4.2.3 第1课时 对数函数的概念、定义域和值域-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图象 　 第四章　4.2　对数与对数函数 知识层面 1．理解对数函数的概念、图象及性质．　 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数． 3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域、单调性、最值等问题． 素养层面 通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养；借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示：x＝log2y，任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x对应，x能看作关于y的函数． 问题导思 问题2．在同一坐标系内画出函数y＝log2x，y＝log x，y＝log x和y＝log3x的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征． 提示：同一坐标系中函数的图象如图． (1)y＝log2x与y＝log3x的图象从左向右是上升的，函数y＝log x和y＝log x的图象从左到右是下降的． (2)图象都过定点(1，0)，函数的图象都在y轴的右侧，且向上向下无限延伸． 知识点一　对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2．判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如y＝logax；(2)底数a满足a>0且a≠1；(3)真数为x，而不是x的函数；(4)定义域为(0，＋∞). 如y＝log2x2，y＝log5(x＋5)，y＝log5 都不是对数函数，可称其为________ _____． 新知构建 对数型 函数 微提醒 (1)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). (2)结合上一节知识可知以10为底的对数函数y＝lg x叫做常用对数函数，以e为底的对数函数y＝ln x叫做自然对数函数． 知识点二　对数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 图象过定点________，即当x＝1时，y＝0 单调性 ________ ________ 奇偶性 非奇非偶函数 (1，0) 增函数 减函数 微提醒 (1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)根据对数函数的性质可知，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象都过点 ，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax的草图． (3)在对数函数y＝logax(a>0，a≠1)中：①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数值的正负就很简单了． 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B、C错误，D正确． 1．下列函数是对数函数的是 A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x √ 2．函数y＝ ln (1－x)的定义域为 A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] √ 3．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是 √ 因为0<a<1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A、B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确． 3 5．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________． (0，2] 由4x－x2>0得0<x<4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4).令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2，4)时，u＝4x－x2是减函数．又因为y＝log3u是增函数，所以函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2]. 返回 第1课时　对数函数的概念、定义域和值域 合作探究 返回 例1 题型一　对数函数的概念 　 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga (a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　用对数函数的概念y＝logax(a>0且a≠1)来判断． 解：(1)中真数不是自变量x，不是对数函数． (2)中对数式后加2，所以不是对数函数． (3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数． (4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数． (5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 其中，一定是对数函数的是________．(填序号) (3) 对于(1)，真数是－x，故(1)不是对数函数；对于(2)，2log4(x－1)的系数为2，且真数是x－1，故(2)不是对数函数；对于(3)，易知(3)是对数函数；对于(4)，底数a2＋a不一定大于0且可能等于1，故(4)不一定是对数函数． 题型二　求对数型函数的定义域 求下列函数的定义域： (3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x). [思路点拨]　本题考查有关对数型函数的定义域的求法．对于(1)，要保证分母不为0.对于(2)，要保证根式有意义．对于(3)(4)，要保证对数式有意义． 例2 解：要使函数式有意义， (3)y＝log2(16－4x)； 解：要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2. 故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}． (4)y＝log(x－1)(3－x). 故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}． 规律方法 求对数型函数定义域的步骤 对点练2．求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)； 解：因为当1－x>0，即x<1时， 函数y＝log3(1－x)有意义， 所以函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1). 解：由log2x≠0，得x>0且x≠1. 题型三　对数函数的图象问题 　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的 (2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A， 若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝_____； (3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． [思路点拨]　(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围． (2)依据loga1＝0，求定点坐标． (3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 例3 (1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的 √ A中，由y＝x＋a的图象知a>1，而y＝logax为减函数，故A错误；B中，0<a<1，而y＝logax为增函数，故B错误；C中，0<a<1，且y＝logax为减函数，所以C正确；D中，a<0，而y＝logax无意义，故D错误．故选C. (2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒 过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则 f(log32)＝________； (3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为____________． b>a>1>d>c 由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c. 规律方法 解决对数函数图象问题的注意点 1．明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． 2．建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1. 3．牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1，0)，(a，1)和 . 　　 对点练3．(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象，已知a取 则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为 √ 方法一　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3， C4对应的a值分别为 故选A. 方法二　由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底 数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即 故选A. (2)函数y＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为 √ 函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.故选A. 返回 随堂演练 返回 1．给出下列函数： ①y＝log x2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx. 其中是对数函数的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ①②中，因为对数的真数不是只含有自变量x，所以不是对数函数；③中，因为对数的底数不是常数，所以不是对数函数；④是对数函数．故选A. √ 2．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是 A．y＝log1.05x B．y＝log1.005x C．y＝log0.95x D．y＝log0.995x 由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.故选B. √ (－1，＋∞) 得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞). 4．函数f(x)＝(m－1)logax(a>0，且a≠1)是对数函数，且过点(4，2)，则f(m)＝__________． 1 由题意m＝2，又2＝loga4，故a＝2，因此f(x)＝log2x.所以f(m)＝f(2)＝log22＝1. 返回 课时测评 返回 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数． 1．下列函数中是对数函数的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为 A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，则2＝loga4＝loga22＝2loga2，即loga2＝1，a＝2.故所求解析式为y＝log2x.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．设函数y＝ 的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝ A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1) 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的 √ 由函数y＝loga(－x)有意义，知x<0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A、C.又当a>1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知函数f(x)＝|log2x|的值域是[0，2]，则其定义域可能是 √ √ 因为函数f(x)＝|log2x|的值域是[0，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________． 1 由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________． 令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝loga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2，0). (2，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．若f(x)＝log2x，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为___________． 因为f(x)＝log2x在[2，3]上是单调递增的，所以log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23. [1，log23] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列函数的定义域： 解：要使函数有意义， 所以－1<x<1， 所以函数的定义域为(－1，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)y＝log(x－2)(5－x).(6分) 解：要使函数有意义，需 所以定义域为(2，3)∪(3，5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象；(4分) 解：作出函数y＝log3x的图象如下图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(a)<f(2)，利用图象求实数a的取值范围．(6分) 解：令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32， 解得x＝2. 由图象知，当0<a<2时， 恒有f(a)<f(2). 所以所求实数a的取值范围为(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)函数y＝loga－2(5－a)中，实数a的取值可能是 A． B．3 C．4 D．5 因此2<a<5且a≠3.故选AC. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)下列函数的图象过定点(1，2)的有 A．y＝loga(3x－2)＋2 B．y＝log2x＋1 C．y＝ax＋1 D．y＝ax-1＋1 对于A，y＝loga(3x－2)＋2，当x＝1时，y＝loga1＋2＝2，故函数图象必过定点(1，2)，故A正确；对于B，y＝log2x＋1，当x＝1时，y＝log21＋1＝1，故函数的图象不过定点(1，2)，故B错误；对于C，y＝ax＋1，当x＝1时，y＝a＋1，故函数的图象不过定点(1，2)，故C错误；对于D，y＝ax-1＋1，当x＝1时，y＝a1-1＋1＝2，故函数图象必过定点(1，2)，故D正确．故选AD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0). (1)求a的值；(4分) 解：将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)， 则－1＋a＝1，所以a＝2. (2)求函数的定义域．(6分) 解：由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0， 解得x>－2， 所以函数的定义域为{x|x>－2}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为___________． (3，＋∞) 画出y＝|lg x|的图象如图： 因为0<a<b，且f(a)＝f(b)，所以|lg a|＝|lg b|且0<a<1，b>1，所以－lg a＝lg b，即ab＝1，所以y＝a＋2b＝a＋ ，a∈(0，1)，因为y＝a＋ 在(0，1)上为减函数，所以y>1＋2＝3，所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围． 解：设t(x)＝3－ax， 因为a>0，且a≠1，所以t(x)＝3－ax为减函数，则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a. 因为当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即当x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立， 所以3－2a>0，所以a< . 又a>0，且a≠1，所以0<a<1，或1<a< ， 所以实数a的取值范围为(0，1)∪(1， ). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 由题意，得解得0≤x<1，故函数y＝ln (1－x)的定义域为[0，1).故选B. 4．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________． f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3. 对点练1．已知函数：(1)y＝log(－x)(x<0)；(2)y＝2log4(x－1)(x>1)； (3)y＝ln x(x>0)；(4)y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数). (1)y＝； (2)y＝； (1)y＝； 需解得x>1，且x≠2. 故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}． 故函数y＝的定义域是{x|x≥4}． (2)y＝； 解：要使函数式有意义，需 即解得x≥4. 解：要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2. 解：由>0，得x<. 所以函数y＝log7的定义域为. (2)y＝； (3)y＝log7. 所以函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}． 依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3-2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝. ，，，， A．，，，　　　　　 B．，，， C．，，， D．，，， ，，， . ，，， . 3．函数y＝的定义域为___________． 由 A．y＝logx　　　　　　 B．y＝log(x＋1) C．y＝2logx D．y＝logx＋1 A． B． C． D． 由f(x)＝2，得log2x＝±2，即x＝4或， 即x＝4，至少取一个，且≤x≤4，且定义域内必须包含x＝1，f(1)＝0，则A不可以，B可以，C可以，D不可以．故选BC. (1)y＝lg (x＋1)＋；(4分) 需即 所以 由题意可知，即 $