精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解． 【详解】由题意得， 根据集合交集的定义可得． 故选：B． 2. 已知指数函数的图像经过点，则（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 3. 若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，单位向量的方向不同时，不满足； 对于B选项，，故不满足； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，两个单位向量满足，故正确. 故选：D 4. 已知函数 ，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的定义域为R，由此令，判断奇偶性，继而利用其奇偶性可求得答案. 【详解】由于恒成立， 故的定义域为R， 令，则, 而， 故，故为奇函数， 则， 即， 故选：C 5. 若，，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对数的运算，作差法比较大小，结合选项逐项分析即可求出结果. 详解】A，则，故A正确； B，则，故B错误； C，则，故C错误； D，若，则，即， 若，则，即， 若，则，即，故D错误； 故选：A. 6. 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 398 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将对应得在坐标系中点出，由图象形状即可得. 【详解】将对应得在坐标系中点出，得： 根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近. 故选：A. 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度可得的图象，设，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合三角函数图象的平移变换可得到的表达式，利用三角恒等变换化简可得的表达式，利用整体代换，即令，可得新函数，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 因为，所以，所以， 则 ， 令，则，则，即， 令，函数在上单调递减， 所以当，即时，取得最小值，最小值为． 故选：C． 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可. 【详解】设，则， 所以， 由辅助角公式得， 其中，当时取得等号， 解得，即的最大值为，不妨取为锐角， 此时有，，符合题意. 故选：B 二、多选题 9. 已知集合，.若中恰有个元素，则实数值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】化简集合，根据中恰有个元素，列式可解得结果. 【详解】， ， 因为，且中恰有个元素， 所以或，解得或. 故选：AB 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合的交集中元素个数求参数，属于中档题. 10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最大值1，则在上有最小值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是定义在上的奇函数， 所以，A选项正确. B选项，奇函数的图象关于原点对称， 所以若在上有最大值1，则在上有最小值，B选项正确. C选项，奇函数的图象关于原点对称，在轴两侧单调性相同， 所以若在上为增函数，则在上为增函数，C选项错误. D选项，时，， 当时，， 所以，D选项正确. 故选：ABD 11. 若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是， D. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图像确定振幅周期从而求出、从而判断A；根据图像上点的坐标求出由此得到函数解析式，将代入解析式判断B；求解不等式判断C；根据三角函数图象变换的知识判断D. 【详解】由图可知，，所以A选项错误. ， ，所以， ，所以B选项正确. 由，解得， 所以的单调递增区间是，，C选项正确. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到， 所以D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知幂函数的图象过点，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，代入点运算求解即可. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得，即， 又因为幂函数的图象过点，所以. 故答案为：16. 13. 设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 14. 已知函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用，计算， 【详解】,将替换成， 得：， ， 当时，代入，得，， 则 故答案为： 四、解答题 15. 已知是指数函数，且图象过点；又函数是奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的．不等式恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1），； （2）函数在上单调递减函数；证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据是指数函数，设出解析式，根据题意待定系数求得；根据是奇函数，即可由奇函数定义求得参数，从而解得； （2）根据单调性的定义，结合（1）中所求函数解析式，作差定号即可证明； （3）根据函数的单调性，分离参数后，转化为求关于的函数在区间上的最值问题，计算即可. 【小问1详解】 设，过点，故， 所以. 因为奇函数的定义域为，故，则， 故. 【小问2详解】 函数在上是单调递减函数． ， 设，则有， 则，故函数在上是单调递减函数. 【小问3详解】 不等式， 可化为 即 因为对任意，可知， 故. 故要满足题意，实数的范围时. 16. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则，对数换底公式计算即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为 （1）若，，求扇形的弧长 （2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 【答案】（1） （2）当时，扇形的面积最大，最大面积是． 【解析】 【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案； （2）设扇形的弧长为，则，扇形的面积为，由二次函数性质即可得到面积的最大值． 【小问1详解】 设扇形的弧长为．，即，. 【小问2详解】 由题设条件知，, 因此扇形的面积 当时，有最大值，此时 当时，扇形的面积最大，最大面积是． 18. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点和稳定点均为2和4. （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点. （2）（ⅰ）根据稳定点的定义列方程，因式分解后对进行分类讨论，由此求得稳定点个数. （ⅱ）结合（ⅰ）的结论先确定的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定的取值范围. 【小问1详解】 令，则，解得或， 令，则，整理得，解得或， 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为2和4. 【小问2详解】 （ⅰ），令，得， 即，得， 所以. ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ②当时，的判别式. 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，有两个稳定点为和1. 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， 由（ⅰ）知，故，此时，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为.由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最大值为8，求实数的值； （3）若函数在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当正实数，满足时，. 【答案】（1） （2）或 （3）或，证明见解析 【解析】 【分析】（1）分离参数结合基本不等式即可求解； （2）分类讨论的范围，结合二次函数的图像与性质分析即可求解； （3）结合（2）问图像即可得到实数的取值范围，令,可得当时，恒成立； 由,结合即可证明结论. 【小问1详解】 若，恒成立，则在恒成立 当且仅当时取等， 【小问2详解】 令,解得：, ①时，的图像如下： 所以在单调递增，，解得：（舍） 当时，的图像如下： 令,解得：,或,或, ②当时，上单调递增，则时，,解得：（舍）; ③当时，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则时，,解得满足条件； ④当时，即时，结合图像可得当时,,解得(舍)， ⑤当,即时，结合图像可得当时,,解得：满足条件； 综上，或 【小问3详解】 结合（2）问图像，要使函数在上单调递增，则或， 取时，，在单调递减 时，，此时, 时，,此时, 所以当时，恒成立； 由于正实数，满足，则, 所以， 由于, 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年 高一上学期期末考试数学试卷 一、单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知指数函数的图像经过点，则（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3. 若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若，，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C D. 6. 在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度可得的图象，设，则在上的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合，.若中恰有个元素，则实数值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若在上有最大值1，则在上有最小值 C. 若在上为增函数，则在上为减函数 D. 若时，，则时， 11. 若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是， D. 把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得的图象 三、填空题 12. 已知幂函数的图象过点，则_______． 13. 设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 14 已知函数，且，则______． 四、解答题 15. 已知是指数函数，且图象过点；又函数是奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的．不等式恒成立，求实数t的取值范围． 16. 求值： （1）； （2）. 17. 已知扇形圆心角为，所在圆的半径为 （1）若，，求扇形的弧长 （2）若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积． 18. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最大值为8，求实数的值； （3）若函数在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当正实数，满足时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $