精品解析：江苏连云港市东海县2025-2026学年第一学期期末学业质量检测八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业质量检测 八年级数学试题（原卷版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据定义，一个正数的平方根有两个且互为相反数即可解答． 详解】解：∵， ∴ 16的平方根是， 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点位于第三象限， ∴， ∴a的值可能是， 故选：A． 3. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．由，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项A；结合，可设，易得，根据勾股定理可知是直角三角形，即可判断选项B；由，可得，结合三角形内角和定理可解得，可知是直角三角形，即可判断选项C；结合，可设，结合三角形内角和定理可解得，易得，可知不是直角三角形，即可判断选项D． 【详解】解：A.因为的三条边分别为，结合，可知是直角三角形，本选项不符合题意； B.因为，可设，则，可知是直角三角形，本选项不符合题意； C.因为，可得，结合可得，解得，即是直角三角形，本选项不符合题意； D. 因为，可设，结合，可得，解得，所以，所以不是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列不能表示y是x的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别． 能表示y是x的函数的图象，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，进而判断即可． 【详解】解：A、C、D图象中，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义， B图象中，对于每一个x值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 5. 已知一次函数（、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如下表： … 1 2 4 … … … 当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，根据函数值确定自变量的取值范围，解一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据表格信息用待定系数法求出函数解析式，再求出的值，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 令，∴， 当，即， ∴， 故选： D． 6. 如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系的概念是解答本题的关键．根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，由图可得点E的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为，B点为， ∴建立如图平面直角坐标系， ∴点E的坐标为． 故选：B． 7. 如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质可得，可得，设，表示出，进而在中，勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得： 即的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，下面是数学兴趣小组的两位同学的对话： 小明：当时，的面积最大； 小欣：当最小时，x的值为2． 你认为说法正确的是（ ） A. 小明的说法正确 B. 小欣的说法正确 C. 小明和小欣的说法都正确 D. 小明和小欣的说法都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查动点与函数图象，掌握动点与几何图形面积计算，函数图象的性质是关键，根据题意得到的面积先增大，后减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，由此得到小明的说法正确；再根据中位线的性质得到或6，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴设， ∵点是中点， ∴过点到线段的垂线长为， 根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中， 当点在上时，，则， 当点在上时，如图所示， ， ∴，， ∴， ， 综上所述，的面积先增大，后减小， 当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4， 如图1， ∵点D为边的中点，是等腰直角三角形， ∴， 可得， ∴小明的说法正确； 当（如图2）或（如图3）时，最小； 此时点P是的中点或的中点， ∴或6， ∴小欣的说法不正确； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 的整数部分是________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3． 故答案为3． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 11. 要使一次函数（为常数）的图像与轴交点在轴下方，则可取的一个整数值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，一次函数与轴交点的纵坐标由时的函数值决定，即，交点在轴下方需，解不等式得，取整数即可． 【详解】解：当时， 可得：， 交点在轴下方， ， 解得：， 故可取（答案不唯一）． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式． 将点代入一次函数，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 即， ∴． 故答案为：2026． 13. 某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是求出每小时横纵坐标移动的距离及方向．根据上午两个小时的移动位置确定移动规律，据此规律推算，即可解题． 【详解】解：上午6时到上午8时横坐标向右移动个单位，纵坐标向下移动个单位， 上午10时的位置为，即为， 故答案为：． 14. 青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积分别为45、9， ∴，，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，在和中，交于点M，交于点N，交于点P．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意证明，进而证明，，推出相关结论，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵，，∠C＝∠B， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴和不一定相等．故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④符合题意； ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，两点之间距离公式的运用，掌握以上知识，找出点N的运动路径为直线，作出点关于直线的对称点是关键． 过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，可证，得到点N坐标为，点N的移动路径为直线，过点作点关于直线的对称点，与直线交于点，得，由两点之间距离的计算公式得到，即可求解． 【详解】解：如图1，过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， 设点M坐标为，则， 由旋转可知：， 由作图可知： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N坐标为， ∴，即， ∴点N的移动路径为直线， 设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当时，，当时，，如图所示， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 过点作点关于直线的对称点，与直线交于点， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵对称， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 连接交直线于点N，连接， ∴，，此时的周长最小， ∵点，点，点， ∴，， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共102分） 17. 计算与求值： （1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，立方根解方程，掌握以上知识是关键， （1）根据二次根式的性质化简，再计算和差即可； （2）根据立方根的计算求方程的解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得，． 18. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为______． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查不同象限内点的坐标和点到坐标轴的距离．理解点到x轴距离等于纵坐标绝对值是解题关键． （1）根据点在y轴上，可得，求解即可； （2）根据点P到x轴的距离是6，可得，，分类讨论即可求解； 【小问1详解】 解：（1）∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点到x轴的距离为6， ∴， ∴， 当时，，，∴点P坐标为； 当时，，，∴点P坐标为； 故答案为：或． 19. 已知一次函数（m为常数，）的图象经过点． （1）求m的值； （2）不等式的解集是 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的取值范围是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据得到，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵把点代入一次函数中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，一次函数的解析式为 ∵， ∴， 解得，, 故答案为：． 20. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 21. 如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． （1）求证：． （2）若，猜想的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边上作一点，使点到边、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当点到点、的距离也相等时，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)尺规作图作的平分线，交于点，点即为所求； (2)根据可知点在线段的垂直平分线上，根据等角对等边可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出的度数． 【小问1详解】 解：如下图所示， 以点圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点， 点即为所求； 【小问2详解】 解：由作图可知， 点到点、的距离相等， ， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．某数学兴趣小组围绕该定义，对“稳定函数”进行了相关探究． （1）根据你对“稳定函数”的理解，以下结论中，正确结论的序号是________． ①不是“稳定函数”； ②是“稳定函数”，只有一个“稳定点”； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”． （2）若“稳定函数”的图象上的一个“稳定点”为，求m、n的值； （3）若一次函数不是“稳定函数”，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件P点坐标． 【答案】（1）①②③ （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义是解题的关键． （1）有定义可得，函数中存在点即为“稳定函数”，必是该函数图象上的一个“稳定点”，由此可得出答案； （2）由定义可知一次函数的“稳定点”为，，再将点代入即可求出m的值； （3）由题意可得直线为，再求出，，即，，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：①对于， 由于， 所以不是“稳定函数”，原说法正确； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“稳定函数”，只有一个“稳定点”，原说法正确； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”，说法正确． 故答案为：①②③； 【小问2详解】 解：∵一次函数的“稳定点”为， ∴， ∴， ∴“稳定点”为， ∴， 解得； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵（）不是“稳定函数”， ∴方程无解，即无解. ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 24. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 【答案】（1） （2）该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元 （3）100 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用． （1）设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台，根据题目数量关系列式即可； （2）根据一次函数图象的性质求解即可； （3）根据题意得到，根据这100台电脑的销售利润不变，得到，由此即可求解． 小问1详解】 解：该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，则购进B型电脑台， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴时，y取得最大值，最大值为47500， 答：该公司购进A型25台、B型电脑75台，才能使销售总利润最大，最大利润是47500元； 【小问3详解】 解：据题意得，，即， 当时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变． 故答案为：100． 25. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）若点C是坐标轴上一点，使得，求点C的坐标； （3）如果x轴上有一动点D，当时，请直接写出符合条件的D点坐标． 【答案】（1）点A坐标为；点B坐标为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令、求解即可； （2）当C在x轴上时，设，连接，根据，列方程求解即可；当C在y轴上时，设，连接，根据，列方程求解即可； （3）利用勾股定理求得，当在外部时，，根据三角形外角的性质和等角对等腰证得，即可求解；当在内部时，，作的角平分线交于点P，交y轴于点N，则点P在线段的垂直平分线上，垂直平分线交于点M，利用中点坐标公式求得，过点O作的平行线，交的延长线于点G，证得，根据平行线分线段成比例定理得，即，求得，过点B作，进而得，由垂直平分线的判定得点Q在的垂直平分线上，设，则，进而列方程求得，利用待定系数法求得直线的函数关系式为：，直线的函数关系式为：，联立方程组求得点P坐标为，进而求得直线的函数关系式为：，令求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则； 解得， ∴点A坐标为； 当时，则； ∴点B坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，当C在x轴上时，设，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图2，当C在y轴上时，设，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，C的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图3，∵，， ∴， ∴， 当在外部时，， ∵， ∴， ∴， ∴点D坐标为， 如图，当在内部时，， 作的角平分线交于点P，交y轴于点N， ∵，， ∴， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上，垂直平分线交于点M， ∴点M是的中点， ∴点M坐标为，即， 过点O作的平行线，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点N坐标为， 过点B作，则， ∵， ∴， ∴点Q在的垂直平分线上，即点Q在上， 设，则， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数关系式为：， 把、代入得，， 解得， ∴直线的函数关系式为：， 设直线的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的函数关系式为：， 联立方程组得，解得， ∴点P坐标为， 设直线的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的函数关系式为：， 当时，，解得：， ∴点D坐标为， 综上所述，D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、三角形外角的性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质与判定、等腰三角形的判定、中点坐标公式及一次函数与二元一次方程组、勾股定理，熟练掌握相关知识，进行分类讨论是解题的关键． 26. （1）【课本再现】苏科新版数学八年级上册第51页第9题：如图1，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：． （2）【初步探究】小欣同学通过逆向思维进行了如下探究：如图2，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且，连接．以下结论：①；②；③四边形的面积始终不变；④．恒成立的结论有（ ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ （3）【深入探究】小欣同学通过一般化思维又进一步作了如下探究：如图3，在中，是的中点，点E是上一点，点F是上一点，且，连接．小欣同学发现之间存在一定的等量关系，请你写出这个等量关系，并加以证明． （4）【拓展应用】如图4是一块三角形草坪，其中，现在想建造一个四边形花园，使点D是的中点，点E在上，点F在上，且．试求的长度（直接写出结果）． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3），见解析；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是关键． （1）根据等腰直角三角形的性质证明即可求解； （2）证明，得，结论①成立；根据全等三角形的性质得到，结合，等量代换即可得到结论②成立；根据可判定结论③成立；由勾股定理得到，结合全等三角形的性质，等量代换即可判定结论④成立；由此即可求解； （3）如图，延长到点，使，连接，可证明，得到，由勾股定理得到，结合题意，等量代换即可求解； （4）如图，连接，设，则，由（3）结论，结合题意列式，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①②③④ ， 如图，连接， 由（1）可知：， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由此可知，结论①成立； ∵， ∴， ∵， ∴ 由此可知，结论②成立； ∵， ∴，即， 由此可知，结论③成立； ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 由此可知，结论④成立； 故答案为：①②③④； （3）， 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （4） ， 如图，连接，设，则， 由（3）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 所以的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业质量检测 八年级数学试题（原卷版） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于第三象限，则的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不能表示y是x的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数（、是常数，且），函数与自变量的部分对应值如下表： … 1 2 4 … … … 当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D、E都在格点上，用表示A点的位置，用表示B点的位置，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，下面是数学兴趣小组的两位同学的对话： 小明：当时，的面积最大； 小欣：当最小时，x值为2． 你认为说法正确的是（ ） A. 小明的说法正确 B. 小欣的说法正确 C. 小明和小欣说法都正确 D. 小明和小欣的说法都不正确 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 的整数部分是________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 11. 要使一次函数（为常数）的图像与轴交点在轴下方，则可取的一个整数值为________．（写出一个即可） 12. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 13. 某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为__________． 14. 青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形均为正方形．若正方形的面积分别为45、9，则________． 15. 如图，在和中，交于点M，交于点N，交于点P．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的序号是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为________． 三、解答题（本大题共10题，共102分） 17. 计算与求值： （1）计算：； （2）求x的值：． 18. 在平面直角坐标系中，有一点． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为______． 19. 已知一次函数（m为常数，）的图象经过点． （1）求m的值； （2）不等式的解集是 ． 20. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 21. 如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． （1）求证：． （2）若，猜想的形状并证明． 22. 如图，在中，． （1）请用无刻度直尺和圆规在边上作一点，使点到边、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当点到点、的距离也相等时，则的度数为 ． 23. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“稳定函数”，点为该函数图象上的一个“稳定点”．某数学兴趣小组围绕该定义，对“稳定函数”进行了相关探究． （1）根据你对“稳定函数”的理解，以下结论中，正确结论的序号是________． ①不是“稳定函数”； ②是“稳定函数”，只有一个“稳定点”； ③是“稳定函数”，有无数个“稳定点”． （2）若“稳定函数”的图象上的一个“稳定点”为，求m、n的值； （3）若一次函数不是“稳定函数”，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 24. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润均为定值，则a的值为_______． 25. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）若点C是坐标轴上一点，使得，求点C的坐标； （3）如果x轴上有一动点D，当时，请直接写出符合条件的D点坐标． 26. （1）【课本再现】苏科新版数学八年级上册第51页第9题：如图1，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：． （2）【初步探究】小欣同学通过逆向思维进行了如下探究：如图2，在中，是中点，点E在上，点F在上，且，连接．以下结论：①；②；③四边形的面积始终不变；④．恒成立的结论有（ ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ （3）【深入探究】小欣同学通过一般化思维又进一步作了如下探究：如图3，在中，是的中点，点E是上一点，点F是上一点，且，连接．小欣同学发现之间存在一定的等量关系，请你写出这个等量关系，并加以证明． （4）【拓展应用】如图4是一块三角形草坪，其中，现在想建造一个四边形花园，使点D是的中点，点E在上，点F在上，且．试求的长度（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $