4.1.2 第1课时 指数函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图象 第四章　4.1　指数与指数函数 知识层面 1．理解指数函数的概念与意义，掌握与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法．　 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 素养层面 通过指数函数概念的学习，培养数学抽象素养；借助指数函数图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？ 提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝( )x(x∈N*). 问题2．上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数． 问题导思 知识点一　指数函数的概念 1．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 新知构建 微提醒 为什么规定底数a>0且a≠1? (1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． (2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如y＝(－2)x，对于x＝ ， ，…，函数值不存在． (3)若a＝1，则对任意的x∈R，ax＝1是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况的发生，规定a>0且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义．以下谈到指数函数y＝ax时，均默认为a是常数，a>0且a≠1. 2．指数函数的结构特征 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①ax的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式． 说明：由于y＝a－x＝ ，因此y＝a－x也是指数函数． 知识点二　指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表： 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ____ 值域 ___________ 定点 图象过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 R (0，＋∞) 底数 a>1 0<a<1 性质 单调性 ___函数 ___函数 函数值的 变化情况 当x>0时，ax>1， 当x＝0时，ax＝1， 当x<0时，0<ax<1. 当x>0时，0<ax<1， 当x＝0时，ax＝1， 当x<0时，ax>1. 对称性 函数y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称 增 减 (1)当底数a的大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)， ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的大致图象． (3)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象． 微提醒 第1课时　指数函数 1．下列函数中，指数函数的个数为 A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 自主检测 由指数函数的定义可判定，只有②正确． √ 由f(x)过点(2，1)，代入得32-b＝1，所以b＝2， 所以f(x)＝3x-2，所以f(4)＝9.故选C. 2．函数f(x)＝3x－b(b为常数)的图象过点(2，1)，则f(4)的值为 A．3 B．6 C．9 D．27 √ 要使函数有意义．则2x－1>0，所以2x>1，所以x>0. A．R B．(0，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0) √ 集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选AC. 4．(多选)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则 A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝∅ √ √ (－1，＋∞) 返回 合作探究 返回 例1 题型一　指数函数概念的应用 　(1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 A．a＝1或2　　　　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(4)·f(2)等于________． [思路点拨]　(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1. (2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点 求a，最后求值． √ 64 规律方法 1．判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． 2．已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤 对点练1．(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________________； 若函数y＝(3－2a)x为指数函数， (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号) ③ 数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③. 题型二　指数函数的解析式或求值 　 已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． [思路点拨]　由已知先求a，再将x＝0，1，－3代入求值． 例2 解：因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π， 规律方法 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．　　 对点练2．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值． 解：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去). 所以f(x)＝3x. 题型三　与指数函数有关的定义域和值域问题 角度1　求指数型函数的定义域和值域 求下列函数的定义域和值域： [思路点拨]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解． 解：(1)由题意知x－4≠0，所以x≠4， 所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)由题意知函数的定义域为R. 例3 规律方法 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法 1．求与指数函数有关的函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而y＝f(ax)的定义域由t＝ax的值域在y＝f(t)的定义域内决定，因此求y＝ 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组). 2．求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞).一般地，对于y＝af(x)型函数，要先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就很容易求出原函数的值域.　　　 角度2　二次函数与指数函数的综合问题 例4 [思路点拨]　此处用t替换 时，需注意在x取值影响下t的取值范围． 当t＝4时，y取得最大值，ymax＝6. 规律方法 解决二次函数与指数函数的综合问题的方法 对于这类问题，本质是考查二次函数的最值问题．在处理方式上可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和指数函数y＝ax的单调性求出t的取值范围，即转化成了二次函数的最值问题.　　　 √ √ (2)求函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)，x∈[0，＋∞)的值域． y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，则y≥2. 当0<a<1时，因为x≥0，所以0<t≤1， 易得－1<y≤2. 综上，当a>1时，值域是[2，＋∞)； 当0<a<1时，值域是(－1，2]. 返回 随堂演练 返回 1．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于 A．－1或2　　 B．－1　　 C．2　　 D． √ 2．函数y＝ 的定义域是 A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.故选C. √ 3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中不正确的有A． f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)·f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y ，故B正确；f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，故C不正确；[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，故D不正确．故选CD. √ √ 4．当x∈[－2，2)时，函数y＝3－x－1的值域为________． 返回 课时测评 返回 对于A：y＝2x×3x＝6x，是指数函数；对于B：y＝ ×2x，不是指数函数；对于C：y＝32x＝9x，是指数函数；对于D：y＝ ，是指数函数．故选B. 1．下列函数中，不能化为指数函数的是 A．y＝2x×3x B．y＝2x-1 C．y＝32x D．y＝4－x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是 因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上是增函数，所以3-1≤3x≤31，于是 3-1－2≤3x－2≤31－2，即 ≤f(x)≤1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知函数f(x)＝22x－2x+1＋2，定义域为M，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的 A．M＝[0，2] B．M⊆(－∞，1] C．0∈M D．1∈M 令t＝2x＞0，则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1， 因为函数f(x)的值域为[1，2]，即y∈[1，2]且t＞0， 所以t＝1和t＝2所对应的x必须在定义域内， 所以[0，1]⊆M⊆(－∞，1]，故B正确；当函数的最小值为1时，仅有x＝0满足，所以0∈M，故C正确；当函数的最大值为2时，仅有x＝1满足，所以1∈M，故D正确；当x＝2时，函数值f(2)＝10∉[1，2]，故A错误．故选BCD. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由2x－8≥0，得2x≥8，即x≥3.所以函数f(x)＝ 的定义域为[3，＋∞). [3，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数f(x)＝2x在[－1，3 ]上的最小值是_______． 函数f(x)在[－1，3]上递增，故f(x)min＝f(－1)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．函数y＝ (a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________． (0，1) 由ax－1≥0，得ax≥1.因为函数的定义域是(－∞，0]，所以ax≥1的解集为(－∞，0]，所以0<a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列函数的定义域和值域： 所以x≥0，所以函数的定义域为[0，＋∞). 所以0≤y<1，故函数的值域为[0，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：定义域为R. 因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)已知函数f(x)＝ax-1(x≥0)，其中a>0且a≠1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．(6分) 解：f(x)＝ax-1(x≥0)，由x≥0得x－1≥－1， 当0<a<1时，ax-1≤a-1， 所以f(x)的值域为(0，a-1]； 当a>1时，ax-1≥a-1， 所以f(x)的值域为[a-1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)函数y＝f(x)，x∈R，且f(x)＝－f(x＋1)，当x∈(0，1]时，f(x)＝3x，则f(2)＝_______． －3 因为f(x)＝－f(x＋1)，即f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，可得函数f(x)的周期为2，故f(2)＝－f(3)＝－f(3－2)＝－f(1)＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知函数f(x)＝m×22x＋n×2x＋n2－2n－1(m，n∈R)存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f(0)＞0，则实数m的取值范围为__________． [1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式；(4分) 解：a2＋a－5＝1， 可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x. (2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．(6分) 解：F(x)是奇函数，证明如下：F(x)＝2x－2－x， 所以F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)， 所以F(x)是奇函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新设问)我们知道，指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)具有如下特征：对定义域R内任意实数m，n都有f(m＋n)＝f(m)·f(n)成立．现请你写出满足如上特征的一个非指数函数的函数解析式：___________________． f(x)＝1(答案不唯一) 常数函数f(x)＝1对定义域R上任意的m，n，都有f(m＋n)＝f(m)·f(n)＝1，但f(x)＝1不是指数函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数，e≈2.7).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)， 所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 ①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝－1. 3．函数f(x)＝的定义域为 5．函数f(x)＝－1的值域为____________． 因为>0，所以f(x)>－1. (2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a-2＝，所以a＝2，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. (1)由指数函数的定义得解得a＝2. (－∞，1)∪ 则解得a<且a≠1. ①y＝2·()x　②y＝2x-1　③y＝ ④y＝xx　⑤y＝3－　⑥y＝x ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x-1＝·2x，指 解得a＝π，于是f(x)＝π. 所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π-1＝. 所以f(－1)＝3-1＝. 因为≠0，所以2≠1，故函数的值域为(0，1)∪(1，＋∞). (1)y＝2；(2)y＝. 因为|x|≥0，所以y＝＝≥＝1，故函数的值域为[1，＋∞). 求函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域． 当t＝时，y取得最小值，ymin＝－； 故函数y＝－3×＋2，x∈[－2，2]的值域是. 解：y＝－3×＋2＝－3×＋2，令t＝， 则y＝t2－3t＋2＝－. 因为x∈[－2，2]，所以≤t≤4， 对点练3．(多选)(1)已知集合A＝，则满足A∩B＝B的集合B可以是 A． B． C． D．{x|x>0} 由题意，可知集合A为函数y＝，x∈R的值域．令t＝x2＋1，则函数可化为y＝，由x∈R，得t≥1，所以y＝的值域为，即集合A＝.又A∩B＝B，所以B⊆A，故选AB. 依题意，有解得m＝2(m＝－1舍去).故选C. ＝＝ (－，8] y＝3－x－1＝()x－1在x∈[－2，2)上单调递减，所以()2－1<y≤()-2－1，即3-2－1<y≤32－1，故－<y≤8.所以函数的值域为(－，8]. A．()x B．2x C． D． 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝2，解得a＝，所以f(x)＝()x.故选A. A． B．[－1，1] C． D．[0，1] － 4．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为 A．2 B．－2 C．－2 D．2 因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f＝8＝2.故选D. 6．函数f(x)＝的定义域为__________． 因为x≥0，所以≤1. 又>0，所以0<≤1， 所以0≤1－<1， (1)y＝；(4分) 解：由题意知1－≥0， 所以≤1＝， 故函数y＝的值域为(0，16]. (2)y＝.(6分) 所以≤＝16. 又>0， (1)若f(x)的图象经过点，求a的值；(4分) 解：函数图象过点， 所以a2-1＝，则a＝. 令t＝2x，t∈(0，＋∞)，则y＝mt2＋nt＋n2－2n－1，因为函数f(x)存在最小值，所以m＞0，－＞0，即n＜0，又f(0)＞0，则m＋n＋n2－2n－1＞0在n＜0恒成立，即m＞－n2＋n＋1在n＜0恒成立．令u(n)＝－n2＋n＋1＝－＋，当n＜0时，u(n)为增函数，当n＝0时，u(n)取最大值，u(0)＝1，得m≥1. 所以解得 所以y＝100()x， 所以当x＝10时，y＝100×()10＝64， $