4.2.2 对数运算法则-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 　 第四章　4.2　对数与对数函数 知识层面 1．理解对数的运算性质．　 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．　 3．会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明． 素养层面 通过对数运算法则的学习，培养数学运算素养；通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)? 提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN. 由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN). 从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 问题导思 问题2．结合问题1，若 ，又能得到什么结论？ 问题3．结合问题1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何结果？ 提示：由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R). 知识点一　对数运算法则 1．对数的运算法则 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，a∈R，则 (1)_______________________ 即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和．这个性质可推广到若干个正因数的积： loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni>0，i＝1，2，3，…，k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和． 新知构建 loga(MN)＝logaM＋logaN. (2) _______________________ 即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数． (3)_______________________ 即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数． logaMα＝αlogaM(α∈R). 微提醒 (1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用．逆向应用对数运算法则，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简． (2)对于上面的每一个运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立． (3)要牢记对数的运算法则，一般地： ①loga(M±N)≠logaM±logaN； ②loga(MN)≠logaM·logaN； ③loga ≠logaM÷logaN； ④logaMα≠(logaM)α. 2．对数运算法则与指数运算法则的联系 式子 ab＝N logaN＝b 运算 法则 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN (am)n＝amn logaMα＝αlogaM 知识点二　换底公式 1．换底公式 一般地，我们有logab＝ ，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1，这一结果通常被称为换底公式． (1)换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M>0，N>0，M＝N，则logaM＝logaN. (2)换底公式的意义在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题，从而进行化简、计算或证明． (3)换底公式在实际应用中究竟把底数换成什么，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数． 微提醒 2．几个常用推论 (1)推论一： ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数． (2)推论二： ＝1. 即logab·logbc·logca＝1. (3)推论三： ，此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的 倍． logac·logca＝1 logab·logbc·logca logambn＝ logab 1．下列等式成立的是 A．log2(8－4)＝log28－log24 C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 由对数的运算性质易知C正确． √ 对于A，当M＝N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立；对于B，logaM＝logaN，则必有M>0，N>0，M＝N；对于C，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2＝logaN2，但此时M≠N；对于D，当M＝N＝0时，logaM2，logaN2都没有意义，故不成立，综上可知，只有B正确．故选B. 2．对于a>0，且a≠1，下列说法中正确的是 A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 √ 原式＝log39＝2. √ √ 由104＝10 000知lg 10 000＝4，10-3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10. 5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________． 4　 －3 返回 合作探究 返回 例1 题型一　对数的简单运算 化简下列各式： [思路点拨]　(1)注意对数运算法则的正用和逆用． (2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 解：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－5log53＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 规律方法 1．对于同底的对数的化简，常用方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到．同时注意各部分变形要化到最简形式．　　 －1 (2)求下列各式的值： ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50； (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. ＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 题型二　换底公式的应用 (4)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258). [思路点拨]　本题主要考查对数的化简求值，解答本题可先通过换底公式统一底数，再进行化简求值． 例2 (2)log23×log34×log45×log56×log67×log78； (4)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258). 规律方法 1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换以a为底． 2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； √ 对点练2．(1)式子log916·log881的值为 √ (2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于 题型三　用已知对数表示其他对数 　已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645. [思路点拨]　方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二　先求出a，b，再利用换底公式化简求值． 解：方法一　因为log189＝a，所以9＝18a. 又5＝18b， 所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818. 例3 方法二　因为18b＝5，所以log185＝b. 规律方法 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换． (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键． (3)注意一些派生公式的使用．　　 对点练3．(1)已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示) (2)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528； 因为log147＝a，14b＝5， 所以b＝log145. 因为3x＝36，4y＝36， 所以x＝log336，y＝log436， 返回 随堂演练 返回 1．计算2log63＋log64＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．log62 C．log63 D．3 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选A. √ 2．log6432＝ √ 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝ √ 微专题(二)　创新探究 1．a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 (a>b>0，m>0).若x1＝log32，x2＝log1510，x3＝log4520，则 A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x3<x1<x2 D．x3<x2<x1 √ 2．(新定义)历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p－1(p是质数)”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22－1＝3，23－1＝7，25－1＝31，27－1＝127，3、7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289－1，则第10个梅森数的位数为(参考数据：lg 2≈0.301) A．25 B．29 C．27 D．28 lg (289－1)≈89lg 2≈26.789，故289－1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27. 故选C. √ 3．(新定义)(多选)定义新运算“⊗”：x⊗y＝log2(2x＋2y)，x，y∈R，则对任意实数a，b，c，有 A．a⊗a＝2a B．(a⊗b)⊗c＝a⊗(b⊗c) D．(a⊗b)－c＝(a－c)⊗(b－c) √ √ √ ) (1)若E1＝10 000E2，则m2－m1＝________； 6 (2)若太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.5，则太阳与天狼星的亮度的比值为________． 1016.8 返回 课时测评 返回 原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2. 1．2log510＋log50.25＝ A．0 B．1 C．2 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．若log34·log8m＝log416，则m等于 A．3 B．9 C．18 D．27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．计算： (1)若log3(log2x)＝1，则x＝________． (2)lg 4＋lg 500－lg 2＝________． log3(log2x)＝1，得log2x＝3，转化成指数式x＝23＝8. 8 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)计算：(1)log1627log8132；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)(log32＋log92)(log43＋log83).(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选) 若x>0，y>0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4　 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果．如果樟脑丸放置的时间T(天数)和剩余的体积V的关系式为T＝ C ln (其中常数C>0，V0是1颗新丸的体积)，1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的 ，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少____颗樟脑丸． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故应该在衣柜里一次性放置至少4颗樟脑丸． 要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，因为当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果．所以可设放置n颗樟脑丸，最终剩余的体积为V0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用a，t表示y. 当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)， 所以logay＝t2－3t＋3， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 ＝＝ap－q 提示：将指数式＝ap－q化为对数式，得 loga＝p－q＝logaM－logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). 特别地，loga＝logaM(M>0，n>1，n∈N＋). loga＝logaM－logaN. ＝am－n loga＝logaM－logaN B．＝log2 3.的值为 A． B．2 C． D． 4．化简log612－2log6的结果为 A．6 B．12 C．log6 D． log612－2log6＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.故选C. (1)4lg 2＋3 lg 5－lg ； (2)； (3)2log32－log3＋log38－5log53；(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg (＋ ). 解：原式＝＝＝. (1)4lg 2＋3 lg 5－lg ； (2)； 解：原式＝lg ＝lg (24×54)＝lg (2×5)4＝4. 解：原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝. 解：原式＝lg (＋)2＝lg [6＋2]＝lg 10＝. (3)2log32－log3＋log38－5log53； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg (＋ ). 对点练1．(1)计算：lg ＋2lg 2－＝________； lg ＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. ①log53＋log5； log53＋log5＝log5＝log51＝0. ③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 原式＝lg 25＋lg 8＋lg ·lg (10×2)＋(lg 2)2 计算：(1)(log43＋log83)×； (2)log23×log34×log45×log56×log67×log78； (3)＋log2(－)； (1)(log43＋log83)×； 解：原式＝×＝×＋×＝＋＝. 解：原式＝×××××＝＝＝3. (3)＋log2(－)； 解：原式＝·＋log4(－)2 ＝log·log9＋log4(6－2) ＝log2·3log32＋log4(6－2×2)＝－log32·3log23＋log42 ＝－＋log22＝－＋＝－1. 解：方法一　原式 ＝ ＝ ＝log25·3log52＝13. 方法二 原式＝ ＝＝·＝13. 方法三 原式＝(log53＋log52＋log51)(log52＋log22＋log23) ＝(3log25＋log25＋log25)(log52＋log52＋log52) ＝log25·3log52＝3×＝13. logbm＝logab.　 A．18　　　B．　　　C．　　　D． 原式＝log24·log34＝2log32·log23＝.故选C. A． B． C． D．以上都不对 原式＝·＝·＝×log32＝.故选B. 又因为log2×1818＝＝＝＝＝， 所以原式＝. 所以log3645＝＝ ＝＝ ＝＝. lg 5＝＝＝. 所以log3528＝＝＝＝. 所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝1. ②设3x＝4y＝36，求＋的值． 所以＝＝＝log363， ＝＝log364. A． B．2 C． D． log6432＝＝＝＝.故选C. A． B． C． D． log36＝＝＝.故选B. 4．已知2a＝5b＝M，且＋＝2，则M的值是________． 2 因为2a＝5b＝M，且＋＝2，所以a＝log2M，b＝log5M，所以＝logM2，＝logM5，所以＋＝logM4＋logM5＝logM20＝2，所以M2＝20，又M>0，所以M＝2. > 由题意，x1＝log32＝，x2＝log1510＝，x3＝log4520＝，于是x1＝＝＝<＝＝x3，即x1<x3，又x2＝＝＝＝>＝x3，即x2>x3，综上可知，x1<x3<x2.故选B. C．a⊗b≥1＋ 对于A，由题意a⊗a＝log2(2a＋2a)＝a＋1，故A错误；对于B，(a⊗b)⊗c＝[log2(2a＋2b)]⊗c＝log2＝log2(2a＋2b＋2c)，a⊗(b⊗c)＝a⊗[log2(2b＋2c)]＝log2[2a＋2log2(2b＋2c)]＝log2(2a＋2b＋2c)＝(a⊗b)⊗c，故B正确；对于C，a⊗b＝log2(2a＋2b)，2a＋2b≥2＝2×2＝21+，当且仅当a＝b时取等号，所以log2(2a＋2b)≥log22 (1+，即a⊗b≥1＋，故C正确；对于D，(a⊗b)－c＝log2(2a＋2b)－c.(a－c)⊗(b－c)＝log2(2a－c＋2b－c)＝log2＝log22－c＋log2(2a＋2b)＝－c＋log2(2a＋2b)，故D正确．故选BCD. 4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg .其中星等为mk，星的亮度为Ek. 因为m2－m1＝－＝lg ， 且E1＝10 000 E2，所以m2－m1＝lg 104＝×4＝6； 设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题意m1＝－26.7，m2＝－1.5.即－1.5＋26.7＝lg ，所以lg ＝16.8，所以＝1016.8. 2．设lg 2＝a，lg 3＝b，则＝ A． B． C． D． ＝＝＝.故选C. 3.的值是 A． B． C．1 D．2 方法一　利用换底公式将分子、分母转化为常用对数，即＝＝×＝.故选A. 方法二　利用换底公式将分子转化为以2为底的对数，即＝＝＝.故选A. 4．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为 A．m－n B．m－n C．－ D．m－n log3＝log3－log3＝log3x－log3＝log3x－log3y＝ m－n.故选D. 原式可化为log8m＝，＝.即lg m＝＝3lg 3＝lg 27， lg m＝lg 27，m＝27.故选D. lg 4＋lg 500－lg 2＝lg ＝lg 1000＝3. (3)＋(log316)×＝__________． ＋(log316)×＝＋×＝3＋×＝3＋(－8)＝－5. (4)lg ＝________． 原式＝lg ＝lg ＝lg ＝lg ＝lg ＝lg 10＝. 7．若log5·log36·log6x＝2，则x等于________． 由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5-2＝. log32＝＝. 9．(10分)化简：(1)；(4分) 解：方法一　(正用公式)： 原式＝＝＝. 方法二　(逆用公式)： 原式＝＝＝. (2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋log25.(6分) 解：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2log2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2. 解：log1627log8132＝× ＝×＝×＝. 解：(log32＋log92)(log43＋log83). ＝ ＝ ＝log32×log23＝××＝. A．lg x＋lg y＝lg (x＋y) B．lg ＝lg x－lg y C．logxnym＝logxy D．lg x＝ 由x>0，y>0，n≠0，m∈R，得，对于A，lg x＋lg y＝lg (xy)≠lg (x＋y)，故A错误；对于B，lg ＝lg x－lg y，故B正确；对于C，logxnym＝＝＝logxy，故C正确；对于D，lg x＝lg x＝，故D正确．故选BCD. 12．(5分)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝_____，b＝______． 令logab＝t，因为a>b>1，所以0<t<1，由logab＋logba＝，得t＋＝，解得t＝或2(舍去).即logab＝，所以b＝，又ab＝ba，所以a＝()a，即a＝a，即＝.解得a＝4，所以b＝2. 13．(10分)若lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，求lg (ab)·(logab＋logba)的值． 解：因为lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝， 所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·(＋) ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12. 由题意得V＝V0，所以C ln ＝30，解得C＝. ln n＝4ln ，所以n＝≈3.2. 于是C ln ＝120，即×ln n＝120， 解：由换底公式，得logax＋－＝3(a>1)，所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 所以y＝at2－3t＋3(t≠0). $