6.3 平面向量线性运算的应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量线性运算的应用，涵盖几何证明、求值及物理问题解决，通过“问题思考”中力的分解实例导入，衔接向量运算知识，搭建从运算到应用的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合题型分类教学，如几何证明用基向量法或坐标法，物理应用转化力与速度问题，培养数学建模与运算素养。提供规律方法总结和分层练习，助力学生提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

6.3　平面向量线性运算的应用 　 第六章　平面向量初步 知识层面 1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．　 2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题． 素养层面 通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模素养；通过向量在物理中的应用，培养数学建模素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45°的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行． 问题　(1)水平方向OA上的拉力多大？ 提示：200×cos 45°＝100 (N)，方向向右． (2)物重G是多少？ 提示： 200×sin 45°＝100 (N). 问题导思 知识点一　用向量运算解决平面几何问题的“三步法” 1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． 2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点二　平面向量在物理中的应用 1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． 2．向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． 3．动量mv是向量的数乘运算． 新知构建 微提醒 (1)力、速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加法、减法运算．因此，用向量解决力、速度、位移等问题，常用到向量的加法、减法、数乘运算． (2)动量mv(m是物体的质量，v是物体运动的速度)实际上是向量的数乘运算． 1．已知a，b是不共线的非零向量， 则四边形ABCD是 A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 自主检测 √ 当F1，F2共线且同向时合力最大，共线且反向时合力最小，最大值为9 N，最小值为1 N，故D不可能. 2．(多选)作用在同一物体上的两个力|F1|＝5 N，|F2|＝4 N，它们的合力可能是 A．2 N　　　　　　　　　　 B．5 N C．9 N D．10 N √ √ √ 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则 ＝ √ 建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知f1＋f2＋f3＋f4＝0，所以f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3，2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1，2).故选D. 4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于 A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1，2) D．(1，2) √ 设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为 v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则及直角三角 形的知识可知，|v2|＝|v0|cos 60°＝10× ＝5(m/s)，即该 物体在水平方向上的速度是5 m/s. 5．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是_______m/s. 5 返回 合作探究 返回 题型一　平面向量在几何证明中的应用 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于 点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. [思路点拨]　要证明HG∥EF，只需证明 (λ≠0)，即可． 证明：因为DG⊥BE，AE⊥BE，所以GD∥AE. 例1 规律方法 利用向量证明问题 1．常见的利用向量证明的问题 (1)利用共线向量定理证明线段平行或点共线． (2)利用向量的模证明线段相等． 2．常用的两个方法 (1)基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明． (2)坐标法：先建立直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明．　　 对点练1．用向量法证明：矩形的对角线相等． 证明：已知在矩形ABCD中， 所以AC＝BD. 题型二　平面向量在几何求值中的应用 如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上， 且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.　 [思路点拨]　选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或线段比例)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． 例2 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 规律方法 1．向量相等的应用：由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解． 2．利用平面向量的线性运算及共线向量基本定理，可以解决平面几何的求值问题，当然也可以利用证明三角形全等或相似来解决．　　 解：由A，D，R三点共线， 题型三　向量在物理中的应用 在风速为 的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． [思路点拨]　把实际问题中的问题转化为向量，利用向量的知识求解． 解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无 风时飞机的航行速度，则vb＝va－ω.显然有vb，va，ω 构成三角形．如图所示， 作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD ＝45°. 例3 ∠CAD＝30°. 即没有风时飞机的航速为 km/h，方向为西偏北30°. 规律方法 用向量解决物理问题的步骤 第一步：抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； 第二步：建立以向量为主体的数学模型； 第三步：利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； 第四步：用数学模型中的数据解释或分析物理问题．　　 对点练3．某人骑车以速度a向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向． 解：设实际风速为v，由题意可知，此人以速度a向正东方向行驶时，感到的风速为v－a，当速度为2a时感到的风速为v－2a. 由题意知∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO， 返回 随堂演练 返回 1．已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为 A．(9，1)　　　　　　　　 B．(1，9) C．(9，0) D．(0，9) F＝F1＋F2＋F3＝(8，0)，又因为起点坐标为A(1，1)，所以终点坐标为(9，1). √ 2．在△ABC中， 则点G是△ABC的 A．内心　　　 B．外心 C．垂心　　　 D．重心 √ 设C(x，y)，则(x－7，y－1)＝2(1－x，4－y) √ 4．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足 则t＝___. 1 返回 课时测评 返回 所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD一定为平行四边形．故选C. 1．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且 则四边形ABCD一定为 A．正方形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需要增加力F3，则力F3的大小为 A．(3，4) B．(－3，－4) C．5 D．25 由题意可知F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)＝－[(1，1)＋(2，3)]＝(－3，－4)，则力F3的大小为 ＝5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且 ，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 A．3 B．4 C．5 D．6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．河水的流速大小为2 m/s，一艘小船若垂直于河岸方向驶向对岸，且速度大小为10 m/s，则小船的静水速度大小为 建立直角坐标系，如图，设表示河水流速的向量为(2， 0)，表示小船实际速度的向量(0，10)，表示小船本身 速度的向量为(x，y)，则(2，0)＋(x，y)＝(0，10)，解 得x＝－2，y＝10，则小船速度的大小(即速度向量的模) 为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(原创)设O是△ABC内部一点，且 则△AOB与△AOC的面积之比为________． 设D为AC的中点，如图所示，连接OD， 即O为线段BD的中点，即△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. 1∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________h. 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图所示． 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. (10分)如图，在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线． 所以M，N，C三点共线． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)、B(0，1)、D(3，1). (1)求以线段AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC的长；(4分) 解：因为A(1，0)、B(0，1)、D(3，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若四边形ABCD为梯形，且AB∥CD，对角线AC与BD互相垂直，求点C的坐标．(6分) 所以点C的坐标为(1，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. (5分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3 km/h.则船实际航行的速度大小为 A．2 km/h B． km/h C．4 km/h D．8 km/h √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．若g取9.8 N/kg，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 A．2.25 N B．2.45 N C．2.5 N D．2.75 N 由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，设每根绳子的拉力为T，则8T cos 60°＝1×9.8，解得T＝2.45 N．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点． 求证：AR＝RT＝TC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有 所以AR＝RT＝TC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(5分)如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点．若 λ2∈R，则λ1＋λ2的值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(15分)如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于F.求证：AF＝AE. 证明：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1，1)，B(0，1). 所以x×(－1)－1×(y－1)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以AF＝AE. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 ＝a＋2b，＝3a－b，＝2a－3b， 因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(3a－b)＋(2a－3b)＝2(3a－b)＝2，所以AD∥BC且≠，因此四边形ABCD是梯形．故选A. A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点， G为EF中点，设B(2，0)，则D(0，1)，E(2，)，F(1，1)， 所以G，所以＝，＝(2，0)，＝(0，1)，设＝x＋y，则＝(2x，y)，即解得x＝，y＝，所以＝＋.故选C. 因为＝－＝λ(－)＝λ， 所以∥，即∥. ＝λ 设＝λ(λ≠0)， 则＝λ.同理＝λ. ＝＋－2·， 所以＝，即＝， 因为＝＋，＝－， 且⊥，即·＝0， 所以＝＋＋2·， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， 解：设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. 得解得 所以＝，＝.故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而 ＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 所以所以 对点练2．在△ABC中 ，点D和E分别在BC，AC上，且＝，＝，AD与BE交于R，＝m，求m. 可得＝λ＋(1－λ)＝λ＋(1－λ). 由B，E，R三点共线，可得＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)， 所以m＝. 所以＝＋， 所以＝－＝－， ＝－＝－＝－＝＝， 75(－)km/h 设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|， 从而||＝＝150， 150 由题意知||＝150， ||＝75(－)， 所以||＝||＝||＝75，||＝75. 如图，设＝－a，＝－2a，＝v， 因为＋＝，所以＝v－a，这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速， 因为＋＝，所以＝v－2a，这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速， 所以△POB为等腰直角三角形，所以∠APO＝45°，||＝||＝|a|，即|v|＝|a|. 故实际风速的大小是|a|，为西北风． 若(＋＋)＝， 因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为△ABC的重心．故选D. 3．已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则a等于 A．2 B．1 C． D． ⇔⇔⇔ 所以3＝a×3⇒a＝2.故选A. ＝2t＋t(t∈R)， ＝2t(－)＋t，(2t＋1)＝2t＋t，所以＝＋. 因为A，B，P三点共线，所以＋＝1，所以t＝1. ＝，＝， 因为＝＋，＝＋，且＝，＝，所以＝， ＋＋2＝0 因为D为AB的中点，所以＋＝2，因为＋＋2＝0，所以＝－，所以O是CD的中点，所以S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC，所以＝4.故选B. 4．速度＝10 m/s，＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是 A．2 m/s B．10 m/s C．12 m/s D．2 m/s 根据题意得，＝＝＝＝2 m/s.故选D. A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s ＝2(m/s). 又＋＝－2，所以＝－， ＋＝－2， 则＋＝2. 7．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t＝________． 因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示． 因为A，M，Q三点共线，所以设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，而＝－，所以＝＋.又＝－＝－，由已知＝t可得，＋＝t，所以解得t＝. ＝20 km/h，＝12 km/h.根据勾股定理＝16 km/h，t＝＝0.5(h)，所以所需时间为0.5. 所以∥， 又，有公共点M， 证明：设＝a，＝b， 所以＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝＋，＝a＋b＝3， 所以＝(－1，1)，＝(2，1)， 所以＝＋＝(1，2)，所以＝， 即对角线AC的长为. 解：设C＝(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(x－3，y－1)，由题设知＝(3，0)， 因为∥，⊥， 所以所以 如图，表示船速，表示水流速度，则表示船实际航行的速度，又AC⊥AB，＝5，＝3，所以＝ ＝4，即船实际航行的速度大小为4 km/h.故选C. 与共线，所以可设＝m＝m. 因为＝＋，所以r＝b＋m， 证明：设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b. 由于与共线，所以可设r＝n(a＋b). 因为＝－＝a－b， 所以＝. 同理＝. 所以n(a＋b)＝b＋m， 即(n－m)a＋b＝0. 解得 ＝λ1＋λ2， 根据题意得，＝＝(－)＝－，＝＋＝＋，＝＋＝－，所以＝λ1＋λ2＝λ1＋λ2(－)＝＋，所以λ1－λ2＝－，λ1＋λ2＝，解得λ1＝－，λ2＝.所以λ1＋λ2＝. 若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1). 又因为∥， 即E. 所以x＋y－1＝0.又因为||＝||， 所以x2＋y2－2＝0.由 得或(舍). 又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得，x′－＝0，得x′＝－2－，所以F(－2－，1)， 所以＝(－1－，0)，＝， 所以||＝＝1＋＝||， $