江苏省连云港市东海县2025-2026学年上学期八年级数学期末考前卷

江苏省东海县2025-2026学年度第一学期八年级数学期末考前卷 原卷版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若点P在第二象限，且点P到x轴距离为4，到y轴距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 5．一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　） A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1） 6．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠CBD的度数为（　　） A．9° B．18° C．20° D．30° 7．甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 8．点P在∠AOB的平分线OC上，M，N分别是∠AOB两边上的动点，连接PM，PN．若PM＝PN，则∠PMO与∠PNO之间的关系是（　　） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．比较大小：　 　 （用“＞”或“＜”填空）． 10．在实数，，π，中，无理数有　 　个． 11．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为　 　． 12．已知一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（﹣2，y1）和（﹣3，y2），则y1　 　y2.（填“＞”、“＜”或“＝”） 13．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为　 　． 14．如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝3，则点D到AB的距离为　 　． 15．当x分别取﹣1、0、1、2时，一次函数y＝kx+b对应的函数值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 1 3 5 … 则关于x的不等式kx+b＞1的解集是　 　． 16．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为　 　． 17．如图，一次函数y1＝kx﹣m（k、m是常数，且k≠0），y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为　 　． 18．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是　 　． 三、解答题（本大题共9题，共96分） 19．（本题满分8分）计算与求值： （1）计算：； （2）解方程：2（x﹣1）2﹣8＝0． 20.（本题满分10分）八上数学实验手册53页介绍了“圆”坐标系．画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向画与数轴正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图所示，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、C的圆坐标分别表示为A（6，30°），C（4，0°）． （1）请直接写出点B、D的“圆”坐标B（　 　），D（　 　）； （2）请在图中标出点P，使得△OCP是以∠COP为顶角，OC为腰且底角为30°的等腰三角形，并写出它的“圆”坐标． 21．（本题满分10分）已知一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值． （2）当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是_________． 22．（本题满分10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：∠A＝∠D； （2）仅用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线．（要求：不写画法，保留画图痕迹） 23．（本题满分10分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． （1）按要求画图： ①找一格点P，使点P到△ABC某两个顶点的距离相等（画出符合条件的一个格点即可）； ②仅用无刻度直尺，找一点Q，使点Q到△ABC三个顶点的距离都相等． （2）在（1）的条件下，△QBC的面积是　 　． 24．（本题满分10分）我们约定：当x1、y1、x2、y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2=0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法中正确的序号是_________； ①正比例函数y=x的图象上存在无数对“对偶点”； ②一次函数一定不是“对偶函数”． (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和. 25．（本题满分12分）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． （1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量y1（kg）是秤砣到小秤纽的水平距离x（cm）的一次函数，所记录的若干次称重数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y1 1 1.5 2 2.5 3 ①y与x之间的函数表达式为　 　； ②若秤砣到小秤纽的最大水平距离为30cm，求提小秤纽可称的最大物重． （2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量y2（kg）是秤砣到大秤纽的水平距离m（cm）的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为6cm，提大秤纽称9kg、14kg物重的秤砣位置分别与提小秤纽称2kg、3kg物重的秤砣位置重合，求提大秤纽可称的最大物重． 26．（本题满分12分）如图，直线l1：y＝2x+4与y轴交于点A，直线l2和直线l1关于过点B（1，0）且与x轴垂直的直线m成轴对称，直线l2和直线l1交于C点，直线l2与x轴交于D点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出直线l2且标注出C点和D点．（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出直线l的解析式为　 　； （2）点E为直线l1上一动点，若有S△ABCS△ADE，请求出E点坐标； （3）点F为直线l1上一动点，点G为y轴上一动点，若△FGD是以FG为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标为　 　． 27.（本题满分14分）数学活动课上，老师让同学们以“折纸与证明”为主题开展数学活动． 【引入概念】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，对折△ABC，使点C落在边AB上的点G处，得到折痕AH，把纸片展平，得到四边形AGHC，则四边形AGHC　 　 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】 （2）如图2，已知四边形AGHC是筝形，连接GC，AH相交于点O．请你写一个正确的结论_________（AG＝AC，GH＝HC除外）； 【拓展应用】 如图3，AH是锐角△ABC的高，将△ABH沿边AB翻折后得到△ABG，将△AHC沿边AC翻折后得到△ACM，延长GB，MC交于点N． （3）求证：四边形AGNM是筝形； （4）若∠BAC＝45°，HC＝1，AH＝3，AG＝GN，如图4，则BH的长为　 　； 【方法提炼】通过问题解决，发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地关联与重组．请根据自己理解，解答下列问题： （5）如图5，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝23，CD＝37，点N在BC上，∠AND＝135°，当BN＝8时，AD的最大值为　 　． 江苏省东海县2025-2026学年度第一学期八年级数学期末考前卷 解析版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 解：设点P的坐标为（x，y）， |x|＝2，|y|＝4， 解得：x＝±2，y＝±4， ∵点P在第二象限， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）， 故选：D． 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 解：∵4＜8＜9， ∴23， ∴在数轴上表示实数的点可能是点M． 故选：C． 4．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 解：A、32+42＝52，本组数是勾股数，不符合题意； B、52+122＝132，本组数是勾股数，不符合题意； C、102+152≠202，本组数不是勾股数，符合题意； D、72+242＝252，本组数不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 5．一次函数y＝kx+k（k≠0，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（　　） A．（0，1） B．（﹣3，2） C．（3，3） D．（2，1） 解：∵一次函数y＝kx+k函数值y随x增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+k图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，k＝1，与k＜0条件不符，故排除；选项B点在第二象限，且k＜0，符合条件． 故选：B． 6．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠CBD的度数为（　　） A．9° B．18° C．20° D．30° 解：∵AC＝BC，∠BAC＝36°， ∵∠ABC＝∠BAC＝36°， 由折叠的性质可得：∠CAD＝∠BAC＝36°，AB＝AD， ∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝72°， ∴∠ABD（180°﹣∠BAD）＝54°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝18°． 故选：B． 7．甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h 解：甲的速度是：20÷4＝5km/h； 乙的速度是：20÷1＝20km/h； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选：D． 8．点P在∠AOB的平分线OC上，M，N分别是∠AOB两边上的动点，连接PM，PN．若PM＝PN，则∠PMO与∠PNO之间的关系是（　　） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 解：作PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，则∠PFM＝∠PEN＝90°， ∵点P在∠AOB的平分线OC上， ∴PE＝PF， 在Rt△PMF和Rt△PNE中， ， ∴Rt△PMF≌Rt△PNE（HL）， ∴∠PMF＝∠PNE， 若点M、点N分别与点F、点E重合，则∠PMO＝∠PNO＝90°； 如图1，点M、点N都在四边形PEOF的外部， ∵∠PMO＝∠PMF，∠PNO＝∠PNE， ∴∠PMO＝∠PNO； 如图2，点M、点N都在四边形PEOF的内部， ∵∠PMO+∠PMF＝180°，∠PNO+∠PNE＝180°， ∴∠PMO＝∠PNO； 如图3，点M、点N分别在四边形PEOF的外部、内部， ∵∠PMO＝∠PMF＝∠PNE，∠PNE+∠PNO＝180°， ∴∠PMO+∠PNO＝180°， 综上所述，∠PMO与∠PNO相等或互补， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．比较大小：　 　 （用“＞”或“＜”填空）． 解：∵，2＜2.25， ∴． 故填空答案：＜． 10．在实数，，π，中，无理数有　 　个． 解：5，是整数； 在实数，，π，中，，π是无理数． 故答案为：2． 11．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为　 　． 解：点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（6，3）． 故答案为：（6，3）． 12．已知一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（﹣2，y1）和（﹣3，y2），则y1　 　y2.（填“＞”、“＜”或“＝”） 解：∵一次函数y＝﹣2x+b的k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣2＞﹣3， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 13．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为　 　． 解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝52°． 故答案为：52°． 14．如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝3，则点D到AB的距离为　 　． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD是Rt△ABC的角平分线，DE⊥AB，DC＝3， ∴DE＝DC＝3， 即点D到AB的距离为3. 故答案为：3． 15．当x分别取﹣1、0、1、2时，一次函数y＝kx+b对应的函数值如下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣1 1 3 5 … 则关于x的不等式kx+b＞1的解集是　 　． 解：由表中知y＝kx+b中y随x的增大而增大； 当y＝1时，x＝0， ∴关于x的不等式kx+b＞1的解集是x＞0， 故答案为：x＞0． 16．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为　 　． 解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形， ∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）， ∴S△ABC＝S△DBI， 设AC＝a，BC＝b，AB＝c， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE， S正方形ACFG+S△ABC+SS四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB， ∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S6﹣2＝4， ∴a2＝4， ∴a＝2（负值舍去）， 即AC＝2， 故答案为：2． 17．如图，一次函数y1＝kx﹣m（k、m是常数，且k≠0），y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为　 　． 解：∵一次函数y1＝kx﹣m与y2＝﹣x+n的图象交于点P（3，2）， ∴当x＞3时，kx﹣m＞﹣x+n， ∴关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为x＞3． 故答案为：x＞3． 18．对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是　 　． 解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， 2026÷3=675...1， ∴第2026次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即（1,4）． 故答案为：（1,4）． 三、解答题（本大题共9题，共96分） 19．（本题满分8分）计算与求值： （1）计算：； （2）解方程：2（x﹣1）2﹣8＝0． 解：（1）原式＝4+3﹣3 ＝4； （2）原方程整理得：（x﹣1）2＝4， 则x﹣1＝±2， 解得：x＝3或x＝﹣1． 20.（本题满分10分）八上数学实验手册53页介绍了“圆”坐标系．画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向画与数轴正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图所示，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、C的圆坐标分别表示为A（6，30°），C（4，0°）． （1）请直接写出点B、D的“圆”坐标B（　 　），D（　 　）； （2）请在图中标出点P，使得△OCP是以∠COP为顶角，OC为腰且底角为30°的等腰三角形，并写出它的“圆”坐标． 解：（1）根据圆坐标系可知B（3，180°），D（5，330°）， 故答案为：（3，180°）；（5，330°）； （2）如图所示，P1，P2即为所求．P1（4，120°），P2（4，240°）． 21．（本题满分10分）已知一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值． （2）当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是_________． 解：（1）∵一次函数y＝（3﹣m）x+2m﹣9的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得3＜m＜4.5， ∵m为整数， ∴m＝4． （2）由（1）知，m＝4，则该一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1． ∵﹣1≤x≤2， ∴﹣3≤﹣x﹣1≤0， 即y的取值范围是﹣3≤y≤0． 故答案为:﹣3≤y≤0． 22．（本题满分10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，BE＝CF，AF＝DE． （1）求证：∠A＝∠D； （2）仅用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线．（要求：不写画法，保留画图痕迹） （1）证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 在△ACF与△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（SSS）， ∴∠A＝∠D； （2）如图所示，直线MN即为所求． 23．（本题满分10分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上，小正方形的边长为1． （1）按要求画图： ①找一格点P，使点P到△ABC某两个顶点的距离相等（画出符合条件的一个格点即可）； ②仅用无刻度直尺，找一点Q，使点Q到△ABC三个顶点的距离都相等． （2）在（1）的条件下，△QBC的面积是　 　． 解：（1）①如图，点P即为所求（答案不唯一）； ②如图，点Q即为所求； （2）如图，取格点L，W，连接QL． ∵S△QLJ＝S△KLJ﹣S△QKL， ∴•3•QW1×31×2， ∴QW， ∴QP＝2， ∴△QBC的面积67． 故答案为：7． 24．（本题满分10分）我们约定：当x1、y1、x2、y2满足（x1+y2）2+（x2+y1）2=0，且x1+y1≠0时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法中正确的序号是_________； ①正比例函数y=x的图象上存在无数对“对偶点”； ②一次函数一定不是“对偶函数”． (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （1）解：，且，， ，， ，， ①若点（x1，y1）与点（x2，y2）是函数y=x的图象上的两点， 满足，，这样的点有无数对. ∴正比例函数y=x的图象上存在无数对“对偶点”． 故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 故答案为：①②. （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和. 25．（本题满分12分）如图，杠秤是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的重量． （1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的重量y1（kg）是秤砣到小秤纽的水平距离x（cm）的一次函数，所记录的若干次称重数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y1 1 1.5 2 2.5 3 ①y与x之间的函数表达式为　 　； ②若秤砣到小秤纽的最大水平距离为30cm，求提小秤纽可称的最大物重． （2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的重量y2（kg）是秤砣到大秤纽的水平距离m（cm）的一次函数．已知大、小秤纽的水平距离为6cm，提大秤纽称9kg、14kg物重的秤砣位置分别与提小秤纽称2kg、3kg物重的秤砣位置重合，求提大秤纽可称的最大物重． 解：（1）①设y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将x＝2，y1＝1和x＝6，y1＝2分别代入y1＝k1x+b1， 得， 解得， ∴y1与x之间的函数表达式为y1x． 故答案为：y1x． ②∵0， ∴y1随x的增大而增大， ∵0≤x≤30， ∴当x＝30时，y1的值最大，y1最大308． 答：提小秤纽可称的最大物重为8kg． （2）设y2与m之间的函数表达式为y2＝k2m+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）． 当y1＝2时，得x2，解得x＝6， 此时m＝6+6＝12； 当y1＝3时，得x3，解得x＝10， 此时m＝10+6＝16． 将m＝12，y2＝9和m＝16，y2＝14分别代入y2＝k2m+b2， 得， 解得， ∴y2与m之间的函数表达式为y2m﹣6， ∵0， ∴y2随m的增大而增大， ∵6≤m≤36， ∴当m＝36时，y2的值最大，y2最大36﹣6＝39． 答：提大秤纽可称的最大物重为39kg． 26．（本题满分12分）如图，直线l1：y＝2x+4与y轴交于点A，直线l2和直线l1关于过点B（1，0）且与x轴垂直的直线m成轴对称，直线l2和直线l1交于C点，直线l2与x轴交于D点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出直线l2且标注出C点和D点．（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出直线l的解析式为　 　； （2）点E为直线l1上一动点，若有S△ABCS△ADE，请求出E点坐标； （3）点F为直线l1上一动点，点G为y轴上一动点，若△FGD是以FG为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标为　 　． 解：（1）直线l1与直线m的交点即为C，过A作直线MN⊥y轴，交直线m于K，在射线KM上截取KA'，使KA'＝KA，过C，A'作直线CA'交x轴于D，直线CA'即为直线l2，如图： 直线l2，点C，点D即为所求； 在y＝2x+4中，令x＝1得y＝6，令x＝0得y＝4， ∴C（1，6），A（0，4）， ∵A，A'关于直线x＝1对称， ∴A'（2，4）， 设直线l2解析式为y＝kx+b，把A'（2，4），C（1，6）代入得： ， 解得， ∴直线l2解析式为y＝﹣2x+8； 故答案为：y＝﹣2x+8； （2）设直线l1交x轴于T，E（m，2m+4）， 在y＝2x+4中，令y＝0得x＝﹣2， ∴T（﹣2，0）， 在y＝﹣2x+8中，令y＝0得x＝4， ∴D（4，0）， ∴DT＝4﹣（﹣2）＝6， ∴S△ADT6×4＝12， ∵C（1，6）， ∴S△ABC1×6＝3， ∵S△ABCS△ADE， ∴S△ADE＝6， 当E在A下方时，如图： ∴S△EDT＝S△ADT﹣S△ADE＝12﹣6＝6， ∴6•（2m+4）＝6， 解得m＝﹣1， ∴E（﹣1，2）； 当E在A上方时，如图： ∴S△EDT＝S△ADT+S△ADE＝12+6＝18， ∴6•（2m+4）＝18， 解得m＝1， ∴E（1，6）； 综上所述，E的坐标为（﹣1，2）或（1，6）； （3）过F作PQ∥y轴，交x轴于Q，过G作GP⊥PQ于P，设F（t，2t+4），G（0，n）， 若∠DFG＝90°， 当G在F下方时，如图： ∵△FGD是以FG为直角边的等腰直角三角形， ∴FD＝FG，∠DFQ＝90°﹣∠GFP＝∠FGP， ∵∠FQD＝90°＝∠P， ∴△DFQ≌△FGP（AAS）， ∴DQ＝FP，QF＝PG， ∵D（4，0）， ∴， 解得， ∴F（﹣4，﹣4）； 当G在F上方时，如图： 同理可得△DFQ≌△FGP（AAS）， ∴DQ＝FP，QF＝PG， ∴， 解得， ∴F（，）； 若∠DGF＝90°， 同理可得：F（0，4）或（，）； 故答案为：（﹣4，﹣4）或（，）或（0，4）或（，）． 27.（本题满分14分）数学活动课上，老师让同学们以“折纸与证明”为主题开展数学活动． 【引入概念】 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，对折△ABC，使点C落在边AB上的点G处，得到折痕AH，把纸片展平，得到四边形AGHC，则四边形AGHC　 　 筝形（填“是”或“不是”）； 【性质探究】 （2）如图2，已知四边形AGHC是筝形，连接GC，AH相交于点O．请你写一个正确的结论_________（AG＝AC，GH＝HC除外）； 【拓展应用】 如图3，AH是锐角△ABC的高，将△ABH沿边AB翻折后得到△ABG，将△AHC沿边AC翻折后得到△ACM，延长GB，MC交于点N． （3）求证：四边形AGNM是筝形； （4）若∠BAC＝45°，HC＝1，AH＝3，AG＝GN，如图4，则BH的长为　 　； 【方法提炼】通过问题解决，发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地关联与重组．请根据自己理解，解答下列问题： （5）如图5，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝23，CD＝37，点N在BC上，∠AND＝135°，当BN＝8时，AD的最大值为　 　． （1）解：∵对折△ABC，使点C落在边AB上的点G处， ∴AG＝AC，CH＝GH， ∴四边形AGHC是筝形， 故答案为：是； （2）解：AH垂直平分CG， 理由：∵四边形AGHC是筝形， ∴AG＝AC，HG＝HC， ∴点A，点H在线段CG的垂直平分线上， ∴AH垂直平分线CG， 故答案为：AH垂直平分线CG； （3）证明：如图3，连接AN， ∵AH是锐角△ABC的高， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°， ∵将△ABH沿边AB翻折后得到△ABG，将△AHC沿边AC翻折后得到△ACM， ∴∠G＝∠AHB＝∠M＝∠AHC＝90°，AG＝AH＝AM， 在Rt△ANG和Rt△ANM中， ， ∴Rt△ANG≌Rt△ANM（HL）， ∴NG＝NM， ∴四边形AGNM是四边形是“筝形”； （4）解：∵将△ABH沿边AB翻折后得到△ABG，将△AHC沿边AC翻折后得到△ACM， ∴∠G＝∠AHB＝∠M＝∠AHC＝90°，AG＝AH＝AM＝3，CM＝CH＝1，BG＝BH， 由（3）知，AG＝AM，NG＝NM， ∵AG＝NG， ∴AG＝AM＝NG＝NM， ∴四边形AGNM是正方形， ∴MN＝AG＝GN＝3，∠MNG＝90°， ∴CN＝3﹣1＝2， ∵BC2＝CN2+BN2， ∴（BH+1）2＝22+（3﹣BH）2， ∴BH； （5）解：如图5，将△ABN沿着AN翻折得到△AEN，将△DCN沿着DN翻折得到△DFN，连接EF， ∴AB＝AE＝6，DC＝DF＝37，BN＝EN＝8，FN＝CN＝23﹣8＝15，∠BNA＝∠ANE，∠CND＝∠FND， ∵∠AND＝135°， ∴∠ANB+∠DNC＝45°， ∴∠ENF＝∠AND﹣（∠ANE+∠DNF）＝90°， ∴EF17， 当AE，EF，FD三条线段共线时，AD有最大值＝6+17+37＝60， 故答案为：60． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $