6.2.2-6.2.3 直线上向量的坐标及其运算 平面向量的坐标及其运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量基本定理与坐标运算，涵盖直线、平面向量的坐标表示及运算，通过问题导思（如数轴点坐标求向量坐标）衔接知识，从直线到平面逐步递进，搭建学习支架。 其亮点在于题型分类（直线向量运算、平面向量表示等四类）与规律方法总结，结合数学抽象（正交分解）和数学运算（坐标运算、共线条件应用），实例丰富（如用单位基底表示向量），助力学生系统掌握，教师教学更高效。

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算　 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 　 第六章　6.2　向量基本定理与向量的坐标 知识层面 1．了解直线上向量的坐标的概念，能够表示直线上向量的坐标．　 2．理解直线上向量的运算与坐标的关系，并能进行正确的运算．　 3．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．　 4．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题． 素养层面 借助直线上向量的坐标表示和向量的正交分解，培养数学抽象素养；通过直线上向量的运算与坐标的关系及坐标运算，提升数学运算素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．我们已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2). (1) 对应的向量坐标是多少？ 提示： 3 (2) 对应的向量坐标是多少？ 提示：－3 问题导思 问题2．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示： a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题3．如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求 的坐标？ 知识点一　直线上向量的坐标及其运算 1．直线上向量的坐标 给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的 ． 在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标． 新知构建 坐标 2．直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2. (1)a＝b的充要条件是x1＝x2. (2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1. (3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝|x2－x1|，x＝ . 知识点二　平面向量的坐标及其运算 1．平面向量的坐标 (1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)向量的 ：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的 ，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为 ，记作a＝(x，y). 正交分解 单位向量e1，e2 向量a的坐标 微提醒 向量的坐标表示的意义 通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决． 2．平面上向量的运算与坐标的关系 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝ ． (2)a－b＝ ． (3)λa＝ ． (4)向量相等的充要条件：a＝b⇔ ． (5)模长公式：|a|＝_________． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) x1＝x2且y1＝y2 3．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (2)它们之间的距离：AB＝| |＝____________________． (3)设AB的中点M(x，y)，则x＝_________，y＝_________． (x2－x1，y2－y1) 微提醒 (1)区别 的坐标与a－b的坐标： 的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减． (2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同． 4．向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ ＝ ． x2y1 x1y2 1．若数轴上A，B两点的坐标分别为2，5，则 的坐标为 A．7 B．3 C．10 D．－3 自主检测 由数轴上向量的坐标公式得 ＝5－2＝3. √ A．(4，6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2，2) √ 因为a＝e1＋ e2，所以2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2.所以2a＋b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4).故选A. 3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为 A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) √ 因为a＝(2，1)，b＝(x，－2)，且a∥b，所以2×(－2)＝1×x，即x＝－4. 4．已知a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则x＝________． －4 5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝__． 因为向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，所以2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)， 返回 合作探究 返回 题型一　直线上向量的坐标及其运算 已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3. [思路点拨]　由数轴上A，B，C三点坐标可求 坐标，进而可求它们的模以及D、E点． 例1 解：因为A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3， (2)若 ＝4，求点D的坐标； 解：设点D的坐标为x，则 ＝x－(－3)＝x＋3＝4，解得x＝1，即点D的坐标为1. (3)若| |＝2，求点E的坐标． 解：设点E的坐标为y，则| |＝|y－7|＝2，解得y＝5或y＝9，即点E的坐标为5或9. 规律方法 1．求直线上向量的坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量表示出来． (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． 2．直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错．　　 对点练1．(1)若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且 的坐标是－8，则x＝________． (2)若数轴上A，B两点的坐标分别为－5，7，则 的坐标是_______，| |＝________． －10 由题意得， 的坐标为x＋2＝－8，解得x＝－10， －12 12 因为数轴上A，B两点的坐标分别为－5，7，所以 ＝－5－7＝－12， 题型二　平面向量的坐标表示 　 如图所示，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a， b，c，d，并求出它们的坐标． [思路点拨]　在平面直角坐标系中求向量的坐标，一般 运用数与形结合的方法求解．已知i＝(1，0)，j＝(0，1)， 若向量可以表示成xi＋yj的形式，则此向量的坐标就是(x，y). 解：由图可知a＝ 1＋ 2＝2i＋3j，所以a＝(2，3). 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2，3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)， d＝2i－3j＝(2，－3). 例2 规律方法 求平面向量坐标的一般方法 1．数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量． 2．平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标．　　 √ 对点练2．设点A(1，2)，B(3，5)，将向量 按向量a＝(－1，－1)平移后得到的 的坐标为 A．(1，2)　　　　　　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，7) 题型三　平面向量的坐标运算 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4). (1)求3a＋b； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n. [思路点拨]　本题考查向量的坐标运算及向量的相等，需先求出向量a，b，c，再进行运算． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8). (1)3a＋b＝3(5，－5)＋(－6，－3)＝(15－6，－15－3)＝(9，－18). (2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a， 例3 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1．若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． 2．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 3．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．　　 (－6，21) 题型四　向量共线的坐标表示 角度1　证明共线 　已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)， [思路点拨]　先用坐标表示 再利用向量共线的条件证明． 例4 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 角度2　求参数 设向量 其中k∈R.若A，B，C三点共线，则k＝________． [思路点拨]　先由条件求 再由A，B，C三点共线建立等式，即可求k. 例5 －2或11 故当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 方法二　由题意知 共线． 所以(4－k)×(k－12)－(10－k)×(－7)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.故当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 规律方法 1．利用向量的坐标运算求出需要判断的平面向量的坐标，并依据下面的结论来判断向量平行： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则a∥b.　　 2．由向量共线求参数的问题中，参数一般设置在两个位置：一是向量的坐标本身含有；二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示，解题时应根据题目特点 选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程(组)求解．　　 对点练4．(1)已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，2)，若(a－b)∥(2a＋tb)，则t＝ A．0 B． C．－2 D．－3 (2)已知平面向量a＝(1， )，b＝(3，λ)，若a∥(a－b)，则实数λ的值为________． 由题意知a－b＝(1，1)－(－1，2)＝(2，－1)，2a＋tb＝2(1，1)＋t(－1，2)＝(2－t，2＋2t).因为(a－b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)－(－1)×(2－t)＝4＋4t＋2－t＝0，解得t＝－2. √ 返回 随堂演练 返回 1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则 与AB分别是 A．－3，3　　　　　　　　 B．3，3 C．3，－3 D．－6，6 √ 2．已知a＝(1，－1)，b＝(3，0)，则3a－2b等于 A．(5，3) B．(4，－1) C．(－2，－1) D．(－3，－3) 3a－2b＝3(1，－1)－2(3，0)＝(3，－3)－(6，0)＝(－3，－3). √ 由题意，a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，由a∥b，可得2m－(3m－1)＝0，解得m＝1.故选A. √ 4．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量 同方向的单位向量为_______. 返回 课时测评 返回 由题意，向量 的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即－a－3＝4，解得a＝－7.故选B. 1．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－a)，且 的坐标为4，则a＝ A．－1 B．－7 C．4 D．－4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么 可以表示为 A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若 是相反向量，则D点坐标是 A．(1，0) B．(－1，0) C．(1，－1) D．(－1，1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，2)，则 ＝ A．4 B．5 C．6 D．7 向量a＝(1，2)，b＝(2，2)，可得a＋b＝(3，4)， 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3，5) D．(2，4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知点A(5，8)，在x轴正半轴上的点P与点A之间的距离等于10，则点P的坐标为________． 设点P(x，0)(x>0)， 解得x＝11.所以点P的坐标为(11，0). (11，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知点A(1，1)，B(－1，5)， 则点C的坐标为________． (0，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在直角坐标系中，O为坐标原点 (a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(4分) 解：在直角坐标系中，O为坐标原点， 所以－(b－1)－(－2)×(a－3)＝0， 所以b＝2a－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若 ，求点C的坐标．(6分) 所以(a－3，b－1)＝－3(－1，－2)＝(3，6)， 所以点C的坐标为(6，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)在平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；(4分) 解：由已知条件以及a＝mb＋nc，可得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ ，求向量d的坐标．(6分) 解：设向量d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4). 因为(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝ ， 所以向量d的坐标为(3，－1)或(5，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a∥b，所以有y＝－4，所以3a＋b＝(1，2)， 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos2α＋2sinα≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)(新定义)已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得 ．此结论往往称为向量的爪子模型． (1)给出这个结论的证明；(5分) 综上知，结论成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解：利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数λ，μ使得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 提示： ＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). (1)向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝ ． 2．若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝ 因为＝(1，2)，＝(3，4)，所以＝＋＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6). 故选A. 所以＝，解得λ＝. (1)求，，的坐标和长度； (2)若＝4，求点D的坐标； (3)若||＝2，求点E的坐标． ，，，， ＝7－(－3)＝10，||＝10. (1)求，，的坐标和长度； 所以＝1－7＝－6，||＝|－6|＝6； ＝－3－1＝－4，||＝|－4|＝4； 所以＝＝12. 因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).由题意知与方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是＝＝(2，3).故选B. 设＝a，＝b，＝c. 所以解得 对点练3．(1)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝____________． －＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7).因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21). (2)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，m)，若a∥b，则＝_______． 2 因为a∥b，所以2m－3＝0，解得m＝，则b＝，所以a＋2b＝(－4，2)，所以＝＝2. 证明：由题意知＝(4，－1)，＝(2，2)，＝(－2，3)， 所以＝＝，＝＝. 则＝(x1，y1)－(－1，0)＝， 且＝，＝， 求证：∥. ，， 又＝(4，－1)，4×－(－1)×＝0， 所以∥. ＝(x2，y2)－(3，－1)＝， 所以(x1，y1)＝，(x2，y2)＝， 所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝. 即解得k＝－2或k＝11. ＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)， ，， 解：方法一　因为A，B，C三点共线，即，共线，所以存在实数λ，使得＝λ.因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， ， 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)， a－b＝(－2，－λ)，因为a∥(a－b)，所以－λ＝－2，解得λ＝3. 3 ＝－1－(－4)＝3，AB＝||＝3. 3．已知a＝，b＝，若a∥b，则m＝ A．1 B．－1 C． D．－ ＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝. 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i －j.故选C. 和 设D(x，y)，则＝(x－2，y).又＝(1，1)，则所以故选C. 则＝＝5. 5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝ 因为＝＋，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝(－3，－5).故选B. 则||＝＝10， 7．已知向量a＝(1，)，b＝(2，0)，则＝________． 2 因为a－2b＝(－3，)，所以＝＝2. 若＝， 点A(1，1)，B(－1，5)，＝(－2，4)，设C(a，b)，＝(a－1，b－1)，因为＝，所以(a－1，b－1)＝(－2，4)，所以a－1＝－1，b－1＝2，解得a＝0，b＝3.点C的坐标为(0，3). ＝－＝(a－3，b－1). 因为A，B，C三点共线，所以∥， ＝(3，1)，＝(2，－1)，＝ ＝(3，1)，＝(2，－1)，＝(a，b). 所以由题意知，＝－＝(－1，－2)， ＝－3 解：因为＝－3， 所以解得 所以解得m＝，n＝. 解得或 所以 11．(5分)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则等于 A． B． C． D． ＝＝. 12．(5分)已知P1(2，－1)，P2(0，5)且点P在P1P2的延长线上，＝2，则P点坐标为 A．(－2，11) B． C． D．(2，7) P1(2，－1)、P2(0，5)，且点P在P1P2的延长线上， ＝2， 所以＝－2设P(x，y)，则 (x－2，y＋1)＝－2(－x，5－y), 即 解得所以P点坐标为(－2，11).故选A. 13．(10分)设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围. 解：由a＝2b，知 所以 所以≤m≤2， 因为＝＝2－，所以－6≤2－≤1， 所以的取值范围为[－6，1]. 设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解得λ＝，所以＝＝，所以P点的坐标为. 即＝λ，所以∥，又与有公共点N，故M，P，N三点共线． 再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ， 即－＝λ(－)，＝λ(－)＋，故＝λ＋(1－λ). ＝λ＋(1－λ)” 解：证明：先证充分性．若＝λ＋(1－λ)， 则＝λ(－)＋，－＝λ(－)， 故＝a＋b. (2)在△OAB的边OA，OB上分别取点E，F，使＝，＝，连接BE，AF交于点G.设＝a，＝b.利用上述结论，求出用a，b表示向量的表达式．(10分) ＝λa＋(1－λ)＝μ＋(1－μ)b， 则解得 $