精品解析：安徽合肥市瑶海区2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试数学试卷 一、单选题（共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 3. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 6. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止．设点D的运动时间为，的面积为y（），则能表示y与x函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分） 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 12. 在中，，，，则的长为______． 13. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为_______度． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 三、解答题（共9题，共90分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； 17. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 18. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 20. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 21. 如图，在中，是的切线，交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：平分； （2）若，的半径为，求的长度． 22. 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）延长交于点G，求的值； （3）在（2）的条件下试求． 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． （2）在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试数学试卷 一、单选题（共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 2. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 6 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 点P在反比例函数图象上，则其坐标满足函数解析式，代入计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 故选：B． 3. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是关键． 先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 对于A，添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 对于B，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于C，添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 对于D，添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及正切，熟练掌握勾股定理逆定理及正切是解题的关键；如图，构造，由图可知，则有，然后根据正切的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，构造， 由格点图可知：， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴； 故选A． 6. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 7. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ， ， 在中，， ∵是的直径，弦， ∴ 故选：B． 8. 如图，是的中位线，是中点，连接并延长与相交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质、相似三角形的性质及判定，关键是知识点的灵活应用； 由中点可知，又由于为的中点，可得，进而根据三角形相似可得． 【详解】解：∵是的中位线， ∴且， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案选：B． 9. 如图，在矩形中，，点是上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质得，，即可得是的垂直平分线，，得到，，设，则，利用勾股定理可得，得到，再根据即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵为中点， ∴是的垂直平分线，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 10. 如图，在中，，，．点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止．设点D的运动时间为，的面积为y（），则能表示y与x函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数综合应用等知识，分情况讨论是解题关键．首先利用勾股定理解得的值，并确定点E的运动速度；根据题意，点D的运动时间为，则有；当点E在线段上时，根据三角形面积公式可得，易知此时抛物线开口向下，且y随x的增大而增大； 当点E在线段上时，过点作于点，证明，结合相似三角形的性质可得，根据三角形面积公式可得，易知此时抛物线开口向上，且y随x的增大而减小，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D以的速度从点B出发，沿匀速运动，同时点E从点B出发，沿的路径匀速运动，D，E两点同时运动到点A停止， 则点D从点B运动到点A用时， ∴点E的运动速度为， 根据题意，点D的运动时间为， ∴， ∴， 当点E在线段上，即时，如下图， 此时， ∴的面积， ∵， ∴该抛物线开口向下，且对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大； 当点E在线段上，即时，如下图， ， 过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，且y随x的增大而减小． 综上所述，选项A符合题意． 故选：A． 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分） 11. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 在中，，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的余弦函数的定义，解题的关键是掌握直角三角形中余弦值为邻边与斜边的比值．在中，由余弦函数的定义得，代入已知的和的数值，求解斜边． 【详解】解：在中，，根据余弦的定义：， 已知，，代入得：， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为_______度． 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】由∠OAB=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO的度数，继而求得∠BOC的度数，则可求得答案． 【详解】解：∵∠BAO=25°，OA=OB， ∴∠B=∠BAO=25°， ∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°， ∵∠ACO=40°，OA=OC， ∴∠C=∠CAO=40°， ∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°， ∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为___________； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，根据矩形的性质，结合反比例函数图象上的点的特征，得到，，，得到，折叠得到 ，进而推出，证明，求出，，进而得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ； 故答案为：3； （2）由（1）得， ∵矩形， ∴，，，， ∵轴， ∴，轴， ∵， ∴点的横坐标为1，点纵坐标为3， 函数的图象经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，由图知，， ， 解得． 故答案为： 三、解答题（共9题，共90分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，解题关键是熟练掌握旋转的性质． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可； （2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ． ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点坐标为． 点和点在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数表达式为， (2)点坐标为，点坐标为， 不等式解释函数的图像在函数图像的上方， ∵满足条件的图像部分是在B点右侧,y轴左侧或A点右侧， 不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键． 18. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明，再利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用，计算出，则，再利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 20. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】的长约4cm 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约4cm． 21. 如图，在中，是的切线，交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，． （1）求证：平分； （2）若，的半径为，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，可证，得到，又由得到，即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，即得，再根据为等边三角形得到，又由直角三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得，， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，E为的中点，连接，，垂足为F． （1）求证：； （2）延长交于点G，求的值； （3）在（2）的条件下试求． 【答案】（1） 证明：∵，，，E为的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴， ， ∴， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点E作，交于点H，推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点C，延长交于点M，设，得到，，，由勾股定理，得到求出，推导出为等腰直角三角形，且，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作，交于点H，如图 ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 过点C作于点C，延长交于点M，如图 设， ∵， ∴， ∴ ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， 即． 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象与x轴有且只有1个交点，求a的值． （2）在（1）的基础上，若点在抛物线上，且到y轴的距离小于或等于2，那么我们称点P是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）若点和点在该函数图象上，点是二次函数图象上的任意一点，满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，二次函数的性质和表达式的应用及最值问题． （1）对于二次函数，其图象与x轴交点的情况可由判别式来判断，根据题意可得，列出方程并化简求解a的值即可； （2）先由（1）确定a的值，从而得到二次函数的具体表达式，进而得到二次函数的对称轴，由于抛物线开口向下，对称轴为，所以在中，当x离对称轴最远时，即，y取得最小值，根据题意可知当时，y有最小值，求得此时y的值，当时，y有最大值，求得此时y的值，从而得到y的取值范围； （3）由于点是二次函数图象上的任意一点，满足，可得出二次函数图象开口向上，即，由对称轴可得出点M的坐标，进而得出m的值，将代入抛物线解析式得出n的值，从而计算的式子并化为顶点式，再根据及二次函数的性质来确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与x轴有且只有1个交点， ∴， 解得或， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵在上， 又∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向下， ∴在中，当x离对称轴最远时，即，y取得最小值， ∴当时，y有最小值，此时， 当时，y有最大值，此时， ∴所有“亲密点”的y的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵点是二次函数图象上的任意一点，满足， ∴二次函数图象开口向上，即， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $