4.2.2 对数运算法则-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.2　对数运算法则 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.掌握对数的运算法则,理解其推导过程和成立条件.　 2.掌握换底公式及其推论.　3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明. 知识点1　对数的运算法则 内容索引 知识点2　换底公式 课时作业 巩固提升 知识点3　对数运算的综合问题 课堂达标·素养提升 3 知识点1　对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么 (1)loga(MN)=　　　　　　　　　　.  (2)logaMα=αlogaM. (3)loga=　　　　　　　　.  logaM+logaN logaM-logaN 计算: (1)loga2+loga(a>0且a≠1); [解]　(1)loga2+loga=loga=loga1=0. (2)log318-log32; [解]　(2)log318-log32=log3(18÷2)=log39=2. 例1 (3)2log510+log50.25; [解]　(3)2log510+log50.25=log5100+log50.25 =log5(100×0.25)=log525=2. (4)2log525+3log264; [解]　(4)2log525+3log264=2log552+3log226=4+18=22. (5)log2(log216); [解]　(5)log2(log216)=log24=2. (6)-20log71+log4. [解]　(6)原式=-20×0+log44-2=9-2=7. 同底的对数的化简常用的方法 1.“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. 2.“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 思维提升 1.计算log535+2log2-log5-log514的值. 解:log535+2log2-log5-log514 =log535+2×+log550-log514 =log5+1=3+1=4. 跟踪训练 知识点2　换底公式 1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logab=(b>0且b≠1,a>0且a≠1). (2)lobm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0). (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1). (1)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值; [分析]　在(1)中把所求的换成与已知同底的对数. (1)[解]　由18b=5,得log185=b, ∴log3645====. 例2 (2)设3x=4y=6z>1,求证:-=. [分析]　在(2)中可用整体代换法求出x,y,z,并结合换底公式与对数的运算性质证明. (2)[证明]　设3x=4y=6z=t,∵3x=4y=6z>1, ∴t>1,∴x=,y=,z=, ∴-=-===, ∴-=. 换底公式的应用 1.一般利用常用对数或自然对数进行化简求值. 2.注意指数式与对数式的互化在求值中的应用. 3.注意一些常见结论的应用,如对数的倒数公式=logb a(a>0且a≠1,b>0且b≠1). 思维提升 2.(1)若3a=7b=,求+的值; 解:(1)∵3a=7b=, ∴a=log3,b=log7, ∴+=+=+===2. 跟踪训练 (2)设4a=5b=m,且+=1,求m的值. 解: (2)∵4a=5b=m,∴a=log4m,b=log5m, 又∵+=1,∴+=1, 即logm4+2logm5=1, ∴logm100=1,∴m=100. 知识点3　对数运算的综合问题 (1)已知log312=a,试用a表示log324; [分析]　对数运算⇒对数运算法则的应用. [解]　(1)log312=log3(3×4)=1+2log32=a, 所以log32=,log324=log3(8×3) =1+3log32=1+3×=. 例3 (2)设a=lg 2,b=lg 3,试用a,b表示lg . [分析]　对数运算⇒对数运算法则的应用. [解]　(2)因为108=4×27=22×33,所以 lg =lg 108=lg(22×33)=lg 22+lg 33=lg 2+lg 3=a+b. 1.与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题,要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化. 2.对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解. 思维提升 3.用lg x,lg y,lg z表示下列各式: (1)lg(xyz); 解:(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. (2)lg ; 解: (2)lg =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z. 跟踪训练 (3)lg ; 解: (3)lg =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y-lg z. (4)lg . 解: (4)lg =lg -lg(y2z)=lg x-2lg y-lg z. 〈课堂达标·素养提升〉 1.若2a=3b(ab≠0),则log32=(　　) A.　　　　　　　　 B. C.ab D. 2a=3b⇒alg 2=blg 3,所以log32==. A 2.(多选)下列结论正确的是(　　) A.loga(x-y)=logax-logay B.=logyx C.loga=logax-logay D.loga= 由对数的运算性质,知A,D错误,B,C正确. BC 3.计算:log25-log2=　　　　.  原式=log2=log22=1. 1 4.若3a=2,则2log36-log38=　　　　.  ∵3a=2, ∴a=log32, ∴2log36-log38=2(log32+log33)-3log32=-log32+2=2-a. 2-a 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.若lg x=lg a+2lg b-3lg c,则x=(　　) A.a+2b-3c　　　　　　　 B.a+b2-c3 C. D. ∵lg x=lg a+2lg b-3lg c=lg,∴x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 2.若xlog43=,则log23x+9x等于(　　) A.3 B.5 C.7 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 ∵xlog43=,∴log43x=, ∴3x==2, ∴log23x+9x=log22+(3x)2=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.若log2x·log34·log59=8,则x等于(　　) A.8 B.25 C.16 D.4 ∵log2x·log34·log59=··=··=8, ∴lg x=2lg 5=lg 25,∴x=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 14 4.已知lg x-lg y=a,则lg-lg=(　　) A.3a B. C.a D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 14 ∵lg x-lg y=a,∴lg =a, ∴lg-lg=3=3lg =3a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.已知x=log612-log63,则6x的值为　　　　.  ∵x=log612-log63=log64, ∴6x==4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 14 6.已知x3=3,则3log3x-lo3=　　　　.  ∵x3=3,∴log3x3=1, ∴3log3x=1, ∴lo3=lo3=, ∴3log3x-lo3=1-=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 - 13 14 7.求下列各式的值. (1)2log525+3log264; 解:(1)原式=2log552+3log226=log554+log2218=4+18=22. (2)lg(+); 解: (2)原式=lg(+)2=lg(6+4)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2. 解: (3)原式=(lg 5)2-(lg 2)2+2lg 2=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2=lg 5+lg 2=lg 10=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.解方程log3(x-1)=log9(x+5). 解:由换底公式,得log9(x+5)=log3(x+5). ∴原方程可化为2log3(x-1)=log3(x+5), 即log3(x-1)2=log3(x+5),∴(x-1)2=x+5. ∴x2-3x-4=0, 解得x=4或x=-1. 又∵∴x>1,故x=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [B组　关键能力练] 9.计算log225·log32·log59的结果为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 原式=··=··=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 10.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为(　　) A.6 B.9 C.12 D.18 ∵2a=3b=k,∴a=log2k,b=log3k, ∴2a+b=2log2k+log3k=+, ∴ab=log2k·log3k=·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 又∵2a+b=ab, ∴+=·. 又∵k≠1,∴lg k≠0, ∴+=, ∴lg k=2lg 3+lg 2=lg 18, ∴k=18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.计算:=　　　　.  ===-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 13 14 12.已知lg a+lg b=2lg(a-2b),则log4 =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 ∵lg a+lg b=2lg(a-2b), ∴a>0,b>0,a-2b>0,且ab=(a-2b)2, ∴ab=a2+4b2-4ab, ∴a2+4b2-5ab=0, ∴-5·+4=0,∴=4或=1. 又∵a>2b,∴>2,∴=4, ∴log4=log44=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知x,y为正数,3x=4y,且2x=py,则p=　　　　.  设3x=4y=k(k>1), 则x=log3k,y=log4k. ∵2x=py,∴2log3k=plog4k=p·. ∵log3k≠0,∴p=2log34. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2log34 13 14 [C组　素养培优练] 14.(1)计算:log23-lo-; 解:(1)原式=log23-log2-=log28-23=3-8=-5. (2)已知lg 5=a,lg 7=b,试用a,b表示log2849. 解: (2)∵lg 5=a,lg 7=b,∴log2849====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$