精品解析：河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三上学期期末测试三数学试题

2025-2026学年高三上学期期末测试三 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解. 【详解】依题意，， 由复数为纯虚数，得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 2. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源，如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设结合线面垂直判定定理依次证明平面和平面，以及求出即可由锥体体积公式求解. 【详解】因为D为的中点，， 所以， 所以，， 又，四边形为矩形，，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面，故由四边形为矩形得平面， 所以由，，得, 所以，又由得， 所以， 所以多面体的体积为. 故选：A. 3. 一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回地摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三次摸球视为三个独立的伯努利试验，分别计算每次有效摸球的概率，再利用期望的线性性质将各次概率相加，即可得到有效次数的期望. 【详解】每次有效摸球的概率： 第一次：，只有一种可能，概率为， 第二次：，只有两种可能，概率为， 第三次：，只有三种可能，概率为， 利用期望的线性性质： 设表示第次是否有效（为有效，为无效），则， 因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：， 而每个是伯努利变量，期望，代入得：. 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，已知，，点为圆上一点，若存在点使得，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】易知点的轨迹方程为，再由两圆位置关系得出不等式即可求得的可能取值. 【详解】由题意知三角形的外接圆半径， 如图，三角形外接圆方程为， 要使得点满足，则圆与圆有公共点（不含端点）， 故，且(若，此时与重合，不合题意)， 解得. 故选：C. 5. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆：相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相切可得直线的斜率，再由轴，再解直角三角形，再用椭圆的定义可得椭圆基本量并得结果. 【详解】如图所示，设直线与圆的切点为，如图：， ，所以直线l的斜率，由， 所以，，所以， 即，所以， 故选：A. 6. 甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式，得，再由条件概率公式得，从而，根据期望公式求解. 【详解】根据概率的乘法公式， 得， 根据条件概率公式得， 可得， 由于每场比赛的结果相互独立， 所以甲队获胜的场数，从而． 故选：B． 7. 过双曲线的右焦点F分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为，则点F的横坐标为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，，，结合四边形面积公式求解即可. 【详解】由题意，，， 所以，解得， 所以，即点F的横坐标为． 故选：A． 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 关于对称 D. 的一个周期是8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性、对称性的定义分析判断ABC；确定函数的周期判断D. 【详解】对于A，由是奇函数，得， 则，因此为偶函数，A正确； 对于B，由，即，得的图象关于直线对称，B正确； 对于C，由的图象关于直线对称，得， 则，即，因此的图象关于对称， C正确； 对于D，由，得，又， 则，即，因此， 函数的一个周期是16，若的一个周期为8，则恒有，无条件说明恒成立，D错误. 故选：D 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 无最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用1的妙用可判断A，通过等量代换，结合二次函数可判断B,C，利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由可得， ， 因为，当且仅当且时等号成立， 即，所以的最小值为，A正确； 对于B，由可得，即，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 即，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由可得，， 当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为14 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是－4 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数的定义判断A；由正态分布的对称性，求出，判断B；根据所给数据的个数，求得中位数，判断C；根据回归直线恒过样本中心点，求得实数的值，判断D. 【详解】若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，越接近1，或越接近-1. 当越接近1时，两个变量的线性正相关性越强，越接近-1时，这两个变量的线性负相关性越强.所以A正确. 若随机变量服从正态分布，则. 因为，则，所以B正确. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为，所以C错误. 若样本数据的中心点为，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 11. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 【答案】BC 【解析】 【分析】先得出集合的元素个数，再判断子集个数，判断A；列举可判断B；由展开可得，先求出的范围，即可求的范围，判断C；由对称性可判断D. 【详解】由对称性，可得，其中， 当时，；当时，； 当时，； 所以不同的序数对有：， 共19种； 则集合共有19个元素，其子集个数为个，故A错误； B选项，，列举可得，故B正确； C选项， ， 当在正六边形边的中点时，， 当在正六边形边的顶点时，， 则，则，故C正确； D选项，由对称性，对于任意非零向量，存在，则， 则集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为0，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件得出四边形为梯形，利用向量夹角的余弦公式求出梯形的高，再利用梯形的面积计算得出梯形为直角梯形，从而求出的余弦值. 【详解】由题意知，，故， 即，如图，过作，则， 故四边形的面积，解得， 即，所以，故，即，所以. 故答案为： 13. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 14. 若函数是奇函数，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义建立的方程，并对分类讨论求解. 【详解】因为是奇函数，则， 所以， 即， 又因为是单调函数， 所以， 化简可得：， 则， 当时，有， 化简方程可得：， 由于该恒等式对定义域内所有成立，则， 解得，当时，， 定义域为，关于原点对称， 且， 满足奇函数定义，所以，. 当时，同理可化简方程得：，方程不能恒成立， 综上可知，. 故答案为：1. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解， （2）根据所给定义可用列举法求解，即可求和. 【小问1详解】 设数列的公差为， 则，，解得, 故； 【小问2详解】 由可得前11项分别为 故的前11项分别为 所以 . 16. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理证明，再由勾股定理证明，由线面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 由题意， ，又 ， ， ， ， 又由题意设椭圆中心点为 ，离心率为 ， 即 ， 可得: ， ，， 又 平面 ， 平面 【小问2详解】 如图，建立以 为原点， ， ，过 垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 . 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， 则令 为平面 的一个法向量. 同理设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ， 为平面 的一个法向量. 由为线段 上靠近 的四分之一点，二面角 显然为钝角， 设二面角 为 ， 则 . 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 18. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，定直线，比值为，计算可得曲线H的方程； （2）求得曲线H的方程，进而联立方程组求得，利用基本不等式可求得最小值； （3）当时，曲线，设，与渐近线方程联立方程组，求得的坐标，进而求得的坐标，代入曲线的方程，进而计算可得结论. 【小问1详解】 当时，定直线，比值为． 设，由已知得， 两边平方，整理得，即为曲线H的方程． 【小问2详解】 设，由已知，得， 整理得，，即为曲线H的方程． 设，， 则，， ． 则 当且仅当，即时，等号成立． 所以存在使得取得最小值4． 【小问3详解】 由（2）知，当时，曲线，它是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为，不妨设S在渐近线上，如图， 设，因为直线与双曲线的两条渐近线分别交于点S，T，所以． 由，解得，即， 同理得，所以 代入双曲线方程，得， 整理得，即 解得（舍）或 当时，由，消去y得， 此时，，故方程有两个相等的解． 故直线与曲线H有且仅有一个公共点N． 19. 已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． （1）求，的值． （2）（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 【答案】（1），； （2）（i）；（ii）由， 当时，， 由， 当时， 令， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1），再根据，则； （2）（i）分析得，再构造等比数列求得，最后降次作差即可； （ii）当时，累加得，最后利用错位相减法即可证明. 【小问1详解】 令，显然， 由， . 【小问2详解】 （i）由按上述规则产生共个正整数， 而产生共个正整数则个正整数包含①， ②， 故， ， 当时， 又，. (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期末测试三 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源，如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回地摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在平面直角坐标系中，已知，，点为圆上一点，若存在点使得，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆：相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两球队比赛，设事件“甲队主力球员首发”，事件“甲队获胜”，据统计，，，，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则（ ） A. B. C. D. 7. 过双曲线的右焦点F分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，若四边形OAFB的面积为，则点F的横坐标为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. 关于对称 D. 的一个周期是8 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 无最小值 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个变量的样本相关系数的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的中位数为14 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是－4 11. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 13. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 14. 若函数是奇函数，则实数__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求． 16. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截，得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点，截面为一个椭圆， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆短轴的两个端点，椭圆的离心率为 ， 为线段 上一动点. （1）证明 平面 ； （2）若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值. 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 18. 《文心雕龙》有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立，”意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值是常数（且）设点P的轨迹为曲线H，若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“齐备直线”． （1）若，求曲线H的方程； （2）若“齐备直线”与曲线H相交于A、B两点，点M为曲线H上不同于A、B的一点，且直线，的斜率分别为，，判断是否存在，使得取得最小值，说明理由； （3）若，与曲线H有公共点N的“齐备直线”与曲线H的两条渐近线分别交于点S、T，且N为线段的中点，求证：直线与曲线H有且仅有一个公共点． 19. 已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． （1）求，的值． （2）（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $