6.3 平面向量线性运算的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

6．3　平面向量线性运算的应用 第六章　平面向量与初步 [学习目标]　1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．　2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．　3.培养运用向量知识解决几何问题、物理问题的能力． 知识点1　用向量基底解决平面几何问题 内容索引 知识点2　用向量坐标解决平面几何问题 课时作业 巩固提升 知识点3　向量在物理中的应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　用向量基底解决 平面几何问题 设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用平面向量证明：PQ∥AB. 例1 利用向量线性运算解决几何问题的思路 1．把几何元素化为向量． 2．进行向量的线性运算． 3．把结果“翻译”成几何问题． 思维提升 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，连接BE，BF，分别交AC于R，T两点． 求证：AR＝RT＝TC. 跟踪训练 知识点2　用向量坐标解决平面 几何问题 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明：PA＝EF. 例2 [证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)， 平面向量在坐标表示下的应用 利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系． 思维提升 2.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； 跟踪训练 (2)D，M，B三点共线． 知识点3　向量在物理中的应用 我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成． (1)力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则． (2)力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则． (3)动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律． 一条河的两岸平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|＝10 km/h，水流速度为|v2|＝4 km/h. (1)试求v1与v2的夹角的正弦值及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min). 例3 (2)要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？ 将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究，应用向量知识解释相关物理现象． 思维提升 3.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N. 跟踪训练 10 〈课堂达标·素养提升〉 A C 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1．已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　) A．(9，1)　　　　　　　　 B．(1，9) C．(9，0) D．(0，9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 等腰梯形 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 －5 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 14．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM? 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [证明]　设＝λ(λ＞0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－ ＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)] ＝＋(－) ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 所以PQ∥AB. 证明：设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b. 由于与共线，所以可设r＝n(a＋b). 因为＝－＝a－b， 与共线，所以可设＝m＝m. 因为＝＋，所以r＝b＋m， 所以n(a＋b)＝b＋m， 即(n－m)a＋b＝0. 由于向量a，b不共线，要使上式成立，则有 解得 所以＝.同理＝.所以AR＝RT＝TC. 设||＝λ(λ＞0)， 则F，P，E. 所以＝，＝， 因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2， ||2＝＋＝λ2－aλ＋a2， 所以||＝||，即PA＝EF. 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令||＝1，则||＝1，||＝2. ∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形． ∴可求得各点坐标分别为E(0，0)， B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1). (1)∵＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， ∴＝，∴∥，即DE∥BC. 证明：(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M， ∴＝(－1，1)－＝，＝(1，0)－＝， ∴＝－，∴∥. 又∵与有公共点M，∴D，M，B三点共线． [解]　(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|v|＝＝≈9.2(km/h)， v1与v的夹角α满足sin α＝0.4，故v1与v2的夹角的正弦值为0.4，船垂直到达对岸所用的时间t＝＝≈0.054 3(h)≈3.3(min). [解]　(2)设v1与v2的夹角为θ(如图)，v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d＝0.5 km，从而所用的时间t＝，显然，当θ＝90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，所以要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角为90°. 如图，由题意，＝＋，并且∠ABC＝120°，则以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD，∴||＝||＝||＝10 N， ∴每根绳子的拉力大小为10 N. 1．已知四边形ABCD各顶点坐标是A，B，C，D，则四边形ABCD是(　　) A．梯形　　　　　　　　 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 ∵＝，＝(3，4)，∴＝， ∴∥，即AB∥DC. 又||＝ ＝，||＝＝5， ∴||≠||，∴四边形ABCD是梯形． 2．若向量＝(1，1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　) A．(5，0) B．(－5，0) C． D．－ 因为＝(1，1)，＝(－3，－2)，所以|F1＋F2|＝ ＝. 3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于___________(用a，b表示). a＋b 由题知＝＝，则DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b. F＝F1＋F2＋F3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力F的终点为P(x，y)，则＝＋F＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1). 2．在△ABC中，若(＋＋)＝，则点G是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 因为(＋＋)＝，所以－＋－＋－＝3，化简得＋＋＝0，故点G为△ABC的重心． 3．炮弹的初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为(　　) A．y＝|v0|t B．y＝|v0|sin θ·t－|g|t2 C．y＝|v0|sin θ·t D．y＝|v0|cos θ·t 炮弹上升的速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度与时间t的关系是y＝|v0|sin θ·t－|g|t2. 4．(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．|a|＝1 C．a∥b D．|b|＝2 如图，由题意得，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误，D正确；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为a＝，b＝，故a，b不平行，故C错误． 5．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为 ___________． 由＝3e，＝5e，得∥，≠， 又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC. 又||＝||，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形． 6．已知A(3，4)，B(－5，5)，且a＝(x－3，x2＋4x－4).若a＝，则x＝________． ＝(－5，5)－(3，4)＝(－8，1)，又a＝， ∴(x－3，x2＋4x－4)＝(－8，1)， ∴ 解得x＝－5. 证明：如图所示，连接AC， 因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC且EF＝AC，即＝， 同理可得＝，所以＝， 又因为EF，HG不在一条直线上， 所以四边形EFGH是平行四边形． 则A(0，0)，B(－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－500，500)， C(－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 000，－1 000)， ∴＝(－500，－1 500)， ∴||＝ ＝1 000(km). ∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 km，方向是南偏西30°. [B组　关键能力练] 9．(多选)P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0， ∴||－|(－)＋(－)|＝0，即||＝|＋|，∴|－|＝|＋|， 由向量加法减法的几何意义知四边形ABDC(其中＋＝)为矩形，∴⊥， ∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形． 10．过△ABC内部一点M任作一条直线EF，AD⊥EF于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，都有＋＋＝0，则点M是△ABC的(　　) A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三个内角平分线的交点 当直线EF经过点C时，＋＋＝0，即为＋＝0，于是AD＝BE，EF是AB边上的中线；同理，当EF经过点A时，EF是BC边上的中线；当EF经过点B时，EF是AC边上的中线；因此点M是△ABC的三条中线的交点． 11．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________． ＝2t(－)＋t，(2t＋1)＝2t＋t，∴＝＋. ∵A，B，P三点共线，∴＋＝1，∴t＝1. 12．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为 _____________________． 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，设＝λ(0≤λ≤1)， 则M(λ，2λ)， 故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)， 则＋＝(2－2λ，2－4λ)， |＋|＝ ＝， 当λ＝0时，|＋|取得最大值为2； 当λ＝时，|＋|取得最小值为， ∴|＋|∈. 13．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？ 解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb， ＝＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb， 因为与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.因为a与b不共线， 所以 消去λ，得＋＝4， 所以＋为定值． 解：以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0，0)，A(3, 4)，C(6，0)，则＝(3，－4). 由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点， 所以＝＝， 于是M，所以＝，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM， 则设＝λ，且0<λ<1， 即＝λ＝，所以＝＋＝ (－6，0)＋＝. 由于PC⊥BM，所以(4λ)2＋＋(4λ－6)2＋＝36，解得λ＝0(舍去)或λ＝(舍去)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM. $$