的对称点，D是将 分成2∶1的一个内分点， DC和OA交于E，设 ＝a， ＝b. (1)用a和b表示向量 (2)若 ，求实数λ的值． 规律方法 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算．　　 a＋2b＝(1，0)＋2(－1，m)＝(－1，2m)，c＝(2，1)，由(a＋2b)∥c，得－1－4m＝0，解得m＝－ .故选C. √ 对点练1．(1)已知 则实数m＝ A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－ D． √ (2)如图为正六边形ABCDEF，其中点O为正六边形ABCDEF的中心， 探究点二　向量的坐标运算 　已知向量 ＝(4，3)， ＝(－3，－1)，点A(－1，－2). (1)求线段BD的中点M的坐标； 解：设点B的坐标为(x1，y1). 因为 ＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， 所以B(3，1).同理可得D(－4，－3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 例2 (2)若点P(2，y)满足 (λ∈R)，求y与λ的值. 解：由已知得 ＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， ＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 又 ，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)， 规律方法 1．向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一． 2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现． 3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模及平行问题．　　 对点练2．设A，B，C，D为平面内四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1). (1)若 ，求D点坐标； 解：设D(x，y)，又因为A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1)， 所以D(5，－6). (2)设向量 若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：由题意得，a＝(1，－5)，b＝(2，1)， 所以ka－b＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(7，－2)， 因为ka－b与a＋3b平行，所以－2(k－2)－7(－5k－1)＝0，解得k＝－ . 所以实数k的值为－ . 探究点三　平面向量的应用 已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点， BE，CF交于点P.求证：AP＝AB. 证明：如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). 例3 所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2， 规律方法 1．根据向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间的联系，距离问题等，可知用向量方法可以解决平面几何中的相关问题． 2．向量在物理中的应用，主要解决与力、速度等有关的问题．　　 对点练3．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC. 解：因为点P1，P2，P3四等分线段BC， (2)若点Q是线段AP3上一点， 求实数m的值． 解：因为点Q在线段AP3上， 因为BP3＝3P3C， 因此所求实数m的值为 . 返回 教考衔接 明确考向 返回 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA. A．3m－2n　　　　　　 B. －2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 因为点D在边AB上，BD＝2DA， 真题1 √ (2022·全国乙卷) 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b| A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5 真题2 √ (2023·北京卷)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝ A．－2 B．－1 C．0 D．1 向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，所以a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝4－5＝－1.故选B. 真题3 √ 返回 单元检测卷 返回 如图， 1．已知正六边形ABCDEF中， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝ A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9) 由a＝(2，4)，b＝(－1，1)，得：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7).故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－2，m)，且a∥b，则 ＝ 由题意，得2m＝4×(－2)，解得m＝－4， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．一艘船以5 km/h的速度行驶，同时河水的流速为2 km/h，则船的实际航行速度的(单位：km/h)范围是 A．(3，7) B．(3，7] C．[3，7] D．(2，7) 船的实际航行速度v为静水中的行驶速度v静与河水流速v水的合速度，所以||v静|－|v水||≤|v|≤|v静|＋|v水|，即|5－2|≤|v|≤2＋5，3≤|v|≤7. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心， 则点E为BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7．设D为△ABC所在平面内一点， (λ∈R)，则λ＝ A．－3 B．3 C．－2 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知 所以结论中错误的是C.A，B，D均正确． √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．λ＝2μ B．μ＝2λ C．λ2－2μ的最小值为－ D．λ2－2μ的最小值为－4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．如图所示，已知在矩形ABCD中， 则|a＋b＋c|＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．设e1，e2是不共线向量，e1－4e2与ke1＋e2共线，则实数k为________． 因为e1－4e2与ke1＋e2共线，所以e1－4e2＝λ(ke1＋e2)，所以λk＝1，λ＝－4，所以k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． (2，4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)已知a＝(－1，0)，b＝(－2，－1). (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b平行；(5分) 解：ka－b＝k(－1，0)－(－2，－1)＝(2－k，1)， a＋2b＝(－1，0)＋2(－2，－1)＝(－5，－2). 因为ka－b与a＋2b平行，所以－2(2－k)－(－5)×1＝0，解得k＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若 ＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．(8分) 解：因为A，B，C三点共线， 所以 ＝ λ(λ∈R)，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 又因为a与b不共线，a与b可作为平面内所有向量的一组基底， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R． (1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(5分) 解：因为a＝(－3，2)，b＝(2，1)， 所以a＋tb＝(－3，2)＋t(2，1)＝(－3＋2t，2＋t)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若a－tb与c共线，求实数t.(10分) 解：因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)， 又a－tb与c共线，c＝(3，－1)， 所以(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0， 解得t＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：一方面，由(1)，得 另一方面，因为G是△OAB的重心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ＝2e1＋e2， ＝－e1＋λe2， ＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值．(4分) 因为A，E，C三点共线， 所以存在实数k，使得 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求 的坐标．(5分) ＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．(8分) 解：因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以 ＝ . 设A(x，y)，则 ＝(3－x，5－y)， 因为 ＝(－7，－2)， 即点A的坐标为(10，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 解：由题意知，A是BC的中点，所以2＝＋，即＝2－＝2a－b. ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. ，； 即(λ－2)a＋b＝k，则解得λ＝. ＝λ 解：由＝λ，得＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. 因为与共线，所以存在实数k，使＝k， a＝，b＝，c＝，若∥c， 设＝a，＝b，若＝，＝3，则＝ A．a＋b B．－a＋b C．－a＋b D．a＋b 如图，由正六边形的性质可知＝＝，＝＝，因为＝，＝3，所以＝，＝＋＝＋＝＋＝＋， 所以＝－＝＋－＝＋－＝－＋－＝－＝－a＋b.故选B. 所以所以 则x2＝＝－，y2＝＝－1，所以M. ＝λ 则所以 ＝λ ＝ 所以＝(1，－5)，＝(x－4，y＋1)， 因为＝，所以得 a＝，b＝， 同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2， 设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)， 因为∥， 解得x＝，所以y＝，即P. 所以2＝＋＝4＝2， 所以||＝||，即AP＝AB. (1)求·＋·的值； 所以＝＋，＝＋＝＋＋＝＋， ·＋·＝·＋· ＝2＋2＋·＝×4＋×4＋×2×2cos 60°＝. 所以解得 且＝＋m， 所以＝λ＝＋mλ， 所以＝＋＝＋＋＝＋， 记＝m，＝n，则＝ 所以＝2，即－＝2， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 因为a－b＝－＝，所以＝＝5.故选D. ＝，所以＋＋＝＋＋＝.故选B. ＋＋等于 A．0　　　 B．　　　 C．　　　 D． A．4 B．3 C．2 D． 所以b＝(－2，－4), ＝＝＝.故选D. 4．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为 A．＝－＋ B．＝－＋AC C．＝－ D．＝＋ 由题意可得，＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝－.故选A. 6．如图，O是△ABC的重心，＝a，＝b，D是边BC上一点，且＝3，则 A．＝－a＋b B．＝a－b C．＝－a－b D．＝a＋b 又＝a，＝b，故＝－a＋b，故选A. 且＝2，＝(＋)，由＝3，得：D是BC的四等分点， 则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋， ＝－＋，若＝λ 若＝λ(λ∈R)，则－＝λ－λ，即＝＋.又＝－＋，所以解得λ＝－3.故选A. 8．已知点O是△ABC内一点，并且满足＋2＋3＝0，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝ A． B． C． D． 因为＋2＋3＝0，所以＋＝－2(＋).分别取AC，BC的中点D，E，连接OD，OE，BD，如图所示，则＋＝2，＋＝2，所以＝－2，即O，D，E三点共线，且||＝2||，所以S1＝S△DBC.由于D为AC的中点，所以S△DBC＝S2，所以S1＝S2，即＝.故选A. A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝0 －＝， 10.如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则下列结论中正确的是 在△ABC中，由＝得－＝(－)，即＝＋.因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设＝x(0<x<1).所以＝＋，又由＝λ＋μ可得λ＝，μ＝，故＝2，即λ＝2μ.代入λ＝，μ＝可得λ2－2μ＝－2×＝－(0<x<1)，根据二次函数性质知当x＝－＝时，(λ2－2μ)min＝×－×＝－.故选AC. A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2， 由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD. ||＝4，设＝a，＝b，＝c， 8 a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.因为＝＝，所以CE綉AD，所以四边形ACED是平 行四边形，所以＝，所以＋＝＋＝， 所以|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8. － 在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得 所以 解得m＝. 所以＝＝＝≥＝. 当且仅当t＝时取等号，即的最小值为，此时t＝. (1)设＝λ，将用λ，，表示；(5分) 解：＝＋＝＋λ＝＋λ(－) ＝(1－λ)＋λ. 而，不共线， 所以由①②，得解得所以＋＝3. (2)设＝x，＝y，求＋的值．(10分) ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 所以＝＝×(＋)＝＋.② 解：＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. ＝k， 解得k＝－，λ＝－. 解：＝＋＝－3e1－e2 所以解得 19．(17分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M.设＝a，＝b. (1)试用向量a，b表示；(7分) 解：不妨设＝ma＋nb，一方面，由于A，D，M三点共线，则存在α(α≠－1)使得＝α，于是＝，又＝，所以＝＝a＋b， 则即m＋2n＝1　①； 另一方面，由于B，C，M三点共线，则存在β(β≠－1)使得＝β，于是＝，又＝，所以＝＝a＋b，则即4m＋n＝1　②. 由①②可得m＝，n＝，所以＝a＋b. (2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设＝λ，＝μ，求证＋＝7.(10分) 解：证明：由于E，M，F三点共线，所以存在实数η(η≠－1)使得＝η，于是＝，又＝λ，＝μ，所以＝＝a＋b，于是a＋b＝a＋b，从而消去η即得＋＝7. $