内容正文:
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4.3 指数函数与对数函数的关系
课程标准
素养解读
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图像间的对称关系
2.会求简单函数的反函数
3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题
在经历指数函数和对数函数互为反函数的过程中,发展学生的数学逻辑和数学运算素养
[情境引入]
将曲线y=log2x沿x轴正方向移动一个单位,再沿y轴方向移动2个单位,得到曲线c,故c关于直线x+y=0对称的曲线,你能求出其曲线方程吗?
[知识梳理]
[知识点] 指数函数与对数函数的关系
1.反函数
(1)反函数的概念
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中 任意一个 y的值,只有 唯一的 x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数记作 y=f-1(x) .
(3)反函数的性质
y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1) 互为反函数 .
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像关于 y=x 对称.
[预习自测]
1.函数y=x(x>0)的反函数是( )
A.y=,x>0
B.y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,x∈R
C.y=x2,x∈R
D.y=2x,x∈R
解析:B [∵y=x,x>0,∴x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y,y∈R,对换x,y,得y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,x∈R.故选B.]
2.函数f(x)=2x+1的反函数为f-1(x),则不等式f-1(x)<0的解集为( )
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
解析:B [由函数f(x)=2x+1得其反函数为
f-1(x)=log2(x-1),x>1,令log2(x-1)<0,解得1<x<2.]
3.函数y=x+2(x∈R)的反函数为 ________ .
解析:由y=x+2(x∈R),得x=y-2(y∈R).互换x,y,得y=x-2(x∈R).
答案:y=x-2
4.函数y=f(x)过点(1,2),则f-1(x)过点 ________ .
解析:∵y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于y=x对称,∴y=f-1(x)过点(2,1).
答案:(2,1)
求简单函数的反函数
[例1] 求下列函数的反函数
(1)y=log2x;(2)y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x;(3)y=x2(x≤0).
[思路点拨]依反函数的定义求解.
[解] (1)由y=log2x得x=2y,
∴f-1(x)=2x.
(2)由y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x,得x=y且y>0,
∴f-1(x)=x(x>0).
(3)由y=x2得x=±eq \r(y)且y≥0,
∵x≤0,∴x=-eq \r(y)且y≥0,
∴f-1(x)=-eq \r(x)(x≥0).
(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)将x,y互换;
(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.
[变式训练]
1.求下列函数的反函数
(1)y= (x-1);
(2)y=0.2x+1(x≤1).
解:(1)由y= (x-1),得x-1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))y,
∴x=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))y+1,对换x,y得y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x+1,
∴y= (x-1)的反函数是y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x+1(x∈R).
(2)由y=0.2x+1,得x=log0.2(y-1),
对换x,y,得y=log0.2(x-1).
∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,
∴反函数的定义域为[1.2,+∞),
∴y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).
互为反函数的图像间的关系及应用
[例2] 设函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[思路点拨] 点(2,1)在y=loga(x+b)的图像上,则点(1,2)在其反函数的图像上.
[解析] f(x)=loga(x+b)的反函数为f-1(x)=ax-b,又f(x)图像过点(2,1),∴f-1(x)图像过点(1,2),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a-b=2,,a2-b=8,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=3,,b=1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=-2,,b=-4,))
又a>0,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=3,,b=1,))∴a+b=4.故选B.
若点P(m,n)在函数y=f(x)(或在反函数y=f-1(x))的图像上,则点P′(n,m)在反函数y=f-1(x)(或在函数y=f(x))的图像上.利用这种对称性去解题,常常可以避开求反函数的解析式,从而达到简化运算的目的.
[变式训练]
2.若点A(1,2)既在函数f(x)=eq \r(ax+b)的图像上,又在f(x)的反函数的图像上,求a,b的值.
解:依题意可得f(1)=2,f-1(1)=2,即f(2)=1,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a+b=4,,2a+b=1.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=-3,,b=7.))∴a=-3,b=7.
反函数性质的应用
[例3] 已知函数f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域;
(2)求函数f(x)的反函数f-1(x);
(3)判断f-1(x)的单调性.
[思路点拨] 先求反函数,再利用定义判断单调性.
[解] (1)要使函数f(x)有意义,需满足2-x>0,即x<2,故原函数的定义域为(-∞,2),值域为R.
(2)由y=loga(2-x),得2-x=ay,
即x=2-ay.
∴f-1(x)=2-ax(x∈R).
原函数与其反函数的单调性相同,在判断反函数的单调区间时,可以先求原函数的单调区间.
[变式训练]
解析:由题意得f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,
∵f(x)在R上是减函数,
∴由同增异减的原则可知,所求函数的单调递增区间即为t=x2+2x的单调递减区间,即(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
1.函数y=ex+1的反函数是( )
A.y=1+ln x(x>0)
B.y=1-ln x(x>0)
C.y=-1-ln x(x>0)
D.y=-1+ln x(x>0)
解析:D [由y=ex+1得x+1=ln y(y>0),
即x=-1+ln y(y>0),
所以所求反函数为y=-1+ln x(x>0).故选D.]
2.已知y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x的反函数为y=f(x),若f(x0)=-eq \f(1,2),则x0等于( )
A.-2 B.-1 C.2 D.eq \f(1,2)
3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2),\f(2,3))),则a等于( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(\r(2),2)
D.eq \r(3,2)
解析:A [因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2),\f(2,3)))在y=f(x)的图像上,
所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),\r(3,2)))在y=ax的图像上,则有eq \r(3,2)=aeq \f(2,3),
即a2=2,又因为a>0,所以a=eq \r(2).]
4.函数y=log3x的反函数的值域为 ________ .
解析:反函数的值域为原函数的定义域(0,+∞).
答案:(0,+∞)
5.设f(x)=eq \f(2x+3,x-1),函数y=g(x)的图像与函数y=f-1(x+1)的图像关于直线y=x对称,求g(3).
解:依题意可知,y=g(x)与y=f-1(x+1)互为反函数,令g(3)=m,则点(3,m)在y=g(x)的图像上,
从而点(m,3)在y=f-1(x+1)的图像上,
因此,得3=f-1(m+1),∴f(3)=m+1,
∴m=f(3)-1=eq \f(2×3+3,3-1)-1=eq \f(7,2),即g(3)=eq \f(7,2).
$$