精品解析：2026届河北省名校协作体高三上学期模拟考试（一）数学试题

2026届高三上学期模拟考试（一） 数学考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，结合并集的定义求解即可. 【详解】. 所以或. 故选：B. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数化简，再写出 【详解】. . 故选：A 3. 已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【详解】由图可得， 所以，则. 故选：C 4. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 5. 已知圆，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需先将圆方程化为标准形式求圆心和半径，再写出双曲线渐近线方程，利用圆心到渐近线距离等于半径建立方程，求解 a 与 b 关系，最后求得离心率. 【详解】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ， 因为双曲线 （），所以渐近线为 ，即 ， 因为双曲线的渐近线与圆 相切，所以， 所以，化简得 ，所以， 又因为双曲线中 ，所以离心率. 故选 ：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式，展开整理，可得的值，代入二倍角的正切公式，即可得答案. 【详解】由题意 所以，则， 所以. 故选：A 7. 如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定球的球心的位置，列出球的表面积的表达式，根据参数的取值范围即可求得结果. 【详解】因为，所以是直角三角形，其外接圆的圆心为的中点， 所以球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上. 又，所以为四边形内以为直径，以的中点为圆心，2为半径的半圆上一点， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 因为球的半径，即， 化简得， 因为，所以，，即， 所以， 而球的表面积为，， 所以，即球的表面积的取值范围为. 故选：D. 8. 已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式得到为等差数列，结合累乘法求出，分奇偶求和代入中得到，结合不等式求解即可. 【详解】由可得，，即， 又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以. 当时，，又，也符合， 故. 所以. 当为偶数时，， 当为奇数且时，为偶数，则， 又符合上式，故当为奇数时， . 当为偶数时，，当为奇数时，， 故. 由可得，即， 故满足条件的的最大值为23. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B. 这10个月营业额的平均数为32.5万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的第70百分位数为43 【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，将 10 个月的营业额数据求和，再除以 10 得到平均数，与 32.5 万元对比；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算第 70 百分位数进行判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误. 故选：AC. 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若直线过点，则直线与的交点为 D. 若直线过点，且，则四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】选项A：由抛物线的定义可知，，故， 故，即，A错误. 选项B：由题意知，，设，，则， 则直线的斜率为. 直线的斜率为， 因为，所以，B正确. 选项C：当直线过点时，设直线方程为， 与抛物线方程联立整理得，则. ，，则直线方程为， 令，则. 直线方程为， 令，则. 故直线与的交点为，C正确. 选项D：由，可得，得. 又，所以. 由题意可知，四边形为直角梯形， 所以其面积为 ，D正确. 故选：BCD. 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先降次，将降为后再构造函数即可判断. 【详解】因为且，，所以. 又，所以. 构造函数， 则的定义域为，， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即，所以， 所以，故CD正确； 当时，，即， 所以，所以，故AD正确，B错误. 故选:ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为．已知，则角为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在中，，根据正弦定理可得．由，可得，故 考点：正余弦定理 13. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【解析】 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可． 【详解】法1：由题意得， 令，则， 所以当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当，时，取得最小值2. 综上所述，的最小值为2. 法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和. 作于，， 令，则， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 故的最小值为2． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期公式和单调递增区间即可求解； （2）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与有两个交点，画出图像，数形结合求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由题可知，， 当时，，由得， 由得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． （1）求． （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）过作，利用线面垂直的判定定理可推出所以平面，再结合边长应用勾股定理即可； （2）取的中点为，根据线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，由空间向量法直线与平面所成角的正弦值列出方程即可求得. 【小问1详解】 由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． 所以. 【小问2详解】 取的中点为，连接，，， 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）. 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润． （1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率； （2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.8424 （2） 100 200 400 600 0.01 0.1 0.08 0.25 0.4 0.16 【解析】 【分析】（1）先求出一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工的概率，再计算不亏的概率；（2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望. 【小问1详解】 设甲种工艺光刻成功的概率是，则， 乙种工艺两次均不成功的概率为，则， 不亏钱的概率． 【小问2详解】 在甲种工艺合格的前提下，设一个芯片赚取的利润为， 则， ， ． 的可能取值为，，，，，． 则， ， ， ， ， ． 其分布列为 100 200 400 600 0.01 0.1 0.08 0.25 0.4 0.16 ． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 【答案】（1） 当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2） 当时，等价于， 即，即， 即，即， ，只需证明， 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （3）当时，将所求不等式变形为，根据，结合（1）（2）中的结论可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值． 【小问3详解】 略 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 【答案】（1） （2） （3） 直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， 或（舍），， ，，， ． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而可得； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而可得； （3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，由放缩可得，进而可得. 【小问1详解】 因双曲线的离心率为2，故， 即，故公比． 在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长）， 得是的一个焦点，故，即，解得， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 将代入中整理得，， 且，，． 的平分线垂直于轴，， 得，即， 将，，和代入整理得，， 或（舍，此时直线过），． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问由进而根据放缩得，即，进而可证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期模拟考试（一） 数学考试 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知圆，若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，点分别在四边形､四边形内运动（不与长方体的顶点重合），若，，且都在球上，则球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B. 这10个月营业额的平均数为32.5万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的第70百分位数为43 10. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为，分别过上的点，作的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，若直线不与坐标轴垂直，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. 若直线过点，则直线与的交点为 D. 若直线过点，且，则四边形的面积为 11. 设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为．已知，则角为__________． 13. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． （1）求． （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17. 某芯片研究所研究一种电动汽车电池快充芯片，该电池芯片需要甲、乙两种芯片加工工艺，甲种芯片加工工艺需要三次来完成，第一次需要在该芯片上进行光刻，其成功的概率为0.6，第二次是对第一次光刻的检查与补充，若检测第一次未成功，则将再次光刻，成功的概率还是0.6；若检测第一次光刻成功，则不需要光刻了．第三次是对前两次的检查与补充，检测仍未光刻成功，则再次进行光刻，其成功的概率还是0.6，并判断其是否为合格品，若经过三次工艺后，仍未光刻成功，则为不合格品，淘汰，其余为合格品，进入乙种芯片工艺．乙种芯片加工工艺需要两次独立的光刻，第一次光刻成功的概率为0.5，第二次光刻成功的概率为0.8．若甲种工艺不合格，该芯片亏200元．在甲种工艺合格的前提下，若乙种工艺两次均不成功，该芯片也亏200元；若乙种工艺两次光刻只成功一次，则该芯片应用于其他产品，能赚取100元利润；若乙种工艺两次光刻均成功，则每个芯片赚取300元的利润． （1）求一个未被光刻的芯片经过甲、乙两种工艺加工后不亏钱的概率； （2）从甲种工艺合格的芯片中任取两个，经过乙种工艺两次光刻，求所赚取利润的分布列和数学期望． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）求函数的最小值； （3）当时，证明：． 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $