4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第2课时　对数函数的性质与图象应用 　 第四章　4.2　对数与对数函数 合作探究 1 随堂演练 2 课时测评 3 内容索引 合作探究 返回 例1 题型一　比较大小 　 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 2，ln 0.9； (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)； (3)log67，log76； (4)log3π，log20.8. [思路点拨]　 (1)ln 2，ln 0.9； 解：函数y＝ln x的底数为常数e(e>1)， 所以该函数在(0，＋∞)上是增函数， 又2>0.9，所以ln 2>ln 0.9. (2)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)； 解：当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数， 因为5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9. 综上，当0<a<1时，loga5.1>loga5.9；当a>1时，loga5.1<loga5.9. (3)log67，log76； 解：因为log67>log66＝1，log76<log77＝1， 所以log67>log76. (4)log3π，log20.8. 解：因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8. 规律方法 比较对数值大小时常用的三种方法 　　　　　　　　　　　 a＝log2π>1，b＝log π<0，c＝π-2∈(0，1)，所以a>c>b.故选C. √ 对点练1．(1)设a＝log2π，b＝log π，c＝π-2，则 A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a (2)比较下列各组值的大小： ②log1.51.6，log1.51.4； 因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4， 所以log1.51.6>log1.51.4. ③log0.57，log0.67； ④log3π，log20.8. 因为0>log70.6>log70.5， 即log0.67<log0.57. 因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， 所以log3π>log20.8. 题型二　解对数不等式 　(1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a的取值范围： ①log1.5(2a)>log1.5(a－1)； ②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a). [思路点拨]　(1)利用函数y＝log3x的单调性求解． (2)利用单调性解不等式． 例2 (1)满足不等式log3x<1的x的取值集合为___________； {x|0<x<3} 因为log3x<1＝log33，所以x满足的条件为 即0<x<3.所以x的取值集合为{x|0<x<3}． (2)根据下列各式，确定实数a的取值范围： ①log1.5(2a)>log1.5(a－1)； 函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数． 因为log1.5(2a)>log1.5(a－1)，所以 解得a>1， 即实数a的取值范围为(1，＋∞). ②log0.5(a＋1)>log0.5(3－a). 函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)>log0.5(3－a)， 所以 解得－1<a<1. 即实数a的取值范围为(－1，1). 规律方法 两类对数不等式的解法 1．形如logaf(x)<logag(x)的不等式． (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2．形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. (1)当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； (2)当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.　　 对点练2．(1)已知log0.72x<log0.7(x－1)，则x的取值范围为_________； (1，＋∞) 因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.72x<log0.7(x－1) 解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞). (2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． loga(x－1)≥loga(3－x)， 综上可得， 当a>1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)； 当0<a<1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2]. 题型三　对数函数性质的综合应用 已知a>0且a≠1，f(logax)＝ . (1)求f(x)； (2)判断f(x)的单调性和奇偶性； (3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求实数m的取值范围． [思路点拨]　(1)利用换元法求解析式，设t＝logax. (2)利用定义法判断函数的奇偶性． (3)由(2)的结论，求m的取值范围． 例3 (1)求f(x)； 解：令t＝logax(t∈R)， (2)判断f(x)的单调性和奇偶性； 且x∈R，所以f(x)为奇函数． 当a>1时，ax－a－x 为增函数， 并且注意到 >0， 所以这时f(x)为增函数； 当0<a<1时，类似可证f(x)为增函数． 所以f(x)在R上为增函数． (3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)<0，求实数m的取值范围． 解：因为f(1－m)＋f(1－2m)<0，且f(x)为奇函数，所以f(1－m)<f(2m－1). 因为f(x)在(－1，1)上为增函数， 规律方法 1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题 (1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x>0. (2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性．首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断． 2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断 首先要确保f(x)>0， 当a>1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致． 当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝(x)的单调性相反．　 对点练3．已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； 所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 解：因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)] ＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]， 若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4. 所以loga4＝－2，a-2＝4. 又0<a<1，所以a＝ . 若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值． 综上可知，a＝ . 易错一　忽略真数大于0致错 1．若函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2) C．(0，2) D．(1，＋∞) [正解]　令u＝2－ax，因为a＞0，所以u是关于x的减函数．当x∈[0，1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax＞0在[0，1]上恒成立，所以umin ＞0，即2－a＞0，所以a＜2.在[0，1]上，随着x的增大，u＝2－ax逐渐减小，要使函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上单调递减，则y＝logau在其定义域上必须单调递增，故a＞1.综上可知1＜a＜2.故选B. [误区警示]　在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，会使所求参数的取值范围扩大，从而致误． 易错精析 √ 函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间，即为y＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)在满足y>0的条件下，函数y的增区间，再利用二次函数的性质可得，在满足y>0的条件下，函数y的增区间为(3，＋∞).即f(x)的增区间为(3，＋∞).故选D. √ 2．函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间为 A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(3，＋∞) 易错二　忽略对底数的讨论致错 3．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则 a的值为________． [误区警示]　在解决底数为参数的对数函数的问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般分底数大于1和底数大于0且小于1两种情况讨论．忽略底数a对函数y＝logax(a＞0，且a≠1)单调性的影响，就可能会出现漏解或错解． √ 若a>1时，由对数函数和指数函数图象可知：logax>4x 不等式解集为空集．若0<a<1时，logax>4x(a>0且a≠1)， 作y＝4x和y＝logax的图象如图所示． 返回 随堂演练 返回 1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则 A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 因为a＝log23.4>1，0<b＝log43.6<1，c＝log30.3<0，所以a>b>c，故选A. √ 2．若对数函数y＝log(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是 A.(－1，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)　 D．(0，1) 因为函数y＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＋1>1，则a>0.故选B. √ 3.(多选)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(9，2)，则下列说法正确的是 A．a＝2 B．函数f(x)为增函数 C．若x>3，则f(x)>1 √ √ 4．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________． (1，2) 返回 课时测评 返回 因为log3 <log31＝0，所以a<0，因为ln 3>ln e＝1，所以b>1，因为0<2-0.99 <20＝1，所以0<c<1，所以b>c>a.故选D. 1．已知a＝log3 ，b＝ln 3，c＝2-0.99，则a，b，c的大小关系为 A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．a>1，b>0 B．0<a<1，b>0 C．a>1，b<0 D．0<a<1，b<0 由函数＝log3x，y＝ 的图象知，0<a<1，b<0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有 A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是 A．(0，2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[2，＋∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是 因为lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，则b＝ ，从而g(x)＝－logb x＝loga x，f(x)＝ax，所以a>1，函数f(x)与函数g(x)在定义域内都是单调递增；0<a<1，函数f(x)与函数g(x)在定义域内都是单调递减；所以函数f(x)与函数g(x)在定义域内单调性相同．结合选项可知选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝______． 3 当a>1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，所以a＝3>1.所以a＝3符合题意．当0<a<1时，f(x)的最大值是f(2)＝1.则loga2＝1，所以a＝2>1.所以a＝2不合题意．综上知a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即(－1，0)∪(0，1). (－1，0)∪(0，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知loga(2a＋3)<loga3a，则a的取值范围为________________． (0，1)∪(3，＋∞) 解得0<a<1. 综上所述，a的范围是(0，1)∪(3，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)比较下列各组对数值的大小： 1.6<2.9， (2)log21.7与log23.5；(2分) 解：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7<3.5， 所以log21.7<log23.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)解下列不等式： 所以原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)loga(2x－5)＞loga(x－1).(5分) 解得x＞4. 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)(新情境)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是 A．同学甲发现：函数的定义域为(－1，1)，且f(x)是偶函数 B．同学乙发现：对于任意的x∈(－1，1)，都有 C．同学丙发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有 D．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x1，x2，总满足 >0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)若实数a，b满足loga2<logb2，则下列关系中可能成立的有 A．0<b<a<1 B．0<a<1<b C．a>b>1 D．0<b<1<a 根据题意，实数a，b满足loga2<logb2，对于A，若a，b均大于0且小于1，依题意，必有0<b<a<1，故A有可能成立；对于B，若logb2>0>loga2，则有0<a<1<b，故B有可能成立；对于C，若a，b均大于1，由loga2<logb2，知必有a>b>1，故C有可能成立；对于D，当0<b<1<a时，loga2>0，logb2<0，loga2<logb2不能成立．故选ABC. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知函数f(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域；(4分) (2)判断函数f(x)的奇偶性．(6分) 解：由(1)知f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． 解：要使函数有意义，则需满足 解得－2<x<2.故函数f(x)的定义域为(－2，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a)，则下列说法中正确的是 A．若f(x)的定义域为R，则－4≤a≤0 B．若f(x)的值域为R，则a≤－4或a≥0 C．若a＝2，则f(x)的单减区间为(－∞，－1) D．若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则a≤ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求a的值；(5分) 解：因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以函数f(x)的定义域关于原点对称， 经验证，a＝－1满足题意． 15．(15分)已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围．(10分) 即实数m的取值范围为[－1，＋∞). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 所以log0.5>log0.6. ①log0.5，log0.6； 因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6， 所以<， 得 当a>1时，有解得2≤x<3. 当0<a<1时，有解得1<x≤2. 则x＝at，且f(t)＝， 所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R). 解：因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)， 所以解之，得<m<1. 即实数m的取值范围是. 解：由题意得解得－1<x<3， 2或 [正解]　(1)当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2. (2)当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.综上可知a＝2或. 4．已知关于x的不等式loga x>4x(a>0且a≠1)的解集为，则a＝ A． B． C． D．2 因为不等式的解集为{x|0<x<}，设点A为两个函数图象的交点，则A(，2)，所以loga＝2，即a＝.故选A. D．若0<x1<x2，则>f() 由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f(x)＝log3x是增函数，故B正确；当x>3时，f(x)>f(3)＝1，故C正确；因为＝＝log3，f()＝log3，又0<x1<x2，所以<，所以log3<log3，即<f()，故D错误．故选BC. 若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2；若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．综上，a的取值范围是(1，2). 2．若log3a<0，>1，则 －x2＋3x＋4＝－＋≤，又－x2＋3x＋4>0，则0<－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞). 7．函数y＝的定义域是_________________． 由解得 (1)当a>1时，原不等式等价于 (2)当0<a<1时，原不等式等价于 (1)log1.6与log2.9；(2分) 解：(1)因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减， 所以log1.6>log2.9. (4)log0.3与log20.8.(3分) 解：由对数函数性质知，log0.3>0，log20.8<0， 所以log0.3>log20.8. (3)log3与log3；(3分) 解：借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示． 在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，所以log3<log3. (1)logx＞log(4－x)；(2分) 解：由题意可得解得0＜x＜2. 综上所述，原不等式的解集为. (2)logx＞1；(3分) 解：当x＞1时，logx＞1＝logxx，解得x＜，此时不等式无解． 当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，解得x＞，所以＜x＜1. 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 解：当a＞1时，原不等式等价于 当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得＜x＜4. f ＝lg f ＝2f f＋f＝f 对于A，f(x)＝lg ，则＞0⇒(1－x)(1＋x)＞0，解得x∈(－1，1).又f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，故f(x)＝lg 为奇函数，故A错误；对于B，f＝lg ＝lg ＝lg ＝2 lg ＝2f(x)，x∈(－1，1)，故B正确； 对于C，f(a)＋f(b)＝lg＋lg ＝lg ，f＝lg ＝lg ＝lg 故f(a)＋f(b)＝f成立，故C正确；对于D，f(0)＝lg ＝0 ，f＝lg ＝lg ＜0，所以＜0，故D错误．故选BC. 对于A，若f的定义域为R，所以x2＋ax－a>0恒成立，所以Δ＝a2＋4a<0，所以－4<a<0，所以选项A错误；对于B，若f(x)的值域为R，由A知 a2＋4a≥0，所以a≥0或a≤－4，所以选项B正确；对于C，若a＝2，则f(x)＝lg (x2＋2x－2)，函数的定义域为(－∞，－1－)∪(－1＋，＋∞)，设u＝x2＋2x－2，v＝lg u，可知：v＝lg u在定义域内单调递增，由复合函数的单调性，得函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1－)，所以选项C错误；对于D，若f(x)在(－2，－1)上单调递减，则(－1)2－a－a≥0且－≥－1，所以a≤，所以选项D正确．故选BD. f(x)＝log 因为>0，所以(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， 所以＝－1，a＝－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，所以m≥－1. 解：因为f(x)＋log(x－1)＝log ＋log(x－1)＝log(1＋x)， 所以当x>1时，log(1＋x)<log(1＋1)＝－1， $